Integrali di superficie

Cosa sono e come si calcolano gli integrali di superficie di funzioni scalari? In questa lezione daremo tutte le risposte pratiche, fornendo il metodo generale, una buona dose di esempi e tutta la teoria da sapere in vista dell'esame.

 

Vedremo inoltre la formula per l'area di una superficie, ma non vogliamo rovinarvi la sorpresa... ;)

 

Cosa sono gli integrali di superficie

 

La definizione di integrale di superficie richiede un po' di ingredienti e un po' di requisiti teorici. Vediamoli:

 

 

\bullet\,\, una superficie parametrizzata S=\mathbf{r}(D) contenuta in \mathbb{R}^3 che sia regolare e limitata.

 

Osserviamo che \mathbf{r}:D\subset\mathbb{R}^2\to S è la parametrizzazione della superficie definita su insieme connesso D, detto dominio della parametrizzazione. Essa si presenterà esplicitamente nella forma vettoriale

 

\mathbf{r}(u, v)=(\alpha(u,v), \beta(u, v),\gamma(u,v) )

 

dove le funzioni componenti \alpha, \beta, \gamma ammettono derivate parziali prime continue in D:\ \alpha, \beta, \gamma\in C^{1}(D).

 

La matrice Jacobiana associata alla parametrizzazione \mathbf{r}

 

J_{\mathbf{r}}(u_0, v_0)=\begin{pmatrix}\alpha_{u}(u_0, v_0)&\beta_{u}(u_0, v_0)&\gamma_{u}(u_0, v_0)\\ \alpha_{v}(u_0, v_0)&\beta_{v}(u_0, v_0)&\gamma_{v}(u_0, v_0)\end{pmatrix}

 

ha rango 2 per ogni (u_0, v_0)\in D

 

\mbox{rank}(J_{\mathbf{r}}(u_0,v_0))=2\quad\forall (u_0, v_0)\in D

 

che è equivalente a richiedere che il prodotto vettoriale tra la derivata rispetto ad u di \mathbf{r} per la sua derivata rispetto a v sia diverso dal vettore nullo per ogni punto (u_0, v_0)\in D

 

\mathbf{r}_{u}(u_0, v_0)\times \mathbf{r}_{v}(u_0, v_0)\ne (0, 0, 0)\quad\forall (u_0, v_0)\in D

 

 

\bullet\,\, una funzione scalare f a valori in \mathbb{R}, continua e definita su un insieme \mbox{dom}(f)\subseteq\mathbb{R}^3 contenente la superficie S.

 

f: \mbox{dom}(f)\subseteq\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}

 

 

Ora che abbiamo gli ingredienti possiamo definire l'integrale di superficie della funzione f sulla superficie S come

 

 

\int_{S}f dS=\iint_{D} f(\mathbf{r}(u,v))||\mathbf{r}_{u}(u,v)\times \mathbf{r}_{v}(u, v)||du dv

 

 

Scriviamo le espressioni che compaiono negli integrali, a partire da f(\mathbf{r}(u, v))

 

f(\mathbf{r}(u, v))= f(\alpha(u, v), \beta(u, v), \gamma(u,v))

 

che è la funzione f valutata in (\alpha(u, v), \beta(u, v), \gamma(u,v)) con (u,v)\in D.

 

Poi passiamo a ||\mathbf{r}_{u}(u, v)\times \mathbf{r}_{v}(u, v)||

 

||\mathbf{r}_{u}(u, v)\times \mathbf{r}_{v}(u, v)||=\left|\left|\mbox{det}\begin{pmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\ \alpha_{u}(u,v)&\beta_{u}(u, v)&\gamma_{u}(u,v)\\ \alpha_{v}(u,v)&\beta_{v}(u,v)&\gamma_{v}(u,v)\end{pmatrix}\right|\right|=

 

