Coordinate cilindriche

Dopo aver parlato delle coordinate sferiche, occupiamoci di un ulteriore sistema di coordinate che trova svariate applicazioni negli esercizi e nella teoria: parliamo delle coordinate cilindriche. Qui di seguito vedremo come ricavare le coordinate cilindriche, come si usano e tante altre cose, ma partiremo subito dalle formule di passaggio, giusto per accontentare chi va di fretta. ;)

 

Formule di passaggio alle coordinate cilindriche

 

Grazie alle coordinate cilindriche è possibile esprimere le coordinate cartesiane di un punto nello spazio, P(x,y,z) in funzione di tre nuove variabili \rho, \theta, z. Vediamo subito le leggi di trasformazione:

 

\begin{cases}x=\rho\cos(\theta)\\ y=\rho\sin(\theta)\\ z=z\end{cases}\mbox{ con }\begin{matrix}\rho\in [0, +\infty)\\ \theta\in [0, 2\pi)\\ z\in (-\infty, +\infty)\end{matrix}

 

dove 

 

\bullet\,\,\rho è la distanza tra l'origine degli assi e la proiezione del punto P sul piano x y;

 

\bullet\,\, \theta è l'angolo formato tra l'asse delle x positive e la retta congiungente l'origine e la proiezione del punto P sul piano base x y;

 

\bullet\,\, z è la quota del punto P.

 

Come ricavare le coordinate cilindriche

 

In questo paragrafo mostreremo come si ricavano le coordinate cilindriche e avremo modo di fare un uso massiccio dei teoremi trigonometrici dei triangoli rettangoli, quindi nel caso servisse suggeriamo un piccolo ripasso preventivo... Fatto? Bene, possiamo continuare! ;)

 

Consideriamo un sistema di assi coordinati Oxyz e siano P un punto di coordinate P(x,y,z) e Q la sua proiezione sul piano base Oxy. Il nostro intento consiste nell'esprimere le coordinate cartesiane in funzione delle coordinate cilindriche \rho, \theta, z.

 

 

Come ricavare le coordinate cilindriche

 

 

Osserviamo che la coordinata z è la stessa sia in coordinate cilindriche che in coordinate cartesiane, dunque la quota non cambia, per cui abbiamo semplicemente

 

\bullet\,\,z=z\mbox{ con }z\in \mathbb{R}

 

Sul piano base Oxy possiamo costruire un triangolo rettangolo avente per ipotenusa il segmento OP, la cui lunghezza è \rho

 

 

Coordinate cilindriche sul piano base

 

 

Sia \theta l'angolo formato tra l'asse delle x positive e la retta congiungente i punti O e Q. Per definizione di seno e coseno potremo scrivere

 

\bullet\,\,x=\rho\cos(\theta)

 

\bullet\,\,y=\rho\sin(\theta)

 

con \rho\ge 0\mbox{ e }\theta\in [0,2\pi)

 

Ed ecco svelato il mistero delle coordinate cilindriche: in fin dei conti stiamo semplicemente esprimendo le variabili x,y in coordinate polari (piane), mentre la quota z è la stessa delle coordinate cartesiane.

 

Coordinate cilindriche traslate

 

Quelle che abbiamo scritto in precedenza sono le coordinate cilindriche con asse di simmetria coincidente con l'asse z. In generale nulla vieta di considerare un sistema di coordinate cilindriche con asse di simmetria traslato, ad esempio dato dalla generica retta in forma cartesiana

 

r:\ \begin{cases}x=x_0\\ y=y_0 \end{cases}

 

In tal caso le coordinate cilindriche con asse di simmetria r sono definite come segue (e comprenderne il motivo non è affatto difficile)

 

\begin{cases}x=x_0+\rho\cos(\theta)\\ y=y_0+\rho\sin(\theta)\\ z= z\end{cases}\mbox{ con }\begin{matrix}\rho&\in [0, +\infty)\\ \theta&\in [0, 2\pi)\\ z&\in (-\infty, +\infty)\end{matrix}

 

Domini naturali delle coordinate cilindriche

 

Nella scrittura delle leggi che esprimono le coordinate cartesiane in funzione delle coordinate cilindriche abbiamo specificato gli intervalli di variabilità, o domini naturali, delle singole variabili. Perché \rho varia tra [0, +\infty), \theta varia in [0, 2\pi) e z varia in (-\infty, +\infty) ? Comprenderne il motivo è semplice, a patto di appoggiarsi ad una corretta interpretazione geometrica delle coordinate cilindriche.

