Somma di una serie di potenze

Dopo aver visto, nella precedente lezione, come calcolare il raggio di convergenza di una serie di potenze e come trovare il suo insieme, o meglio, il suo intervallo di convergenza, dati per assodati questi concetti in questa lezione vedremo come calcolare la somma di una serie di potenze.

 

Somma di una serie di potenze

 

Purtroppo non esiste un metodo standard per calcolare la somma di una serie di potenze. Bisogna infatti cercare di ricondursi, con qualche stratagemma, ad una serie numerica notevole degli sviluppi in serie di Taylor noti e che a questo punto del corso di studi dovresti conoscere (ad esempio la serie geometrica, lo sviluppo in serie della funzione esponenziale, della funzione seno, ecc..)

 

Se dovessi avere dubbi a riguardo o non ricordi qualcuno, non disperare! Puoi trovare tutti i principali sviluppi nella tabella dei principali sviluppi in serie di TaylorLaughing

 

Non ci rimane altro se non fare insieme qualche esercizio che potrete utilizzare da modello, ma ripeto che non c'è un metodo standard! Serve infatti molto, ma molto esecizio per allenare l'occhio e imparare ad intravedere uno sviluppo noto e cercare poi di ricondursi ad esso Wink

 

Esempi di calcolo della somma di una serie di potenze

 

Primo esempio

 

Determinare il raggio di convergenza, l'insieme di convergenza puntuale ed uniforme e la somma della serie di potenze:

 

\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^{2n-1}}{(n-1)!}

 

Poniamo innanzitutto k=n-1. Allora

 

\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^{2n-1}}{(n-1)!}=\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{x^{2k+1}}{k!}=x\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{(x^2)^k}{k!}

 

che è una serie di potenze, di x^2, di centro x_0=0 e coefficienti a_k=\frac{1}{k!}.

 

Determiniamo il raggio di convergenza R, utilizzando il criterio di D'Alembert o del rapporto. Dato che

 

\lim_{k\to +\infty} \left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|= \lim_{k\to +\infty} \left|\frac{\frac{1}{(k+1)!}}{\frac{1}{k!}}\right| = \lim_{k\to +\infty} \left|\frac{k!}{(k+1)!}\right| = \lim_{k\to +\infty} \left|\frac{1}{k+1}\right|=0

 

si ha che il raggio di convergenza è R=+\infty.

 

Di conseguenza, per il teorema di convergenza sulle serie di potenze, la serie converge puntualmente in \mathbb{R} e uniformemente in ogni intervallo chiuso e limitato [-k,k], \ \forall k\textgreater 0.

 

La prima parte, come già abbiamo avuto modo di apprezzare nella scorsa lezione, è molto meccanica. Vediamo ora però come determinarne la somma. Abbiamo già riscritto la serie di partenza come:

 

\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^{2n-1}}{(n-1)!}=x\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{(x^2)^k}{k!}

 

Osserviamo ora bene la serie:

 

\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{(x^2)^k}{k!}

 

Vi ricorda qualcosa? Si nota subito una certa somiglianza con lo sviluppo dell'esponenziale

 

\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{x^k}{k!} = e^x \ \ \forall x \in \mathbb{R}

 

con l'unica differenza che nel nostro caso "la x dello sviluppo dell'esponenziale è una x^2". Nessun problema: riflettendoci, vediamo che la somma della serie di potenze di partenza è data da:

 

\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^{2n-1}}{(n-1)!}=x\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{(x^2)^k}{k!}=xe^{x^2}

 

 


 

 

Aumentiamo ora il grado di difficoltà in modo da mettere in evidenza quanto sia importante allenare l'occhio per cercare di ricondursi agli sviluppi noti. Laughing

 

Un altro esempio

 

Studiare la convergenza, il raggio di convergenza, l'insieme di convergenza puntuale ed uniforme e la somma della serie di potenze:

 

\sum_{k=1}^{+\infty} (-1)^{k-2} \ \frac{(2x)^{k}}{k}

 

Poniamo t=2x, così facendo possiamo ricondurci a

 

\sum_{k=1}^{+\infty} (-1)^{k-2} \ \frac{t^{k}}{k}

 

che è una serie di potenze di centro x_0=0 e coefficienti a_k=\frac{(-1)^{k-2}}{k}.