=||\left(\beta_{u}\gamma_{v}-\gamma_{u}\beta_{v},-(\alpha_{u}\gamma_{v}- \alpha_{v}\gamma_{u}), \alpha_{u}\beta_{v}-\alpha_{v}\beta_{u} \right)||

 

che è sostanzialmente la norma del vettore che si ottiene moltiplicando vettorialmente \mathbf{r}_{u} e \mathbf{r}_{v}

 

Dal punto di vista geometrico \mathbf{r}_{u}(u_0, v_0) e \mathbf{r}_{v}(u_0, v_0) sono vettori tangenti alla superficie; inoltre il loro prodotto vettoriale

 

\mathbf{N}(u_0, v_0)=\mathbf{r}_{u}(u_0, v_0)\times \mathbf{r}_{v}(u_0, v_0)

 

fornisce il vettore normale alla superficie \mathbf{N}(u_0, v_0) nel punto (u_0, v_0).

 

 

Molto spesso, nei libri di testo, gli integrali di superficie vengono scritti anche nella forma:

 

\int_{S} fdS=\iint_{D}f(\mathbf{r}(u,v))||\mathbf{N}(u,v)||dudv

 

Come calcolare gli integrali di superficie

 

Quali sono i passi per calcolare gli integrali di superficie, data una superficie S e una funzione f?

 

 

Il procedimento è semplice:

 

 

1. Si determina una parametrizzazione \mathbf{r} della superficie S ed il relativo dominio D.

 

Questo, per molti è il passo più complicato perché la ricerca di una parametrizzazione non è immediata. Qui di seguito scriveremo alcune accortezze e suggerimenti che possono tornare utili.

 

- Se la superficie si presenta come grafico di una funzione z=g(x,y) allora possiamo utilizzare la parametrizzazione naturale:

 

\mathbf{r}(x,y)=(x, y, g(x,y))\mbox{ con }(x,y)\in D

 

dove D\subseteq\mbox{dom}(g) è un insieme dato dalla traccia dell'esercizio. 

 

- Se abbiamo a che fare con superfici sferiche o parti di superfici sferiche, allora possono tornarci utili le coordinate sferiche;

 

- Se le superfici presentano una simmetria assiale, come ad esempio cilindri o coni (senza punta) faremo ricorso invece alle coordinate cilindriche.

 

 

2. Si calcolano le derivate parziali di \mathbf{r} rispetto alle variabili date.

 

\mathbf{r}_{u}(u, v)=(\alpha_{u}(u,v), \beta_{u}(u, v), \gamma_{u}(u,v))

 

\mathbf{r}_{v}(u, v)=(\alpha_{v}(u,v), \beta_{v}(u,v), \gamma_{v}(u,v))

 

 

3. Eseguiamo il prodotto vettoriale così da determinare il vettore normale alla superficie nel generico punto

 

\mathbf{N}(u, v)=\mathbf{r}_{u}(u,v)\times \mathbf{r}_{v}(u,v)

 

 

4. Calcoliamo la norma del vettore \mathbf{N}(u,v).

 

 

5. Impostiamo e risolviamo l'integrale doppio:

 

\iint_{D}f(\mathbf{r}(u,v))||\mathbf{N}(u,v)||dudv

 

Altro punto delicato: l'integrale doppio può essere complicato perché può capitare di avere a che fare con un dominio o con una funzione particolarmente molesti. Non demoralizziamoci, superato questo scoglio l'esercizio può ritenersi concluso.

 

Esempi sugli integrali di superficie

 

Esempio 1: calcoliamo l'integrale di superficie 

 

\int_{S}x^2+y^2dS

 

dove S è la porzione di grafico della funzione g(x,y)=x y contenuta nel cilindro x^2+y^2=1

 

 

Svolgimento:

 

f(x,y)=x^2+y^2 è la funzione integranda;

 

La superficie che ci interessa è il grafico della funzione g(x,y)=x y definita su

 

D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\ :\ x^2+y^2\le 1\}

 

Parametrizziamo la superficie in modo naturale

 