 

Quando fissiamo \rho stiamo fissando una distanza tra due punti, che in quanto tale non può essere negativa. Naturalmente possiamo allontanarci quanto vogliamo dall'asse z.

 

Notiamo che, fissando \rho e lasciando libere le altre coordinate, stiamo descrivendo un cilindro infinito (da cui il nome coordinate cilindriche).

 

Una volta fissata anche la variabile \theta, con z libera, vengono individuati tutti i punti che si ottengono intersecando il cilindro con il semipiano avente retta d'origine l'asse z, e che costituiscono una retta verticale (in verde nell'immagine). Al variare di \theta\in [0, 2\pi) vengono prese in considerazione tutte le rette verticali appartenenti al cilindro, pertanto considerare valori di \theta maggiori o uguali a 2\pi o minori di 0 porterebbe a descrivere rette già individuate dai valori \theta\in [0,2\pi).

 

Infine, z è la quota del punto e non è soggetta ad alcuna limitazione, sicché può variare in (-\infty, +\infty). Fissando tale variabile, e la variabile \rho si viene ad individuare una circonferenza (in blu nell'immagine). Le tre variabili, \rho, \theta, z, individuano univocamente la posizione del punto.

 

 

coordinate-cilindriche-interpretazione-geometrica

 

 

Coordinate cilindriche in funzione delle coordinate cartesiane

 

Esprimeremo ora le coordinate cilindriche \rho, \theta, z in funzione delle coordinate cartesiane x,y,z

 

Ecco le formule:

 

\begin{cases}\rho=\sqrt{x^2+y^2}\\ \theta=\mbox{ vedi nota }(1)\\ z=z\end{cases}

 

Vediamo un po' di mettere i puntini sulle i. La variabile più facile? Be', è certamente z dal momento che rimane invariata! Il discorso è un po' più delicato per \rho e \theta.

 

\bullet\,\, \rho: sia P=(x,y,z), la sua proiezione nel piano x y, Q, ha coordinate Q=(x,y,0), utilizziamo la formula della distanza tra i punti O e Q, otterremo facilmente che:

 

\rho=\overline{OQ}=\sqrt{x^2+y^2}

 

\mbox{Nota }(1)

 

\bullet\,\, \theta:\,\, per questa variabile vale lo schema:

 

\theta=\begin{cases}\frac{\pi}{2}\mbox{ se }x=0,\ y>0\\ \frac{3\pi}{2}\mbox{ se }x=0,\ y<0\\ \mbox{ non definito se }x=0,\ y=0\\ \arctan{\left(\frac{y}{x}\right)}\mbox{ se }x>0,y\ge 0\\ \arctan{\left(\frac{y}{x}\right)}+2\pi\mbox{ se }x>0, y<0\mbox{ oppure se } x<0, y>0\\ \arctan\left(\frac{y}{x}\right)+\pi\mbox{ se }x<0, y\le 0\end{cases}

 

Per evitare di impararlo a memoria, potremmo avvalerci del sistema di equazioni:

 

\begin{cases}\cos(\theta)=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\\ \sin(\theta)=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\end{cases}\mbox{ con }\theta\in [0, 2\pi)

 

 

Quando usare le coordinate cilindriche

 

Le coordinate cilindriche sono particolarmente comode negli integrali tripli quando:

 

\bullet\,\, la funzione integranda dipende dal termine x^2+y^2;

 

\bullet\,\, quando il dominio di integrazione è un cilindro, o una sua parte. In generale quando  è presente x^2+y^2, ed è dunque presente una simmetria assiale come paraboloidi circolari o coni (vedi: quadriche).

 

 

Esempio 1

 

Esprimiamo in coordinate cilindriche l'insieme:

 

E=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:\ x^2+y^2\le 1,\ -1\le z\le 1 \}

 

Geometricamente parlando è un cilindro di altezza 2 e raggio di base R=1. Sostituiamo le coordinate cilindriche nelle coordinate cartesiane:

 

x^2+y^2\le 1\implies \rho^2\cos^2(\theta)+\rho^2\sin^2(\theta)\le 1

 

Ora un po' di raccoglimento totale e relazione fondamentale della goniometria

 

\rho^2(\overbrace{\cos^2(\theta)+ \sin^2(\theta)}^{=1})\le 1\implies \rho^2\le 1

 

che per \rho\ge 0 conduce alla soluzione \rho \in [0,1]. Abbiamo ottenuto una limitazione su \rho ma non su \theta, essa varia nel suo dominio naturale.  La condizione -1\le z\le 1 limita la coordinata z.

