Teorema di Gauss Green nel piano

Il teorema di Gauss Green è uno dei teoremi più belli in Analisi due perché mette in relazione due tipologie di integrali: l'integrale di linea di seconda specie lungo una curva chiusa e gli integrali doppi aventi dominio di integrazione la parte di piano delimitata da tale curva.

 

Questo teorema in effetti viene presentato sia nel linguaggio delle forme differenziali sia nel linguaggio dei campi vettoriali; qui di seguito cercheremo di vedere entrambi gli enunciati.

 

Teorema di Gauss Green nel piano

 

Cominciamo con l'enunciato del teorema di Gauss Green nel linguaggio delle forme differenziali, dopodiché ci concentreremo a capire quali sono gli elementi che intervengono.

 

Sia D un dominio regolare, limitato e connesso, di \mathbb{R}^2 avente frontiera \partial D data da una curva semplice, chiusa, regolare a tratti e positivamente orientata.

 

Sia poi \omega= A(x,y)dx + B(x,y)dy una forma differenziale definita su un insieme aperto \Omega contenente la chiusura \overline{D} di D, dove A e B sono funzioni di due variabili, derivabili con continuità in \Omega rispetto alle relative variabili A,B\in C^{1}(\Omega).

 

Allora sussiste la seguente identità:

 

 

\oint_{\partial^{+} D}A(x,y)dx+B(x,y)dy=\iint_{D}\frac{\partial B(x,y)}{\partial x}- \frac{\partial A(x,y)}{\partial y}dxdy\quad(1)

 

Analisi dell'enunciato e delle ipotesi del teorema di Gauss Green

 

Ok, abbiamo visto l'enunciato del teorema; ora vediamo di commentarla doverosamente. In effetti non abbiamo ancora visto cos'è un dominio regolare e non abbiamo detto che cosa si intende con \partial^{+}D

 

Un dominio regolare D è un insieme che si esprime come unione finita e disgiunta di domini normali regolari rispetto ad (almeno) uno degli assi coordinati

 

D=\bigcup_{k=1}^{n}D_{k}

 

Nel teorema di Gauss-Green si richiede che il dominio sia regolare cosicché la sua frontiera si scriverà come unione finita di curve regolari a tratti. Tutte queste ipotesi di regolarità sono necessarie per far sì che gli integrali in (1) siano ben posti.

 

 

Verso positivo di percorrenza sulla frontiera

 

La condizione di orientamento positivo della frontiera \partial^{+}D dà sempre tantissimi grattacapi agli studenti, e tra l'altro è un'ipotesi che viene spesso e volentieri sottovalutata. Le conseguenze possono essere abbastanza disastrose, (un errore del genere può compromettere una prova d'esame) quindi attenzione!

 

In questo paragrafo vedremo cosa si intende con verso positivo di percorrenza, senza ricorrere a formalismi che potrebbero confondere.

 

Immaginiamo di avere un dominio D senza buchi, la cui frontiera è una curva chiusa e liscia. La curva, chiamiamola \gamma, può essere percorsa in due sensi: in senso antiorario e in senso orario.

 

 

Orientazione della frontiera di un insieme

 

 

Ora un piccolo sforzo di immaginazione. Immaginiamo di camminare lungo la frontiera di D:

 

- percorrendolo in senso antiorario, il dominio D rimane sempre alla nostra sinistra. 

 

- percorrendolo in senso orario invece, il dominio D rimane sempre alla nostra destra. 

 

Per convenzione, nel caso in cui il dominio non abbia buchi, si prende come verso positivo di percorrenza quello antiorario.

 

 

Ricordiamo che l'orientazione di una curva dipende essenzialmente dalla parametrizzazione. Dovremo quindi stare attenti alla parametrizzazione scelta e che tipo di orientazione essa induce. Nel caso in cui l'orientazione non fosse quella richiesta, basterebbe invertire il segno del risultato.

 

 

La situazione in cui il dominio D presenta dei buchi è leggermente più problematica. Consideriamo ad esempio:

 

 

Orientazione di un insieme con buchi

 

 

In questo caso la frontiera è formata da due curve, una esterna \gamma_1 e una interna \gamma_2. In questo caso per orientare positivamente le due curve:

 

- percorreremo in senso antiorario \gamma_1;

 

- percorreremo in senso orario \gamma_2;

 

In entrambi i casi, notiamo che così facendo l'insieme rimane sempre a sinistra.

 

In definitiva, la regola che ci toglierà sempre dai guai è la seguente: le curve che limitano il dominio sono orientate positivamente se e solo se i punti del dominio stanno a sinistra rispetto alla frontiera.

 

Esempi sul teorema di Gauss Green

 

Proponiamo ora qualche esempio per vedere come funziona il teorema di Gauss Green.

