Jacobiano di cambiamenti di coordinate

Questa che ti appresti a leggere non è una vera e propria lezione, più che altro è un articolo in cui verranno calcolati i determinanti Jacobiani associati alle trasformazioni più utilizzate nella risoluzioni di integrali doppi e tripli. Non ha pretese incredibili, quindi molti concetti verranno dati per scontati; nel caso in cui avessi bisogno di chiarimenti, vienici a trovare nel forum!

 

Jacobiano di cambiamenti di coordinate in due dimensioni

 

Sia \Omega\subseteq\mathbb{R}^2 un aperto limitato, sia inoltre

 

\Phi:\Omega\longrightarrow \Phi(\Omega)\subset\mathbb{R}^2

 

una trasformazione biunivoca data dalla legge:

 

\Phi(u,v)=\begin{cases}x=\phi(u, v)\\ y=\psi(u,v)\end{cases} 

 

dove \phi,\psi:\Omega\longrightarrow\Phi(\Omega) sono funzioni con derivate parziali prime continue nel dominio. Definiamo  Jacobiana associata alla trasformazione \Phi la matrice:

 

\mathbf{J}_{\Phi}(u,v)=\begin{pmatrix}\displaystyle\frac{\partial \phi}{\partial u}&\displaystyle \frac{\partial \phi}{\partial v}\\ \\\displaystyle \frac{\partial \psi}{\partial u}&\displaystyle\frac{\partial \psi}{\partial v}\end{pmatrix}

 

Si chiama invece Jacobiano della trasformazione il determinante della matrice Jacobiana.

 

J_{\Phi}=\mbox{det}\begin{pmatrix}\displaystyle\frac{\partial \phi}{\partial u}&\displaystyle \frac{\partial \phi}{\partial v}\\ \\\displaystyle \frac{\partial \psi}{\partial u}&\displaystyle\frac{\partial \psi}{\partial v}\end{pmatrix}

 

Una proprietà interessante e utilissima è la seguente: sia \Phi^{-1}: \Phi(\Omega)\longrightarrow\Omega la trasformazione inversa di \Phi, allora la Jacobiana associata a tale trasformazione è:

 

\mathbf{J}_{\Phi^{-1}}=\mathbf{J}_{\Phi}^{-1}

 

cioè le matrici Jacobiane associate a trasformazioni inverse sono una l'inversa dell'altra. La cosa che ci preme di più è però la relazione che deriva dal teorema di Binet:

 

J_{\Phi}=\mbox{det}\mathbf{J}_{\Phi}=\frac{1}{\mbox{det}\mathbf{J}_{\Phi^{-1}}}=\frac{1}{J_{\Phi^{-1}}}\quad\color{blue}(1.1)

 

I due determinanti sono uno il reciproco dell'altro. Questa uguaglianza ha il pregio di risparmiarci notevolmente i calcoli, e quindi eventuali errori. Laughing Un'altra osservazione importante è che nella risoluzione degli integrali multipli, utilizzeremo il valore assoluto dello Jacobiano ed è ciò che ci accingeremo a calcolare nelle righe seguenti.

Fatta questa premessa, ci accingeremo a scrivere gli Jacobiani associati alle trasformazioni più ricorrenti nella risoluzione degli integrali. 

 

Jacobiano associato al cambiamento di coordinate polari

 

Consideriamo la trasformazione data dalle coordinate polari

 

\Phi(r,t)=\begin{cases}x(r,t)=r\cos(t)\\y(r,t)= r\sin(t)\end{cases}\quad\mbox{ con }r\textgreater 0, t\in (0, 2\pi)

 

Il valore assoluto dello Jacobiano associato alla trasformazione è

 

|J_{\Phi}|=\left| \mbox{det}\begin{pmatrix}\cos(t)&-r\sin(t)\\ \sin(t)& r\cos(t)\end{pmatrix}\right|=|r|=r

 

Osservate che r\textgreater 0 quindi il valore assoluto è superfluo.

 

Quando utilizzare le coordinate polari?

 

Questo tipo di trasformazione è utile quando il dominio di integrazione è un cerchio di centro (0,0), o una sua sezione, o ancora quando il dominio è una corona circolare di centro (0,0). A seconda di come si presenta l'insieme, le variabili r e t avranno dei precisi intervalli diversi dal dominio massimale.

 

Nel caso in cui il dominio presenti cerchi che hanno centro (x_0,y_0)\ne (0,0) allora utilizzeremo le coordinate polari centrate nel punto (x_0, y_0) rappresentate dalla trasformazione:

 

\Phi(r,t)=\begin{cases}x(r,t)=x_0+r\cos(t)\\y(r,t)=y_0+ r\sin(t)\end{cases}\quad\mbox{ con }r\textgreater 0, t\in (0, 2\pi)

 

Il valore assoluto dello Jacobiano associato alla trasformazione è

 

|J_{\Phi}|=\left| \mbox{det}\begin{pmatrix}\cos(t)&-r\sin(t)\\ \sin(t)& r\cos(t)\end{pmatrix}\right|=|r|=r

 

Il valore assoluto dello Jacobiano non cambia! :P

 

Jacobiano associato alla trasformazione in coordinate ellittiche

 

Consideriamo la trasformazione:

 

\Phi(r, t)= \begin{cases}x= a r\cos(t)\\ y= b r\sin(t)\end{cases}\quad a,b,r>0, t\in (0,2\pi)

 

Il determinante Jacobiano in valore assoluto è:

 

|J_\Phi|=\left|\mbox{det}\begin{pmatrix}a\cos(t)&-a r \sin(t)\\b\sin(t)& b r\cos(t)\end{pmatrix}\right|= a b r

 

Come sempre osservate che per ipotesi a,b ed r sono numeri reali positivi, quindi il valore assoluto è superfluo. 