 

L'insieme E in coordinate cilindriche si riscrive come:

 

E=\{(\rho, \theta, z): 0\le \rho\le 1, \theta\in [0, 2\pi), z\in [-1,1]\}

 

 

Esempio 2

 

Trasformiamo in coordinate cilindriche l'insieme:

 

A=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3: 1-x^2-y^2\ge z, z\ge 0\}

 

L'insieme A è composto dai punti dello spazio delimitati dal paraboloide ellittico di equazione z=1-x^2-y^2 e il piano di equazione z=0.

 

Sostituiamo le coordinate cilindriche nella condizione:

 

1-x^2-y^2\ge z\implies 1-\rho^2\cos^2(\theta)-\rho^2\sin^2(\theta)\ge z

 

raccogliendo parzialmente -\rho^2 e utilizzando la relazione fondamentale della goniometria:

 

1-\rho^2(\cos^2(\theta)+\sin^2(\theta))\ge z\implies \rho^2\le 1-z

 

Attenzione: nella disequazione c'è un vincolo nascosto, il primo membro è certamente non negativo, e conseguentemente dobbiamo pretendere che anche il secondo membro lo sia: 1-z\ge 0\implies z\le 1 che con la condizione data dall'esercizio limita la variabile z in [0,1].

 

Torniamo alla disequazione \rho^2\le 1-z\implies |\rho|\le \sqrt{1-z} e poiché \rho\ge 0 allora la condizione che limiterà \rho è:

 

0\le \rho\le \sqrt{1-z}

 

Non abbiamo vincoli su \theta che potrà variare nel suo insieme naturale.

 

In coordinate cilindriche l'insieme A diventa:

 

A=\{(\rho, \theta, z): 0\le \rho\le \sqrt{1-z}, \theta\in [0, 2\pi), z\in [0,1]\}

 

 

Esempio 3

 

Trasformiamo l'insieme 

 

S=\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:{\color{blue} x^2+y^2\le z^2},\, {\color{red}\frac{1}{4}\le x^2+y^2\le 1},\, {\color{DarkOrange}y\ge 0},\, 0\le z\le 1\right\}

 

in coordinate cilindriche. Esso è definito da 4 condizioni. La prima è soddisfatta da tutti i punti che stanno al di sopra, e al di sotto, del cono di equazione x^2+y^2=z^2

 

La seconda è soddisfatta da tutti i punti dello spazio che stanno tra i cilindri di equazione

 

x^2+y^2=\frac{1}{4}\mbox{ e }x^2+y^2=1

 

La terza condizione è soddisfatta da tutti punti che hanno ordinata positiva. 

 

L'ultima condizione è soddisfatta da tutti punti dello spazio che vivono tra i piani z=0\mbox{ e }z=1.

 

Sostituiremo in ciascuna le coordinate cilindriche così da trovare i vincoli sulle variabili.

 

\bullet\,\, x^2+y^2\le z^2\implies \rho^2\le z^2\implies |\rho|\le |z|\implies \rho\le |z|

 

\bullet\,\, \frac{1}{4}\le x^2+y^2\le 1\implies \frac{1}{4}\le \rho^2\le 1\implies \frac{1}{2}\le \rho\le 1

 

\bullet\,\,y\ge 0\implies \rho\sin(\theta)\ge 0\implies \sin(\theta)\ge 0\implies 0\le\theta\le \pi

 

\bullet\,\, 0\le z\le 1

 

Combiniamo la prima condizione con la quarta così da ottenere

 

\rho\le z\le 1

 

La seconda condizione fornisce una limitazione ben precisa di \rho, mentre la terza limita \theta. Abbiamo concluso, possiamo scrivere:

 

S=\left\{(\rho, \theta, z): \frac{1}{2}\le \rho\le 1, \theta\in [0, \pi], \rho\le z\le 1\right\}

 

 


 

Terminiamo qui la lezione! In caso di dubbi vi suggeriamo di utilizzare la barra di ricerca interna, troverete sicuramente tutte le risposte ai vostri dubbi. ;)

 

Buona Matematica a tutti!

Salvatore Zungri (a.k.a. Ifrit)

 

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