Teoremi di derivazione e integrazione per serie di potenze

In questa lezione enunceremo, commenteremo e infine apprezzeremo l'utilizzo del teorema di derivazione per serie di potenze e del teorema di integrazione per serie di potenze in alcuni esercizi. Inizialmente potrebbe sembrare che i due teoremi non abbiano nulla a che fare con la risoluzione degli esercizi, ma successivamente avremo modo di ricrederci con qualche esempio.

 

Cosa dicono i teoremi di derivazione e integrazione per serie di potenze

 

Iniziamo col dare la seguente definizione: sia (\spadesuit) \sum_{k=0}^{+\infty} a_k(x-x_0)^k una serie di potenze di centro x_0. La serie \sum_{k=1}^{+\infty} ka_k(x-x_0)^{k-1} si dice serie derivata della serie di potenze (\spadesuit).

 

Teorema di derivazione per serie di potenze

 

Sia \sum_{k=0}^{+\infty} a_k(x-x_0)^k una serie di potenze avente raggio di convergenza R\textgreater 0. Allora:

 

- la sua serie derivata \sum_{k=1}^{+\infty} ka_k(x-x_0)^{k-1} ha lo stesso raggio di convergenza R della serie di partenza;

 

- la funzione somma della serie di potenze, ovvero f(x)=\sum_{k=0}^{+\infty} a_k(x-x_0)^k, è derivabile in (x_0-R, \ x_0+R) e si ha:

 

f'(x)=\sum_{k=1}^{+\infty} ka_k(x-x_0)^{k-1}\ \ \ \forall x \in (x_0-R, \ x_0+R)

 

 

Vediamo qualche commento, per molti saranno osservazioni scontate, ma non vogliamo lasciare niente al caso... Laughing

 

A prima vista questo teorema non sembra dirci alcunché di così rilevante e sembrerebbe fornirci risultati puramente teorici, ma non è così! Come abbiamo visto nelle precedenti lezioni (sia teoricamente, sia con qualche esempio) conoscere il raggio di convergenza di una serie di potenze equivale a conoscere praticamente tutto della serie di potenze. Grazie ad esso possiamo infatti determinare gli intervalli di convergenza puntuale ed uniforme della serie data.

 

Il teorema di derivazione per le serie di potenze ci dice che una serie di potenze e la sua serie derivata hanno lo stesso raggio di convergenza, quindi studiare l'una o l'altra è praticamente la stessa cosa!

 

Inoltre, nel secondo punto del suo enunciato, ci permette di portare il segno di derivata dentro il segno di sommatoria, ovvero, se

 

f(x)=\sum_{k=0}^{+\infty} a_k(x-x_0)^k

 

allora:

 

f'(x)=\left[\sum_{k=0}^{+\infty} a_k(x-x_0)^k\right]' = \sum_{k=0}^{+\infty}[a_k(x-x_0)^k]' = \sum_{k=1}^{+\infty}ka_k(x-x_0)^{k-1}

 

e tale risultato sarà molto utile negli esercizi. Come?! Non ci credete? Cool

 

 

Esempio sul teorema di derivazione per serie di potenze

 

Determinare il raggio e l'intervallo di convergenza ed infine trovare la somma della serie di potenze:

 

\sum_{k=0}^{+\infty}kx^k

 

Utilizzando il criterio del Rapporto (o di D'Alembert che dir si voglia) si trova che il raggio di convergenza R=1. Inoltre per x=\pm 1 la serie diverge, pertanto la nostra serie converge puntualmente ed uniformemente in (-1, \ 1)

 

Calcoliamone la somma. Osserviamo che

 

\sum_{k=0}^{+\infty}kx^k = x\sum_{k=1}^{+\infty}kx^{k-1}

 

e che

 

kx^{k-1} = (x^k)'

 

Pertanto, per il teorema di derivazione per serie di potenze, \forall x \in (-1,1) risulta

 

\sum_{k=0}^{+\infty}kx^k = x\sum_{k=1}^{+\infty}kx^{k-1}=x\sum_{k=1}^{+\infty}[x^k]' \overbrace{=}^{(*)} x\left[\sum_{k=0}^{+\infty}x^k\right]'\overbrace{=}^{(**)}x\left[\frac{1}{1-x}\right]'=\frac{x}{(1-x)^2}

 

 

(*) Passaggio giustificato dal teorema di derivazione per serie di potenze!

