Come calcolare le derivate parziali

Iniziamo con una piccola provocazione: se da piccino hai imparato a calcolare le derivate di funzioni di una variabile, non avrai il minimo problema nel calcolare le derivate parziali in due, tre o n variabili.

 

In questo articolo spiegheremo nel dettaglio come si calcolano le derivate parziali per funzioni a più variabili, facendo riferimento al caso di due e tre variabili. Nel caso più generale il procedimento sarà del tutto analogo.

 

Per chi non lo avesse letto, in un precedente articolo abbiamo introdotto la nozione di derivata parziale da un punto di vista teorico: ora è giunto il momento di passare alla pratica!

 

Procedimento per calcolare le derivate parziali

 

Data una funzione di due variabili x,y, dunque della forma z=f(x,y), vogliamo calcolare:

 

- la derivata parziale rispetto a x, che indicheremo con \frac{\partial f}{\partial x};

 

- la derivata parziale rispetto a y, che indicheremo con \frac{\partial f}{\partial y}.

 

Il metodo di calcolo si basa su una ed una semplice osservazione, un piccolo trucchetto: quando si deriva parzialmente rispetto ad una variabile, si considera l'altra variabile come una costante. Nel caso in cui ci fossero più di due variabili, si considerano tutte le altre (quelle rispetto alle quali non stiamo derivando) come costanti.

 

La lezione potrebbe essere finita qui Tongue ma già che ci siamo...

 

Esempio di calcolo delle derivate parziali in due variabili

 

Calcolare le derivate parziali della funzione

 

f(x,y)=5x^2+6y+3xy.

 

Partiamo dalla derivata parziale rispetto a x: s'è detto che dobbiamo considerare x come variabile, e l'altra variabile y come costante

 

\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}[5x^2+6y+3xy]

 

per la regola di derivazione della somma di funzioni (in una variabile!)

 

=\frac{\partial }{\partial x}[5x^2]+\frac{\partial }{\partial x}[6y]+\frac{\partial}{\partial x}[3xy]=

 

il primo addendo è facile facile, perché non contiene la y:

 

=10x+\frac{\partial }{\partial x}[6y]+\frac{\partial }{\partial x}[3xy]=

 

il secondo non contiene la x, e dato che stiamo derivando parzialmente rispetto a x contiene solamente delle costanti. Quanto valgono le derivate di 3, o di 27000 o di costante ? Zero, naturalmente!

 

=10x+0+\frac{\partial }{\partial x}[3xy]=

 

Nel terzo addendo abbiamo una moltiplicazione: dovendo trattare la variabile y come costante, abbiamo a tutti gli effetti il prodotto tra x e una costante moltiplicativa, vale a dire 3y. Per una nota regola di derivazione

 

=10x+0+3y\frac{\partial }{\partial x}[x]=10x+3y

 

Fatto! Laughing Proviamo a derivare parzialmente rispetto a y:

 

\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}[5x^2+6y+3xy]

 

=\frac{\partial }{\partial y}[5x^2]+\frac{\partial }{\partial y}[6y]+\frac{\partial }{\partial y}[3xy]=

 

Attenzione, concentrazione: stiamo derivando parzialmente rispetto alla variabile y, dunque ora dobbiamo considerare x come una costante

 

=0+\frac{\partial }{\partial y}[6y]+\frac{\partial }{\partial y}[3xy]=

 

per il secondo addendo non ci sono problemi

 

=0+6+\frac{\partial }{\partial y}[3xy]=

 

per il terzo abbiamo il prodotto tra una costante moltiplicativa, 3x, e un fattore variabile, cioè y:

 

=0+6+3x\frac{\partial }{\partial y}[y]=6+3x.

 

Il calcolo delle derivate parziali richiede solo un po' di attenzione e un po' di pratica, ma non appena prendi un po' di dimestichezza fila via liscio come l'olio.

 

 

Altro esempio

 

Determinare le derivate parziali rispetto a x e rispetto a y della funzione

 

g(x,y)=\sin{(xy)}+e^{\frac{x^2}{y}}+\log{(x^2+y^2)}+\frac{x}{y}

 

Sembra roba tosta! Cominciamo con la derivata parziale rispetto a x, tenendo presente che quando si calcolano le derivate parziali valgono tutte - ma proprio tutte - le regole di derivazione per funzioni di una sola variabile.