 

 

1) Calcolare l'integrale curvilineo della forma differenziale

 

\oint_{\gamma} x^2dx+ y x dy

 

dove \gamma è la spezzata che congiunge ordinatamente i punti A=(0,0), B=(0, 1), C=(1,1), D=(1,0).

 

 

Svolgimento: osserviamo che la spezzata chiusa è la frontiera di un quadrato di lato 1 percorsa in senso orario, dunque negativamente

 

Q=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\ :\ 0\le x\le 1, 0\le y\le 1\}

 

 

Quadrato orientato negativamente

 

 

Qui si aprono due strade:

 

- la prima consiste nel parametrizzare la spezzata \gamma e utilizzare la definizione di integrale curvilineo;

 

- la seconda consiste nell'utilizzare Gauss Green.

 

Noi ovviamente seguiremo la seconda strada, a patto di verificare le ipotesi del teorema di Gauss Green.

 

Nell'esempio A(x,y)= x^2\quad B(x,y)= x y sono funzioni derivabili parzialmente con derivate parziali continue. Calcoliamole:

 

B_{x}(x,y)= y\qquad A_{y}(x,y)=0\implies B_{x}(x,y)- A_{x}(x,y)= y 

 

Per il teorema di Gauss Green abbiamo che:

 

\oint_{\gamma^{+}} x^2 dx+ x y dy= \iint_{Q} y dx dy= \int_{0}^{1}\int_{0}^{1} ydx dy= \frac{1}{2}

 

Attenzione all'orientazione: Gauss Green fornisce il valore dell'integrale curvilineo della forma differenziale sulla curva \gamma^{+} percorsa in senso antiorario (positivamente), mentre la traccia chiede di determinare l'integrale curvilineo sulla curva percorsa in senso orario (negativamente). Niente paura, sarà sufficiente invertire il segno del risultato!

 

\oint_{\gamma^{-}} x^2dx+ xy dy= -\iint_{Q} y dx dy= -\frac{1}{2}

 

Et voilà, Madame et Monsieurs, le jeux sont fait!

 

Formule per il calcolo dell'area di una superficie piana con Gauss Green

 

Il teorema di Gauss Green permette di determinare la misura di una superficie piana infatti sussiste il seguente risultato.

 

 

Corollario del teorema di Gauss Green

 

Sia D un dominio regolare di \mathbb{R}^2. Allora valgono le seguenti relazioni:

 

\mbox{Area}(D)=\iint_{D} dx dy=\int_{\partial^{+}D}x dy\quad (1)

 

\mbox{Area}(D)=\int_{\partial^{+}D}-y dx\quad (2)

 

\mbox{Area}(D)=\frac{1}{2}\int_{\partial^{+}D}- y dx + x dy\quad (3)

 

Le formule appena date sono particolarmente comode quando si conosce la parametrizzazione della frontiera di D e di cui non è immediata la scrittura in forma cartesiana.    

 

 

Esempio (area di una superficie racchiusa dal cappio di uno strofoide)

 

Vogliamo calcolare l'area della superficie D limitata dalla curva parametrica:

 

\gamma(t)=\begin{cases}x(t)=t^3-t\\ y(t)=-t^2+1\mbox{ con }t\in [-1,1]\end{cases}

 

 

Strofoide orientato positivamente

 

 

La curva è certamente chiusa per t\in[-1,1], infatti

 

\gamma(-1)=(0,0)=\gamma(1)

 

ed è regolare in (-1,1)

 

Per la formula (3):

 

\mbox{Area}(D)=\frac{1}{2}\oint_{\gamma^{+}}-y dx+ x dy

 

Risolviamo l'integrale curvilineo:

 

=\frac{1}{2}\int_{-1}^{1}- (-t^2+1)(3t^2-1)+(t^3-t) (-2t)dt=\frac{1}{2}\cdot \frac{16}{15}=\frac{8}{15}

 

Utilizzando la formula (1) otterremo lo stesso risultato:

 

\mbox{Area}(D)= \int_{\gamma^{+}} x dy= \int_{-1}^{1}(t^3-t)\cdot (-2t)dt=\frac{8}{15} 

 

Riformulazione del teorema di Gauss Green per campi vettoriali

 

Come dicevamo all'inizio della lezione, il teorema di Gauss Green possiede due formulazioni. Quella espresso nel linguaggio delle forme differenziali l'abbiamo già analizzato; ora vedremo l'enunciato del teorema di Gauss Green in termini di campi vettoriali.

 

In realtà non cambia assolutamente nulla, le forme differenziali e i campi vettoriali sono due facce della stessa medaglia.

 

 

Enunciato

 

Sia D\subset\mathbb{R}^2 un dominio regolare e sia \mathbf{F}:\Omega\subset\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2 un campo vettoriale definito su un insieme aperto \Omega contentende la frontiera \partial D:

 

\mathbf{F}(x,y)= (A(x,y), B(x,y))\mbox{ con }(x,y)\in\Omega

 

tali che le funzioni componenti siano derivabili parzialmente con derivate continue.

