Integrali di linea di prima specie

Vediamo come calcolare gli integrali di linea di prima specie. Questa tipologia di integrali viene utilizzata specialmente nelle applicazioni fisiche e ingegneristiche, ma non ci perderemo in formalismi e in tecnicismi che in questo contesto portano via solo del tempo prezioso e che comunque si trovano in qualsiasi libro di Analisi 2, preferiamo invece passare subito all'attacco.

 

Partiamo dalla definizione, che è poi la formula vera e propria che utilizzeremo per il calcolo.

 

Definizione di integrale di linea di prima specie

 

Consideriamo un insieme aperto connesso D\subset\mathbb{R}^2 ed una funzione scalare f:D\to \mathbb{R} definita su D. Si definisce integrale di linea di prima specie di f, rispetto alla lunghezza d'arco e lungo una curva regolare (a tratti) \gamma\subset D, descritta dall'equazione vettoriale \gamma(t)=(x(t), y(t)) con t\in [a,b], il numero:

 

\begin{align*}\int_{\gamma} f ds&= \int_{a}^{b}f(\gamma(t))||\gamma'(t)||dt\\&= \int_{a}^{b}f(x(t),y(t))\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}dt\end{align}

 

Se la funzione f è definita su D\subset\mathbb{R}^{3} e \gamma è una curva regolare nello spazio tridimensionale allora la formula diverrà:

 

\int_{\gamma}fds=\int_{a}^{b}f(x(t),y(t), z(t))\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2+z'(t)^2}dt

 

Poca differenza con quella precedente, non trovate?

 

Se la curva è chiusa si preferisce mettere in evidenza questo fatto utilizzando il simbolo:

 

\oint_{\gamma}f ds

 

La definizione comunque non viene modificata.

 

Come calcolare gli integrali di linea di prima specie

 

Vediamo i passi da seguire per calcolare un integrale di linea di prima specie.

 

1) Studiamo la curva \gamma controllando la sua regolarità. Se l'equazione della curva è espressa in forma cartesiana allora dovremo determinarne una parametrizzazione e questo probabilmente è il passo più "complicato".

 

2) Una volta determinata la parametrizzazione \gamma(t) ed il dominio [a,b], calcoleremo il vettore derivata (o vettore velocità) \gamma'(t) derivando rispetto a t le componenti di \gamma(t).

 

In seguito determiniamo la norma del vettore derivata, così da ottenere ||\gamma'(t)|| (radice quadrata della somma dei quadrati delle componenti del vettore derivata).

 

3) Calcoliamo l'integrale

 

\int_{a}^{b}f(\gamma(t))||\gamma'(t)||dt.

 

L'integrale è nella sola variabile t, non dovremmo avere problemi in questo passo. Il condizionale è d'obbligo perché la difficoltà nella risoluzione dipende fortemente da come si presenta la funzione integranda.

 

 

Esempio di integrale di linea di prima specie

 

Consideriamo la curva

 

\gamma:\begin{cases}x^2+y^2= 1\\z= x\end{cases}

 

contenuta nell'insieme

 

A= \left\{(x,y, z)\in\mathbb{R}^3: x\ge 0, y\ge 0\right\}.

 

Vogliamo calcolare l'integrale \int_{\gamma} 2x yds .

 

Studiamo prima la curva, che è espressa in forma cartesiana: dobbiamo trovare una parametrizzazione adatta. Dalla equazione x^2+y^2=1 ci accorgiamo che nel piano Oxy avremo una circonferenza, la quota z dipenderà da x, pertanto all'aumentare di quest'ultima aumenterà anche z. Una possibile parametrizzazione di questa curva nello spazio è:

 

\begin{cases}x= \cos(t)\\ y= \sin(t)\\ z= \cos(t)\end{cases}\iff \gamma(t)= (\cos(t),\sin(t),\cos(t))

 

Non ci rimane altro che determinare l'intervallo in cui varia t. Osserviamo che la curva \gamma è contenuta nell'insieme A determinato dalle condizioni x\ge  0 e y\ge 0 il che equivale a richiedere che

 

\cos(t)\ge 0\mbox{ e }\sin(t)\ge 0\implies t\in \left[0, \frac{\pi}{2}\right]

 

Il vettore velocità sarà:

 

\gamma'(t)= (-\sin(t), \cos(t), -\sin(t))

 

la cui norma è

 

||\gamma'(t)||= \sqrt{\sin^2(t)+\cos^2(t)+\sin^2(t)}= \sqrt{1+\sin^2(t)}

 

La funzione f(x,y,z)= 2 x y diverrà

 

f(\cos(t), \sin(t), \cos(t))= 2\cos(t)\sin(t)

 

A questo punto abbiamo tutte le informazioni che ci servono per calcolare l'integrale di linea :) 

 

\begin{align*}\int_{\gamma}fds&= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2\cos(t)\sin(t)\sqrt{1+\sin^2(t)}dt\\&=\frac{2}{3}(2\sqrt{2}-1)\end{align}

 

Finito! Laughing

 

 


 

Ci fermiamo qui. Ora tocca a voi esercitarvi e come sempre vi consigliamo di utilizzare la barra di ricerca di YouMath! Moltissimi esercizi sono stati interamente svolti su questo argomento, non ci rimane altro che augurarvi buona ricerca e soprattutto buon lavoro!

 

In bocca al lupo!

Ifrit

 

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