 

\frac{\partial g}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}[\sin{(xy)}]+\frac{\partial }{\partial x}[e^{\frac{x^2}{y}}]+\frac{\partial }{\partial x}[\log{(x^2+y^2)}]+\frac{\partial }{\partial x}\left[\frac{x}{y}\right]

 

Per ciascuno dei primi tre addendi è richiesta l'applicazione del teorema di derivazione della funzione composta:

 

=\cos{(xy)}\frac{\partial }{\partial x}[xy]+e^{\frac{x^2}{y}}\frac{\partial }{\partial x}\left[\frac{x^2}{y}\right]+\frac{1}{x^2+y^2}\frac{\partial }{\partial x}[x^2+y^2]+\frac{\partial }{\partial x}\left[\frac{x}{y}\right]

 

Per l'ultimo è richiesta la regola di derivazione per il prodotto di una funzione per una costante, rispettivamente x e 1/y

 

=\cos{(xy)}\frac{\partial }{\partial x}[xy]+e^{\frac{x^2}{y}}\frac{\partial }{\partial x}\left[\frac{x^2}{y}\right]+\frac{1}{x^2+y^2}\frac{\partial }{\partial x}[x^2+y^2]+\frac{1}{y}\frac{\partial }{\partial x}[x]

 

possiamo procedere:

 

=\cos{(xy)}\cdot y \frac{\partial }{\partial x}[x]+e^{\frac{x^2}{y}}\cdot \frac{1}{y}\frac{\partial }{\partial x}[x^2]+\frac{1}{x^2+y^2}\frac{\partial }{\partial x}[x^2]+\frac{1}{x^2+y^2}\frac{\partial }{\partial x}[y^2]+\frac{1}{y}

 

=\cos{(xy)}\cdot y +e^{\frac{x^2}{y}}\cdot \frac{1}{y}2x+\frac{1}{x^2+y^2}\cdot 2x+\frac{1}{y}

 

Per quanto riguarda la derivata parziale rispetto a y andiamo un po' più veloci, senza perderci in commenti che potrebbero risultare superflui

 

\frac{\partial g}{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}[\sin{(xy)}]+\frac{\partial }{\partial y}[e^{\frac{x^2}{y}}]+\frac{\partial }{\partial y}[\log{(x^2+y^2)}]+\frac{\partial }{\partial y}\left[\frac{x}{y}\right]

 

=\cos{(xy)}\frac{\partial }{\partial y}[xy]+e^{\frac{x^2}{y}}\frac{\partial }{\partial y}\left[\frac{x^2}{y}\right]+\frac{1}{x^2+y^2}\frac{\partial }{\partial y}[x^2+y^2]+x\frac{\partial }{\partial y}\left[\frac{1}{y}\right]

 

=\cos{(xy)}\cdot x+e^{\frac{x^2}{y}}\cdot x^2 \frac{\partial }{\partial y}\left[\frac{1}{y}\right]+\frac{1}{x^2+y^2}\frac{\partial }{\partial y}[x^2]+\frac{1}{x^2+y^2}\frac{\partial }{\partial y}[y^2]+x\cdot \left(-\frac{1}{y^2}\right)

 

=\cos{(xy)}\cdot x+e^{\frac{x^2}{y}}\cdot x^2 \left(-\frac{1}{y^2}\right)+0+\frac{1}{x^2+y^2}\cdot (2y)+x\cdot \left(-\frac{1}{y^2}\right)

 

Agli studenti più diligenti il compito di riordinare la precedente espressione in una forma più compatta e più decente da vedere. Wink

 

Prima di concludere...ci vogliamo svenare con un esempio di calcolo delle derivate parziali di una funzione in 4 variabili:

 

h(x,y,z,t)=\cos{(x)}+e^{xzt}+xy^2z

 

e anche in questo caso consideriamo le variabili rispetto alle quali non deriviamo come costanti:

 

\frac{\partial h}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}[\cos{(x)}]+e^{xzt}\frac{\partial }{\partial x}[xzt]+\frac{\partial }{\partial x}[xy^2z]

 

=-\sin{(x)}+e^{xzt}\cdot zt \frac{\partial }{\partial x}[x]+(y^2z)\frac{\partial }{\partial x}[x]

 

=-\sin{(x)}+e^{xzt}\cdot zt+y^2z

 

Se poi volessimo calcolare la derivata parziale rispetto a t:

 

\frac{\partial h}{\partial t}=\frac{\partial }{\partial t}[\cos{(x)}]+\frac{\partial }{\partial t}[e^{xzt}]+\frac{\partial }{\partial t}[xy^2z]

 

da notare che il primo termine non dipende in alcun modo da t, come pure il terzo, dunque sono costanti ripetto a t

 

=0+e^{xzt}\frac{\partial }{\partial t}[xzt]+0=e^{xzt}(xz)\frac{\partial }{\partial t}[t]=e^{xzt}\cdot xz.

 

 


 

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Namasté, see you soon guys!

Agente Ω

 

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