Serie di potenze e raggio di convergenza

Se ti trovi qui è perché, sicuramente, hai qualche dubbio sulle serie di potenze! Possiamo solo dirti che sei nel posto giusto! Grazie a questa lezione, alle successive e a tutte le pagine di YM che trattano l'argomento, ogni tuo dubbio e/o perplessità teorica sarà risolta e insieme vedremo come affrontare le varie tipologie di esercizi che riguardano le serie di potenze!

 

Partiamo innanzitutto col vedere cos'è una serie di potenze e qual è il suo raggio di convergenza.

 

Cos'è una serie di potenze?

 

Definizione: siano x_0 \in \mathbb{R} e \left(a_k\right)_{k\in \mathbb{N}} una successione di numeri reali. La serie:

 

(\spadesuit) \sum_{k=0}^{+\infty}a_k(x-x_0)^k

 

si dice serie di potenze di coefficienti a_k e punto iniziale (o centro) x_0.

 

Osservazioni

 

(1) Una serie di potenze altro non è se non una particolare serie di funzioni.

 

(2) Una serie di potenze del tipo (\spadesuit) convergerà sempre (per com'è definita) nel punto x_0, pertanto l'insieme I di convergenza di una serie di potenze sarà sempre non vuoto!

 

Raggio di convergenza di una serie di potenze

 

Definizione: si definisce raggio di convergenza della serie di potenze (\spadesuit) il valore reale:

 

R:= sup \left\{r\in\mathbb{R} \ | \ \sum_{k=0}^{+\infty} a_kr^k \ \mbox{ converge }\right\} 

 

Ovviamente per com'è definito:

 

R\geq 0 ovvero R\in [0,+\infty)

 

o ancora, il raggio di convergenza di una serie (che esiste sempre) sarà 0 o +\infty o un numero reale positivo.

 

 


 

 

Chiarito quindi cos'è una serie di potenze e cos'è il suo raggio di convergenza (che d'ora in poi indicheremo sempre con R), il nostro obiettivo è darti tutti gli strumenti affinché tu possa risolvere ogni tipologia di esercizio tu abbia di fronte. Avrai di certo già avuto modo di notare che la maggior parte degli esercizi sulle serie di potenze chiede di determinare il raggio di convergenza e l'insieme di convergenza puntuale ed uniforme della serie. Alla lezione sarai in grado di farlo! Laughing

 

Vediamo quindi innanzitutto due criteri che ci permetteranno, data una serie di potenze, di determinare (molto facilmente) il suo raggio di convergenza.

 

Criterio di D'Alembert (o criterio del rapporto)

 

Sia

 

\sum_{k=0}^{+\infty}a_k(x-x_0)^k

 

una serie di potenze di centro x_0, con a_k \neq 0 \ \forall k \in \mathbb{N}. Il criterio di D'Alembert, o criterio del rapporto, asserisce che se esiste

 

\lim_{k\to +\infty} \left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right| = l

 

allora

 

R=\left\{\begin{matrix}0 \ se \ l=+\infty \\ \\ +\infty \ se \ l=0 \\ \\ \frac{1}{l} \ se \ 0\textless l \textless +\infty\end{matrix}

 

 

Criterio di Cauchy-Hadamard (o criterio della radice)

 

Sia

\sum_{k=0}^{+\infty}a_k(x-x_0)^k

 

una serie di potenze di centro x_0. Il criterio di Cauchy-Hadamard, o criterio della radice per serie di potenze, stabilisce che se esiste

 

\lim_{k\to +\infty} \sqrt[k]{|a_k|} = l

 

allora

 

R=\left\{\begin{matrix}0 \ se \ l=+\infty \\ \\ +\infty \ se \ l=0 \\ \\ \frac{1}{l} \ se \ 0\textless l \textless +\infty\end{matrix}

 

Dopo aver visto come trovare il raggio di convergenza di una serie vediamo ora come si trova l'insieme di convergenza I di una serie di potenze. Enunciamo innanzitutto il seguente teorema:

 

 

Teorema di Abel

 

Sia

\sum_{k=0}^{+\infty}a_k(x-x_0)^k

 

una serie di potenze avente raggio di convergenza R\geq 0. Il teorema di Abel dice che:

 

(1) se la serie converge puntualmente in x_0+R allora essa convergerà uniformemente in ogni intervallo chiuso e limitato contenuto in (x_0-R,x_0+R\left];

 

(2) se la serie converge puntualmente in x_0-R allora essa convergerà uniformemente in ogni intervallo chiuso e limitato contenuto in [x_0-R,x_0+R);

 

(3) se la serie converge puntualmente in x_0-R e in x_0+R allora essa convergerà uniformemente in ogni intervallo chiuso e limitato contenuto in [x_0-R,x_0+R].

 

 

In soldoni cosa vuole dirci questo teorema? Semplicemente che l'insieme I di convergenza di una serie che abbiamo già visto essere sempre diverso dall'insieme vuoto, altro non è se non un intervallo!

 

Proprio per questo, per le serie di potenze, invece di insieme di convergenza si sente parlare di intervallo di convergenza.

 

Vediamo ora un teorema, noto come teorema di convergenza per le serie di potenze, che in base al valore di R (raggio di convergenza) ci permette di trovare senza il minimo sforzo, (tranne per che due casi che ora vedremo) l'intervallo di convergenza di una serie di potenze.

 

Teorema di convergenza per le serie di potenze

 

Sia

 

(\spadesuit) \sum_{k=0}^{+\infty}a_k(x-x_0)^k

 

una serie di potenze avente raggio di convergenza R\geq 0. Valgono:

 

(1) Se R=0 la serie di potenze (\spadesuit) converge puntualmente solo in x_0 (centro della serie).