 

Determiniamo il raggio R di convergenza utilizzando il criterio di D'Alembert o del rapporto. Poiché:

 

\lim_{k\to +\infty} \left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|= \lim_{k\to +\infty} \left|\frac{\frac{(-1)^{k-1}}{(k+1)}}{\frac{(-1)^{k-2}}{k}}\right| = \lim_{k\to +\infty} \left|\frac{k}{k+1}\right| = 1

 

si ha che R=1. Per il teorema di convergenza sulle serie di potenze, la serie converge puntualmente per ogni |t|<1. Ricordando che t=2x, la serie converge puntualmente per ogni x tale che:

 

-\frac{1}{2} \ \textless \ x \ \textless \ \frac{1}{2}

 

Vediamo che succede agli estremi di tali intervallo: per x=-\frac{1}{2} la serie diventa

 

\sum_{k=1}^{+\infty} (-1)^{k-2} \ \frac{(-1)^{k}}{k}=\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{k}

 

che diverge, dacché coincide con la serie armonica.

 

Per x=\frac{1}{2} la serie diventa:

 

\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{k-2}}{k}

 

che converge, in forza del criterio di Leibniz. Ne deduciamo che la serie di potenze converge puntualmente in \left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right] e uniformemente in ogni intervallo chiuso e limitato [-k,k], \ 0 \ \textless \ k \ \textless \ 1.

 

Calcoliamo la somma della serie di potenze.

 

Avevamo scritto, dopo aver posto t=2x la serie di partenza come:

 

\sum_{k=1}^{+\infty} (-1)^{k-2} \ \frac{t^{k}}{k}

 

Noterete subito (spero Tongue) una certa somiglianza con lo sviluppo in serie di Taylor di \log(1+t), che è dato da

 

\log(1+t)=\sum_{k=1}^{+\infty} (-1)^{k+1} \ \frac{t^{k}}{k}, \ \ \forall |t| \textless 1

 

Per quanto rigurda la condizione è tutto ok in quanto anche la nostra serie converge puntualmente per |t| \textless 1. Dobbiamo quindi cercare di ricondurci al suddetto sviluppo.

 

Osserviamo che:

 

(-1)^{k-2}=(-1)^{k+1-3}=(-1)^{k+1}\cdot (-1)^{-3}=-1^{k+1}\cdot (-1) = -(-1)^{k+1}

 

Pertanto

 

\sum_{k=1}^{+\infty} (-1)^{k-2} \ \frac{t^{k}}{k}=-\sum_{k=1}^{+\infty}(-1)^{k+1} \ \frac{t^k}{k} = -\log(1+t)

 

Ricordando ora che avevamo posto t=2x, possiamo risalire alla somma della nostra serie di partenza:

 

-log(1+2x), \ \forall x \ \in \ \left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right]

 

 


 

A volte, non si riesce a ricondursi immediatamente agli sviluppi noti, ma bisogna ricorrere ad altri stratagemmi che ci vengono forniti dai teoremi di integrazione e derivazione per serie di potenze. Niente paura! Li vedremo nella prossima lezione... Laughing

 

Nel frattempo, per eventuali dubbi o domande, vi consigliamo di cercare con la barra di ricerca di YM tra le migliaia di esercizi che abbiamo già risolto e spiegato. Sappiate poi che, eventualmente, potete sempre aprire una discussione nel Forum.

 

Galois

 

Lezione precedente..........Esercizi correlati...........Lezione successiva


Tags: metodi per calcolare la somma di una serie di potenze, esempi di calcolo della somma di una serie di potenze.