Forme differenziali chiuse ed esatte

Di lezioni puramente teoriche che trattano le forme differenziali chiuse ed esatte i libri ne sono strapieni. Vogliamo quindi fornirvi qualcosa di nuovo e di utile da un punto di vista pratico...Proprio per questo motivo il nostro obiettivo qui sarà quello di fornirvi e togliervi ogni dubbio sui risultati teorici che vi permetteranno poi di affrontare gli esercizi. Nel 99% dei casi si parla di forme differenziali in due variabili, ragion per cui in questa lezione ragioneremo in \mathbb{R}^2 e, come sempre, correderemo il tutto con svariati esempi.

 

 

Definizione (forma differenziale lineare): sia A\subseteq \mathbb{R}^2, con A un insieme aperto, e siano \alpha , \beta \ :A \rightarrow \mathbb{R} due funzioni reali di due variabili reali. L'espressione:

 

\omega(x,y):=\alpha(x,y)dx+\beta(x,y)dy

 

si dice forma differenziale lineare, mentre le funzioni \alpha(x,y) \ \mbox{e} \ \beta(x,y) sono dette coefficienti della forma differenziale.

 

Oltre a questo, diamo un'altra rapidissima definizione: una forma differenziale si dirà continua o di classe C^1 se tali sono i suoi coefficienti \alpha \ \mbox{e} \ \beta. Poi ci servirà la seguente...


Definizione (integrale di una forma differenziale lungo un cammino)


Siano \omega(x,y)=\alpha(x,y)dx+\beta(x,y)dy una forma differenziale lineare continua (cioè con coefficienti continui), e \varphi:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}^2, data da t\in[a,b] \mapsto \varphi (t)=[\varphi_1(t),\varphi_2(t)] una curva regolare a tratti.

 

Si definisce integrale della forma differenziale ω lungo la curva φ:

 

\int_{\varphi}\omega := \int_{a}^{b} [\alpha(\varphi_1(t),\varphi_2(t))\cdot \varphi'_1(t) \ + \ \beta(\varphi_1(t),\varphi_2(t))\cdot \varphi'_2(t)]dt

 

Per prendere confidenza con la formula vediamo un

 

Esempio

 

Sia \omega(x,y)=y^3dx+3xy^2dy. Calcolare l'integrale della forma differenziale \omega lungo il cammino individuato dalla curva \varphi:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}^2 \ \ t\in [0,1] \mapsto \varphi(t)=(2t,2t).

 

Applichiamo la definizione appena vista: 

 

\alpha(\varphi_1(t), \varphi_2(t)) = 8t^3

 

\beta(\varphi_1(t), \varphi_2(t)) = 24t^3

 

\varphi'_1(t)=\varphi'_2(t)=2

 

Pertanto l'integrale della forma differenziale lungo il cammino chiuso dato è

 

\int_{\varphi}\omega := \int_{0}^{1} [8t^3\cdot 2 \ + \ 24t^3\cdot 2]dt = 16

 

Dominio di una forma differenziale

 

Negli esercizi, prima di procedere con lo studio di chiusura ed esattezza di una forma differenziale, la prima cosa da fare è determinare il dominio della forma differenziale. Come si procede?

 

Abbiamo visto che una forma differenziale (in \mathbb{R}^2) è definita come:

 

\omega(x,y)=\alpha(x,y)dx + \beta(x,y)dy

 

con \alpha(x,y) \ \mbox{e} \ \beta(x,y) funzioni reali di due variabili reali.

 

Quindi trovare il dominio della forma differenziale vuol dire trovare l'insieme di definizione delle due funzioni \alpha(x,y) \ \mbox{e} \ \beta(x,y), risolvendo il sistema formato dalle condizioni che fan sì che le funzioni \alpha \ \mbox{e} \ \beta siano ben definite.

 

Se avete dubbi a riguardo vi basta dare un'occhiata alla nostra lezione su come si determina il dominio di una funzione in due variabili - click!