 

Allora:

 

 

\oint_{\partial^{+} D}\mathbf{F}\cdot dP= \iint_{D} \left(\frac{\partial B(x,y)}{\partial x}-\frac{\partial A(x,y)}{\partial y}\right)dxdy

 

 

Qual è la differenza tra i due enunciati? Nessuna! Gli esempi che abbiamo proposto per le forme differenziali possono essere riproposti nel linguaggio dei campi vettoriali, continuare con altri esempi della stessa tipologia sarebbe inutile. Questa volta l'esempio sarà un po' particolare, leggeremo al contrario la formula, passeremo cioè dall'integrale doppio ad un integrale curvilineo.

 

 

Esempio

 

Vogliamo calcolare il seguente integrale doppio con le formule di Gauss Green

 

\iint_{D} y^2 dx dy  

 

dove D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\ :\ 1\le x^2+ y^2\le 4\}

 

 

Parliamoci chiaro: passando alle coordinate polari potremmo calcolare agevolmente l'integrale doppio proposto! D'altra parte però l'esempio considerato è un classico perché mette in evidenza l'importanza dell'orientazione della frontiera del dominio di integrazione. Come procediamo? 

 

Per innescare Gauss Green abbiamo bisogno di un campo vettoriale

 

\mathbf{F}(x,y)=(A(x,y), B(x,y))

 

tale che

 

\frac{\partial B(x,y)}{\partial x}- \frac{\partial A(x,y)}{\partial y}= y^2 \quad(1).

 

Determinarlo non è affatto banale, ma possiamo eseguire una semplificazione e sperare che funzioni. Cerchiamo \mathbf{F}(x,y)=(0, B(x,y)) così che (1) si riduca a 

 

\frac{\partial B(x,y)}{\partial x}= y^2\implies B(x,y)=x y^2+ c(y)

 

dove c(y) è una funzione che dipende dalla sola variabile y. Semplifichiamo ulteriormente pretendendo che c(y) sia identicamente nulla in questo modo il campo vettoriale si esprimerà come:

 

\mathbf{F}(x,y)= (0, x y^2)

 

Ora dedichiamoci alla parte geometrica dell'esercizio. L'insieme D rappresenta una corona circolare la cui frontierà è data dall'unione di due circonferenze: una esterna di centro (0,0) e raggio 2 e una interna di centro (0,0) e raggio 1.

 

Parametrizziamo le due circonferenze facendo uso delle coordinate polari:

 

\gamma_1(\theta)=(2\cos(\theta), 2\sin(\theta))\mbox{ con }\theta\in [0, 2\pi)

 

Osserviamo che questa parametrizzazione induce una orientazione positiva, infatti la circonferenza viene percorsa in senso antiorario. Tutto ok perché l'insieme D sta alla sinistra della frontiera!

 

Parametrizziamo anche la circonferenza interna

 

\gamma_{2}(\theta)=(\cos(\theta), \sin(\theta))\mbox{ con }\theta\in [0, 2\pi)

 

percorsa anche questa volta in senso antiorario. Attenzione, qui non siamo contenti perché una scelta del genere ci porta ad avere la frontiera del buco percorsa in senso antiorario, mentre a noi serve in senso orario come in figura.

 

 

corona-circolare-con-frontiera-orientata

 

 

Poco male, cambieremo il segno all'integrale di linea associato:

 

\iint_{D} y^2 dx dy= \oint_{\gamma_{1}} \mathbf{F}\cdot dP- \oint_{\gamma_{2}} \mathbf{F}\cdot d P

 

Risolviamo gli integrale di linea:

 

\oint_{\gamma_1}\mathbf{F}\cdot dP=\int_{0}^{2\pi} 16\cos^2(\theta)\sin^2(\theta)d\theta=4\pi

 

\oint_{\gamma_2}\mathbf{F}\cdot dP= \int_{0}^{2\pi}\cos^2(\theta)\sin^2(\theta)d\theta=\frac{\pi}{4}

 

Sottraiamo i contributi così da ottenere il valore dell'integrale doppio

 

\iint_{D}y^2 dx dy= 4\pi- \frac{\pi}{4}=\frac{15}{4}\pi

 

 


 

Fine! Una piccola pausa e poi vi consigliamo di buttarvi sulla scheda di esercizi correlata. Se qualcosa non fosse chiaro, vi suggeriamo di cercare le risposte ai vostri dubbi con la barra di ricerca interna.

 

Un saluto a tutti

Salvatore Zungri (A.K.A ifrit)

 

Lezione precedente..........Esercizi correlati


Tags: teorema di Gauss Green con forme differenziali e con campi vettoriali - come usare il teorema di Gauss Green.