\mathbf{r}(x,y)=(x,y, x y)\mbox{ con }(x,y)\in D

 

e calcoliamo le derivate parziali rispetto ad x e y del vettore di parametrizzazione \mathbf{r}:

 

\mathbf{r}_{x}(x,y)=(1,0, y),\ \ \ \mathbf{r}_{y}(x,y)=(0, 1, x)

 

Il prodotto vettore è:

 

\mathbf{N}(x,y)=\mathbf{r}_{x}(x,y)\times \mathbf{r}_{y}(x,y)=\mbox{det}\begin{pmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\ 1&0&y\\ 0&1&x\end{pmatrix}=(-y, -x, 1)

 

Ora passiamo al calcolo della norma:

 

||\mathbf{N}(x,y)||=\sqrt{1+x^2+y^2}

 

La funzione f(x,y), composta con \mathbf{r}(x,y), ci dà

 

f(\mathbf{r}(x,y))= f(x,y, x y)= x^2+ y^2

 

Abbiamo tutto quello che ci serve per impostare l'integrale di superficie secondo la definizione:

 

\int_{S}x^2+y^2dS= \iint_{D} (x^2+y^2)\sqrt{1+x^2+y^2}dxdy

 

Per risolvere l'integrale doppio possiamo procedere in coordinate polari, ponendo:

 

x=\rho\cos(\theta)\quad y=\rho\sin(\theta)

 

Il dominio si riscrive come

 

D=\{(\rho, \theta): 0\le \rho\le 1, \theta\in [0, 2\pi)\}.

 

Il valore assoluto dello Jacobiano associato alla trasformazione è |J|=\rho, per cui l'integrale doppio diventerà:

 

\int_{0}^{1}\int_{0}^{2\pi}\rho^3\sqrt{1+\rho^2}d\theta d\rho=[\mbox{ conti }]=\frac{4\pi}{16} (1+\sqrt{2})

 

Finito!

 

Integrali di superficie per il calcolo delle aree

 

Nel caso in cui la funzione integranda sia uguale ad 1 l'integrale di superficie su una superficie regolare S restituisce l'area di S stessa.

 

 

\mbox{Area}(S)=\iint_{D}||N(u,v)||dudv

 

 

Caso particolare: la superficie dell'area di un grafico di una funzione g(x,y) definita su un insieme D è:

 

 

\mbox{Area}=\iint_{D}\sqrt{1+g_{x}(x,y)+g_{y}(x,y)}dxdy

 

 

Esempio 2

 

Verifichiamo che l'area della superficie di una sfera di raggio fissato R>0, di equazione

 

x^2+y^2+z^2=R^2

 

è esattamente quella che conosciamo dalle scuole medie: \mbox{Area}=4\pi R^2.

 

 

Svolgimento: parametrizziamo al superficie sferica con le coordinate sferiche

 

\mathbf{r}(\theta, \phi)=(R\sin(\phi)\cos(\theta),R\sin(\phi)\sin(\theta),R\cos(\phi))

 

dove \phi\in [0, \pi], \theta\in [0, 2\pi). Le derivate parziali del primo ordine sono:

 

\mathbf{r}_{\theta}(\theta, \phi)=(-R\sin(\phi)\sin(\theta), R\cos(\theta)\sin(\phi), 0)

 

\mathbf{r}_{\phi}(\theta, \phi)=(R\cos(\phi)\cos(\theta), R\cos(\phi)\sin(\theta), - R\sin(\phi))

 

Il vettore normale è:

 

\mathbf{N}(\theta, \phi)=\mathbf{r}_{\theta}(\theta, \phi)\times \mathbf{r}_{\phi}(\theta, \phi)=

 

=(-R^2\cos(\theta)\sin^2(\phi),-R^2\sin^2(\phi)\sin(\theta), -R^2\cos(\phi)\sin(\phi) )

 

ed ha norma data da

 

||\mathbf{N}(x,y)||=\sqrt{R^4\sin^2(\phi)}=R^2|\sin(\phi)|=R^2\sin(\phi)\mbox{ con }\phi\in [0,\pi]

 

Abbiamo tutti gli ingredienti per impostare l'integrale di superficie che ci permette di determinare l'area

 

\mbox{Area}=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}R^2\sin(\phi)d\phi d\theta=4\pi R^2

 

Che è proprio la formula dell'area della superficie della sfera!

