Coordinate sferiche

Le coordinate sferiche (dette anche coordinate polari nello spazio) permettono di esprimere la posizione di un punto nello spazio in un sistema diverso rispetto alle coordinate cartesiane, e in molte occasioni semplificano i conti, come ad esempio negli integrali tripli, oppure nello studio di funzioni di tre variabili con simmetria radiale.

 

In questa lezione vedremo quali sono le formule per le coordinate sferiche, come si ricavano e qualche esempio di applicazione. 

 

Formule per le coordinate sferiche

 

Vediamo subito le formule che descrivono lo spazio in coordinate sferiche, senza interessarci momentaneamente di come si ricavano, aspetto che avremo cura di approfondire in un secondo momento. Prima di partire a razzo però, cerchiamo di comprendere cosa stiamo effettivamente facendo.

 

In coordinate cartesiane un punto P nello spazio viene individuato da una tripla di valori P=(x,y,z) , rispettivamente l'ascissa x , l'ordinata y e la quota z . Si tratta del sistema di coordinate cui siamo normalmente abituati, niente di più e niente di meno. In talune occasioni conviene però descrivere lo spazio in modo diverso e passare in coordinate sferiche.

 

Per farlo abbiamo bisogno ovviamente di tre variabili che chiameremo (\rho, \theta, \varphi) .

 

Coordinate sferiche con \varphi colatitudine

 

Vediamo le formule di passaggio dalle coordinate cartesiane a coordinate sferiche, ossia esprimiamo x,y,z in funzione di \rho, \theta, \varphi dove \varphi è la colatitudine, o angolo polare, che varia tra [0, \pi] ed è l'angolo formato dall'asse delle z positive con il segmento che unisce l'origine con il punto P .

 

 

Coordinate sferiche e colatitudine

 

 

\begin{cases}x=\rho\sin(\varphi)\cos(\theta)\\ y=\rho\sin(\varphi)\sin(\theta)\\ z=\rho\cos(\varphi)\end{cases}\mbox{ con }\begin{matrix}\rho\in [0, +\infty)\\ \theta\in [0, 2\pi)\\ \varphi\in \left[0, \pi\right]\end{matrix}

 

Gli intervalli che abbiamo riportato sono detti domini naturali in cui variano le variabili \rho, \theta, \varphi .

 

Coordinate sferiche con \varphi latitudine

 

Alcuni docenti preferiscono utilizzare le coordinate sferiche con \varphi latitudine, cioè con l'angolo formato tra il piano x y e la congiungente tra l'origine O e il punto P .

 

 

Coordinate sferiche e latitudine

 

 

In tal caso le coordinate sferiche si scriveranno come

 

\begin{cases}x=\rho\cos(\varphi)\cos(\theta)\\ y=\rho\cos(\varphi)\sin(\theta)\\ z=\rho\sin(\varphi)\end{cases}\mbox{ con }\begin{matrix}\rho\in [0, +\infty)\\ \theta\in [0, 2\pi)\\ \varphi\in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\end{matrix}

 

Attenzione! Quando parleremo di coordinate sferiche sarà necessario specificare per benino l'intervallo di variabilità della coordinata \varphi .

 

 

Osservazione (equivalenza delle due rappresentazioni)

 

Le due rappresentazioni sono equivalenti e l'una segue dall'altra, e per vederlo è sufficiente ricordare che il valore assoluto della somma algebrica tra latitudine e colatidudine è \frac{\pi}{2} .

 

Coordinate sferiche traslate

 

Le coordinate sferiche traslate con centro nel punto Q=(x_0,y_0, z_0) e \varphi colatitudine sono date da

 

\begin{cases}x=x_0+\rho\sin(\varphi)\cos(\theta)\\ y=y_0+\rho\sin(\varphi)\sin(\theta)\\ z=z_0+\rho\cos(\varphi)\end{cases}\mbox{ con }\begin{matrix}\rho\ge 0\\ \theta\in [0, 2\pi)\\ \varphi\in [0, \pi]\end{matrix}

 

mentre le coordinate sferiche traslate con centro in Q=(x_0,y_0,z_0) e \varphi latitudine sono definite come

 

\begin{cases}x=x_0+\rho\cos(\varphi)\cos(\theta)\\ y=y_0+\rho\cos(\varphi)\sin(\theta)\\ z=z_0+\rho\sin(\varphi)\end{cases}\mbox{ con }\begin{matrix}\rho\in [0, +\infty)\\ \theta\in [0, 2\pi)\\ \varphi\in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\end{matrix}

 

Come ricavare le coordinate sferiche

 

Ok, facciamo un passo in avanti e vediamo come ricavare le coordinate sferiche nel caso in cui \varphi sia la colatitudine (ometteremo il caso \varphi latitudine, del tutto analogo).