 

Nel corso della lezione e nella scheda di esercizi correlati troverete svariati esempi a riguardo ;)

 

Forme differenziali chiuse, forme differenziali esatte

 

La prima cosa che viene chiesta negli esercizi è quella di, data una forma differenziale verificare se:

 

- la forma è chiusa

 

- la forma è esatta

 

Vediamone quindi innanzitutto la definizione e poi che legame intercorre tra i due concetti.

 

Definizione (forma differenziale esatta): una forma differenziale \omega si dice esatta se esiste una funzione f differenziabile tale che il differenziale della funzione coincide con la forma differenziale, ovvero df = \omega.

 

Una tale funzione f si dirà primitiva o potenziale della forma differenziale

 

Definizione (forma differenziale chiusa): una forma differenziale \omega=\alpha(x,y)dx+\beta(x,y)dy si dice chiusa se le derivate parziali in croce coincidono, cioè se 

 

\frac{\partial}{\partial y}\alpha(x,y) = \frac{\partial}{\partial x}\beta(x,y).

 

Esempio: dire se la forma differenziale \omega(x,y)=2xydx+x^2dy è chiusa e/o esatta.

 

Per quanto riguarda la chiusura, ci basta calcolare le derivate parziali in croce e vedere se coincidono.

 

\frac{\partial}{\partial y}\alpha(x,y) = \frac{\partial}{\partial y}(2xy) = 2x = \frac{\partial}{\partial x}(x^2)= \frac{\partial}{\partial x}\beta(x,y)

 

dato che esse coincidono, la forma differenziale è chiusa.

 

Poi, se consideriamo la funzione f(x,y)= x^2y+c con c \in \mathbb{R}, si verifica subito che il suo differenziale coincide con \omega, pertanto la forma è esatta.

 

Come stabilire se una forma differenziale è chiusa e/o esatta

 

Come avrete di certo subito notato, avendo a disposizione le sole definizioni di esattezza e di chiusura di una forma differenziale:

 

- verificare la chiusura di una forma differenziale è semplice. In fin dei conti si tratta infatti di calcolare delle derivate parziali.

 

- verificare l'esattezza di una forma differenziale invece non è così semplice. Ma non disperiamo! Ci vengono in aiuto i seguenti risultati.

 

Teorema (di caratterizzazione delle forme esatte)

 

Sia \omega una forma differenziale continua. Allora \omega è esatta se e solo se per ogni curva regolare a tratti e chiusa \varphi l'integrale della forma differenziale lungo tale curva è nullo:


\int_{\varphi}\omega = 0.

 

Voglio farvi notare la presenza del quantificatore universale "per ogni". Attenzione! Tale torema si utilizza maggiormente quando "si hanno dei dubbi sull'esattezza di una forma differenziale", infatti se si trova una curva chiusa tale che l'integrale della forma differenziale lungo tale curva non è nullo, allora possiamo affermare che la forma non è esatta!

 

Un altro risultato molto utile che ci fa capire il legame che intercorre fra i concetti di chiusura ed esattezza di una forma differenziale è il seguente:

 

Teorema (condizione sufficiente per l'esattezza di una forma differenziale): sia \omega(x,y)=\alpha(x,y)dx + \beta(x,y)dy una forma differenziale di classe C^1. Allora se {tex}\omega{/tex} è esatta \Rightarrow \omega è anche chiusa.

 

Abbiamo poi un'altro importantissimo risultato...

 

Teorema (l'esattezza implica la chiusura): una forma differenziale esatta è anche chiusa.

 

Ovvero la chiusura è una condizione necessaria, ma non sufficiente, per l'esattezza di una forma differenziale. Che significa?

 

Se ci troviamo davanti ad una forma di cui è richiesto di verificare l'esattezza, allora:

 

- se la forma differenziale non è chiusa allora non è esatta;

 

- se la forma differenziale è chiusa nulla possiamo dire a priori sull'esattezza.

 

Esempio


\omega(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}dx+\frac{x}{x^2+y^2}dy

 

è definita in A:= \mathbb{R}^2 - {(0,0)}. Bisogna infatti richiedere che il denominatore sia diverso da zero. 