 

(**) Ricordo che \forall x \in (-1,1)  \sum_{k=0}^{+\infty}x^k è una serie geometrica che ha per somma \frac{1}{1-x}.

 

Teorema di integrazione per serie di potenze

 

Sia \sum_{k=0}^{+\infty} a_k(x-x_0)^k una serie di potenze avente raggio di convergenza R\textgreater 0. Allora:

 

- la serie \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{a_k}{k+1}(x-x_0)^{k+1} ha lo stesso raggio di convergenza R della serie di partenza;

 

- dette f(x) ed F(x) le funzioni somma delle due serie (rispettivamente), ovvero f(x)=\sum_{k=0}^{+\infty} a_k(x-x_0)^k e F(x)=\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{a_k}{k+1}(x-x_0)^{k+1}, allora \forall x \in (x_0-R, \ x_0+R) risulta che F(x) è una primitiva di f(x).

 

Per farvi apprezzare meglio questo teorema, esprimo il secondo punto in questo modo (del tutto analogo a quello in cui l'ho già espresso): \forall a,b \in (x_0-R, \ x_0+R)    

 

\int_{a}^{b}\left[\sum_{k=0}^{+\infty} a_k(x-x_0)^k\right] dx = \sum_{k=0}^{+\infty}\left[\int_{a}^{b}[a_k(x-x_0)^k]dx\right] = \sum_{k=0}^{+\infty}\left[\frac{a_k}{k+1}(x-x_0)^{k+1}\right]

 

ovvero tale teorema ci permette di "portare il segno di integrale dentro il segno di sommatoria", che come vedremo è molto utile per gli esercizi! Laughing

 

Esempio sul teorema di integrazione per serie di potenze

 

Determinare il raggio e l'intervallo di convergenza ed infine trovare la somma della serie:

 

\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{1}{k+1}x^{k+1}

 

Utilizzando il criterio del rapporto (o di D'Alembert) si trova che il raggio di convergenza R=1. Inoltre per x= 1 la serie diverge, mentre per x=-1 converge. Ne consegue che la nostra serie converge puntualmente ed uniformemente in [-1, \ 1).

 

Passiamo al calcolo della somma. Osserviamo che

 

\frac{x^{k+1}}{k+1} = \int_{0}^{x}t^k dt   \forall x,t \in (-1,1)

 

Per il teorema di integrazione per serie di potenze, \forall x,t \in (-1,1)

 

\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{x^{k+1}}{k+1} = \sum_{k=0}^{+\infty}\left[\int_{0}^{x}t^k dt\right] \overbrace{=}^{(*)} \int_{0}^{x}\left[\sum_{k=0}^{+\infty}t^k\right]dt \overbrace{=}^{(**)}

=\int_{0}^{x}\left(\frac{1}{1-t}\right)dt=\left[-log(1-t)\right]_{0}^{x}=-log(1-x)

 

 

(*) Passaggio giustificato dal teorema di integrazione per serie di potenze.

 

(**) Ricordiamoci che \forall t \in (-1,1) la serie \sum_{k=0}^{+\infty}t^k è una serie geometrica che ha per somma \frac{1}{1-t}.

 

 


 

Ribadiamo ancora una volta che utilizzando l'apposita barra di ricerca troverete molti altri esercizi svolti che utilizzano questo teorema Tongue

 

Alla prossima,

Galois

 

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