 

 

Esempio 3

 

Possiamo utilizzare la formula dell'area anche quando abbiamo a che fare con superfici regolari a tratti, ovvero quelle superfici che si scrivono come unione finita e disgiunta di superfici regolari. In tal caso calcoleremo gli integrali di superficie su ciascuna di esse e ne sommeremo i contributi.

 

A titolo di esempio calcoleremo la superficie totale del cilindro con raggio di base 1, tale da avere una superficie di base sul piano z=0 e quella opposta sul piano z=1

 

Il cilindro in questione è l'unione di tre superfici regolari: la superficie laterale S_{\ell} e le due basi S_{b_1}, S_{b_2}. Parametrizzeremo ciascuna di esse cominciando con la superficie laterale

 

\mathbf{r}_{S_{\ell}}(\theta,z)=(\cos(\theta), \sin(\theta), z)\mbox{ con }\theta\in[0, 2\pi)\mbox{ e }z\in [0, 1]

 

Le derivate parziali rispetto a \theta e z sono rispettivamente

 

\mathbf{r}_{S_{\ell}, \theta}(\theta, z)= (-\sin(\theta), \cos(\theta), 0)

 

\mathbf{r}_{S_{\ell, z}}(\theta, z)= (0,0, 1)

 

Eseguendo il prodotto vettore scopriamo che il vettore normale è 

 

\mathbf{N}_{1}(\theta, z)=(\cos(\theta), \sin(\theta), 0)

 

la cui norma è

 

||\mathbf{N}_1(\theta, z)||=||(\cos(\theta), \sin(\theta), 0)||=1

 

Dunque l'area della superficie laterale misura:

 

\mbox{Area}(S_{\ell})=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}dz d\theta=2\pi

 

La superficie di base sul piano z=0 si parametrizza come

 

\mathbf{r}_{S_{b_1}}(\rho, \theta)=(\rho\cos(\theta), \rho \sin(\theta), 0)\mbox{ con }0\le \rho\le 1\mbox{ e }\theta\in [0,2\pi)

 

Procedendo in modo usale si arriva a scrivere

 

||\mathbf{N}_{2}(\rho, \theta)||=||(0,0, r)||=r 

 

L'area della superficie di base sarà quindi

 

\mbox{Area}(S_{b_1})=\int_{0}^{1}\int_{0}^{2\pi}d\theta d\rho= 2\pi

 

La superficie di base sul piano z=1 si parametrizza invece come

 

\mathbf{r}_{S_{b_2}}(\rho, \theta)=(\rho\cos(\theta), \rho\sin(\theta), 1)\mbox{ con }0\le \rho\le 1\mbox{ e }\theta\in [0, 2\pi)

 

e, come nel caso precedente 

 

||\mathbf{N}_{3}(\rho, \theta)||=||(0, 0, \rho)||=\rho

 

Impostiamo l'integrale

 

\mbox{Area}(S_{b_2})=\int_{0}^{1}\int_{0}^{2\pi}d\theta d\rho=2\pi

 

e concludiamo sommando i contributi ottenuti

 

\mbox{Area totale}=\mbox{Area}(S_{\ell})+\mbox{Area}(S_{b_1})+\mbox{Area}(S_{b_2})=2\pi+2\pi+2\pi=6\pi.

 

Finito!

 

 


 

Ci fermiamo qui. Vi raccomandiamo di dare un'occhiata alla scheda di esercizi correlati (sono tutti risolti), non ve ne pentirete! ;)

 

Alla prossima

Salvatore Zungri (A.K.A Ifrit) 

 

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