 

Tale forma differenziale è di classe C^{\infty}(A) ed è chiusa, infatti, si verifica facilmente che:


\frac{\partial}{\partial y}\left(-\frac{x}{x^2+y^2}\right) = \frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2} = \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{x}{x^2+y^2}\right)

 

però non è esatta, infatti se consideriamo \varphi: [0,2\pi] \rightarrow \mathbb{R}^2, \ \ t\mapsto (\cos(t), \sin(t)) (circonferenza di centro l'origine e raggio uno):

 

\int_{\varphi}\omega = 2\pi \neq 0

 

e quindi per il teorema di caratterizzazione prima visto e commentato, la forma non è esatta.

 

Ricapitolando...

 

Quando siamo di fronte ad un esercizio che ci chiede di studiare una data forma differenziale, dobbiamo:

 

(1) trovarne l'insieme di definizione, che sarà dato dall'insieme di definzione delle sue componenti \alpha \ \mbox{e} \ \beta;

 

(2) Vericare se è chiusa;

 

(3) Verificare se è esatta.

 

Per quanto riguarda la chiusura della forma differenziale abbiamo più volte visto e detto che si tratta di un semplice calcolo di derivate parziali.

 

Per quanto riguarda l'esattezza:

 

- se la forma non è chiusa possiamo affermare che non è esatta.

 

- se la forma è chiusa non possiamo dir nulla a priori. Quindi cosa facciamo? Ci viene in aiuto il seguente:

 

Teorema (di Poincaré): sia \omega(x,y)=\alpha(x,y)dx+\beta(x,y)dy una forma differenziale con [\alpha , \beta]: A \subseteq \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}. Se la forma differenziale è chiusa e A è un insieme semplicemente connesso, allora essa è pure esatta.

 

Richiamo: Cosa si intende per insieme semplicemente connesso? Intuitivamente, un insieme si dice semplicemente connesso se "è fatto di un solo pezzo", cioè "non ha buchi". Così ad esempio l'intero piano \mathbb{R}^2 privato di un punto non è semplicemente connesso, mentre lo è, ad esempio, l'intero piano.

 

Attenzione: se l'insieme A non dovesse essere semplicemente connesso, lo si può dividere in componenti semplicemente connesse e quindi in ciascuna componente la forma differenziale è esatta!

 

Esempi sulle forme differenziali chiuse ed esatte

 

Questo è tutto quello che bisogna sapere per quanto concerne lo studio di una forma differenziale. Vi lasciamo con due esempi.

 

 

(A) Studiare la forma differenziale

 

\omega(x,y)=(5x^2y-4xy)dx + (3x^2-2y)dy.

 

1. Dominio: tutto \mathbb{R}^2.

 

2. Chiusura: la forma è di classe C^1(\mathbb{R}^2), inoltre:

 

\frac{\partial}{\partial y}\left(5x^2y-4xy\right) =(5x^2-4x) \neq \frac{\partial}{\partial x}\left(3x^2-2y\right)=6x


Pertanto la forma non è chiusa.


3. Essendo la forma non chiusa essa non è nemmeno esatta.

 

 

(B) Studiare la forma differenziale

 

\omega(x,y)=\frac{[xy-(1-xy)\log(1-xy)]}{1-xy}dx+\frac{x^2}{1-xy}dy

 

1. Dominio: dobbiamo imporre 1-xy>0 (in quanto argomento del logaritmo), pertanto il dominio sarà dato da:


A=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \ | \ 1-xy>0\right\}

 

che rappresentato graficamente è la parte di piano compresa fra i due rami dell'iperbole xy=1.

 

2. Chiusura: la forma è di classe C^1(A), inoltre con due conticini si vede che 

 

\frac{\partial}{\partial y}[\alpha(x,y)] = \frac{\partial}{\partial x}[\beta(x,y)]

 

pertanto la forma è chiusa.


3. Essendo la forma chiusa ed essendo A semplicemente connesso, per il teorema di Poincarè la forma è esatta.

 

 


 

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Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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