 

(2) Se R=+\infty la serie di potenze (\spadesuit) converge:

 

- puntualmente in ogni x \in \mathbb{R}

 

- uniformemente in ogni intervallo chiuso e limitato [x_0-k, x_0+k], \ k\textgreater 0.

 

(3) Se 0\textless R \textless +\infty la serie di potenze (\spadesuit):

 

- converge puntualmente per ogni x tale che |x-x_0|<R

 

- non converge in alcun punto x tale che |x-x_0|>R

 

- converge uniformemente in ogni intervallo chiuso e limitato [x_0-k, x_0+k], 0\textless k \textless R.

 

Potrebbe sembrare difficile, ma non lo è affatto: Laughing cosa vuol dirci, infatti, questo teorema? Che l'insieme di convergenza I di una serie di potenze, che abbiamo già visto essere un intervallo, è un intervallo di centro x_0 (centro della serie) che:

 

(1) si riduce al solo x_0 se il raggio di convergenza R=0 

 

(2) coincide con \mathbb{R} se il raggio di convergenza R=+\infty

 

(3) è un intervallo aperto e limitato (x_0-R, x_0+R) se 0\textless R \textless +\infty.

 

ATTENZIONE! In quest'ultimo caso nulla si può dire sulla convergenza della serie agli estremi dell'intervallo (x_0-R, x_0+R), cioè dobbiamo andare a vedere "manualmente" cosa succede alla serie di potenze per x=x_0+R e per x=x_0-R

 

 

Abbiamo quindi ora tutti gli strumenti per risolvere gli esercizi che chiedono di determinare il raggio di convergenza e l'insieme di convergenza (puntuale ed uniforme) di una serie di potenze! Wink

 

Esempi sulle serie di potenze e sul calcolo del raggio di convergenza

 

A) Determinare il raggio di convergenza e gli insiemi di convergenza puntuale ed uniforme della serie:

 

\sum_{k=0}^{+\infty} \left(\sqrt[k]{k}-1\right)^k x^k.

 

Siamo di fronte ad una serie di potenze di coefficienti a_k=\left(\sqrt[k]{k}-1\right)^k e centro x_0=0.

 

Determiniamo innanzitutto il raggio di convergenza R della serie col criterio di Cauchy-Hadamard (o della radice). Poiché

 

\lim_{k\to +\infty} \sqrt[k]{|a_k|} = \lim_{k\to +\infty}\sqrt[k]{\left|\left(\sqrt[k]{k}-1\right)^k\right|} = \lim_{k\to +\infty} {|\sqrt[k]{k}-1|} = 0

 

allora:

 

R=+\infty

 

e quindi per il teorema di convergenza sulle serie di potenze, risulta che la serie converge puntualmente in \mathbb{R} e uniformemente in ogni intervallo chiuso e limitato [x_0-k, x_0+k] = [-k,k], \ k\textgreater 0.

 

 

B) Determinare il raggio di convergenza e gli insiemi di convergenza puntuale ed uniforme della serie

 

\sum_{k=1}^{+\infty} (2^k+3^k) x^k.

 

Siamo di fronte ad una serie di potenze di coefficienti a_k=(2^k+3^k) e centro x_0=0.

 

Cominciamo calcolando il raggio di convergenza R della serie col criterio di Cauchy-Hadamard (o della radice). Poiché:

 

\lim_{k\to +\infty} \sqrt[k]{|a_k|} = \lim_{k\to +\infty} \sqrt[k]{|2^k+3^k|} = \lim_{k\to +\infty} {\sqrt[k]{\left|3^k\left(\frac{2^k}{3^k}+1\right)\right|}} = 3

 

allora:

 

R=\frac{1}{3}

 

e quindi per il teorema di convergenza sulle serie di potenze la serie converge puntualmente in (x_0-R,x_0+R)=\left(-\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right).

 

Vediamo che succede agli estremi di tale intervallo. Per x=\frac{1}{3} la serie diventa

 

\sum_{k=1}^{+\infty} (2^k+3^k) \left(\frac{1}{3}\right)^k

 

e dato che

 

\lim_{k\to +\infty} {\left(\frac{2^k+3^k}{3^k}\right)}=1

 

non è soddisfatta, la condizione necessaria di convergenza delle serie numeriche. Analogamente per x=-\frac{1}{3}. Pertanto la serie converge puntualmente in \left(-\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right).

 

Inoltre converge uniformemente in ogni intervallo chiuso e limitato [-k, k], 0\textless k \textless R.

 

 

C) Determinare il raggio di convergenza e gli insiemi di convergenza puntuale ed uniforme della serie

 

\sum_{k=1}^{+\infty} k! \ x^k

 

Siamo di fronte ad una serie di potenze di coefficienti a_k=k! e centro x_0=0.

 

Per prima cosa, come al solito, cerchiamo il raggio di convergenza R della serie col criterio di d'Alambert (o del rapporto). Dato che

 

\lim_{k\to +\infty} \left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right| = \lim_{k\to +\infty} \left|\frac{(k+1)!}{k!}\right| = \lim_{k\to +\infty} |k+1| = +\infty

 

allora

 

R=0

 

e grazie al teorema di convergenza sulle serie di potenze concludiamo che la serie converge puntualmente solo in x_0=0.

 

 


 

 

Abbiamo voluto fornirvi solo tre esempi, uno per caso, giusto per farvi vedere in linea di massima come vanno le cose, e come in fin dei conti, se si conosce bene la parte teorica questa tipologia di esercizi non è poi così difficile. Se avete bisogno di altri esercizi svolti (quanti ne volete!) utilizzate l'apposita barra di ricerca in alto a destra. Ne troverete a centinaia! Tongue

 

Nella prossima lezione vedremo come fare per determinare la somma di una data serie di potenze.

 

Galois 

 

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