 

Quando si utilizzano le coordinate ellittiche?

 

Tendenzialmente questo cambiamento di variabili si utilizza quando il dominio di integrazione è un ellisse di centro (0,0) di equazione:

 

 \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1

 

oppure una parte di essa. Nel caso in cui l'ellisse è centrata in (x_0,y_0),  cioè è della forma:

 

\frac{(x-x_0)^{2}}{a^2}+\frac{(y-y_0)^2}{b^2}=1

 

allora utilizzeremo la seguente trasformazione:

 

\Phi(r,t)=\begin{cases}x=x_0+a r\cos(t)\\ y= y_0+b r \sin(t)\end{cases}

 

In ogni caso |J_{\Phi}|= a b r

 

Jacobiano di cambiamenti di coordinate nello spazio

 

Possiamo estendere il concetto di Jacobiana anche nello spazio! Data infatti una trasformazione biunivoca:

 

\Phi:\Omega\subset\mathbb{R}^{3}\to \Phi(\Omega)\subset\mathbb{R}^{3}

 

con \Omega\subset\mathbb{R}^{3} aperto limitato:

 

\Phi(u, v, s)=\begin{cases}x=x(u,v,s)\\ y=y(u,v, s)\\ z= z(u,v, s) \end{cases}\quad (u,v,s)\in \Omega

 

con le funzioni coordinate che siano derivabili in \Omega. La matrice Jacobiana associata alla trasformazione è:


\mathbf{J}_{\Phi}= \begin{pmatrix}\frac{\partial x}{\partial u}& \frac{\partial x}{\partial v}&\frac{\partial x}{\partial s}\\ \\ \frac{\partial y}{\partial u}& \frac{\partial y}{\partial v}&\frac{\partial y}{\partial s}\\ \\\frac{\partial z}{\partial u}& \frac{\partial z}{\partial v }&\frac{\partial z}{\partial s}\end{pmatrix}

 

 

Il determinante Jacobiano è per definizione J_{\Phi}= \det(\mathbf{J}_{\Phi}) e vale il teorema dello Jacobiano inverso come nel caso bidimensionale. 

 

Considereremo ora due cambiamenti di coordinate notevoli nello spazio:

 

Jacobiano e coordinate sferiche

 

La sostituzione con coordinate sferiche torna utile quando il dominio di integrazione è una sfera o una sua parte. Essa è definita come:

 

\Phi(\rho, \phi, \theta)=\begin{cases}x= \rho \sin(\phi)\cos(\theta)\\ y= \rho\sin(\phi)\sin(\theta)\\ z= \rho \cos(\phi)\end{cases}\mbox{ con }\begin{align*}\rho&\in [0,+\infty)\\ \phi&\in [0, \pi]\\ \theta&\in [0, 2\pi]\end{align}

 

Il valore assoluto dello Jacobiano associato alla trasformazione è:

 

\begin{align*}|J_{\Phi}|&= \left|\det\begin{bmatrix}\cos(\theta)\sin(\phi)&\rho\cos(\theta)\cos(\phi)&-\rho\sin(\theta)\sin(\phi)\\ \sin(\theta)\sin(\phi)&\rho\cos(\phi)\sin(\theta)&\rho\cos(\theta)\sin(\phi)\\\cos(\phi)&-\rho\sin(\phi)&0\end{bmatrix}\right|\\&= \rho^2\sin(\phi)\end{align}

 

Il valore assoluto è superfluo perché sia \rho che \sin(\phi) con \phi\in [0,\pi] sono quantità non negative :)

 

Jacobiano e coordinate cilindriche

 

Le coordinate cilindriche vengono utilizzate quando il dominio di integrazione è un cilindro o una parte di esso. La trasformazione è:

 

\Phi(\rho, \theta, z)= \begin{cases}x= \rho \cos(\theta)\\ y= \rho \sin(\theta)\\ z= z\end{cases}\mbox{ con }\begin{align*}\rho&\in [0,+\infty)\\ \theta&\in [0,2\pi]\\ z&\in \mathbb{R}\end{align}

 

Il valore assoluto associato dello Jacobiano associato alla trasformazione è:

 

\begin{align*}|J_{\Phi}|&= \left|\det\begin{pmatrix}\cos(\theta)& -\rho \sin(\theta)&0\\ \sin(\theta)&\rho\cos(\theta)&0\\ 0&0&1\end{pmatrix}\right|\\&= \rho\end{align}

 

Ifrit 

 

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