 

Immaginiamo di avere un punto P , che nel sistema di assi cartesiani Oxyz ha per coordinate P=(x,y,z) . Il nostro obiettivo consiste nell'esprimerne la posizione in funzione delle variabili \rho, \theta, \varphi dove:

 

\bullet\,\,\rho è la distanza di P dall'origine;

 

\bullet\,\, \theta è l'angolo tra l'asse delle x positive e la retta congiungente l'origine O con il punto Q, proiezione di P sul piano x y .

 

\bullet\,\, \varphi è l'angolo formato dall'asse delle z positive e dalla retta congiungente l'origine O e il punto P.

 

Con tali premesse partiamo da z . Riprendiamo la figura relativa al caso \varphi colatitudine

 

 

Coordinate sferiche e colatitudine

 

 

consideriamo il triangolo OPQ e utilizziamo il primo teorema trigonometrico sui triangoli rettangoli al triangolo OzP del quale vogliamo sia z che il segmento OQ .

 

 

Come ricavare la quota nelle coordinate sferiche

 

 

Si vede facilmente che z=\rho\cos(\varphi) mentre OQ=\rho\sin(\varphi) . Osserviamo ora che il segmento OQ coincide con l'ipotenusa del triangolo rettangolo che giace sul piano xy

 

 

Ascissa e ordinata in coordinate sferiche

 

 

e sempre per i teoremi trigonometrici sui triangoli rettangoli risulta

 

x= OQ\cos(\theta)=\rho\sin(\varphi)\cos(\theta)

 

y=OQ\sin(\theta)=\rho\sin(\varphi)\sin(\theta)

 

Eccoci! Abbiamo ricavato le variabili x,y,z espresse in coordinate sferiche!

 

I domini naturali delle variabili in coordinate sferiche

 

Perché i domini naturali di \rho,\theta,\varphi sono rispettivamente [0, +\infty),\ [0, 2\pi),\ [0, \pi] ? Rispondere ad una domanda del genere è abbastanza semplice a patto di inquadrare le coordinate sferiche in analogia rispetto alle coordinate geografiche.

 

Partiamo dalla più facile, la variabile \rho . Come abbiamo visto in precedenza, essa rappresenta la distanza del punto P dall'origine O : maggiore è la distanza, maggiore sarà \rho . Nel caso particolare in cui il punto coincida con l'origine, avremo \rho=0 . Inoltre, trattandosi di una distanza, \rho non può essere un numero negativo. In sintesi abbiamo \rho\in [0,2\pi)

 

Se fissiamo un valore di \rho e lasciamo libere le coordinate \theta,\varphi , otteniamo tutti i punti che giacciono sulla sfera di equazione

 

x^2+y^2+z^2=\rho^2 .

 

Passiamo all'angolo \theta che sulla sfera individua un meridiano, cioè tutti i punti che si ottengono intersecando la sfera con il semipiano avente retta d'origine l'asse z e che forma con l'asse x l'angolo \theta .

 

Al variare di \theta tra [0, 2\pi) potremo descrivere tutti i possibili meridiani. Al valore \theta=2\pi verrà associato lo stesso meridiano che si ottiene con \theta=0 ; una volta superato 2\pi i meridiani associati ripercorreranno la sfera. Per questi motivi si considera come intervallo di variabilità \theta\in [0,2\pi) .

 

L'angolo \varphi varierà invece nell'intervallo [0, \pi] e individuerà i paralleli. Osserviamo che:

 

\bullet\,\, per \varphi=0 il parallelo coincide con il punto (0,0, \rho) , ovvero il polo nord;

 

\bullet\,\, per \varphi=\pi , il parallelo coincide con il punto (0,0, -\rho) , ovvero il polo sud;

 

\bullet\,\, per \varphi\in (0, \pi) otteniamo tutti i paralleli intermedi. 

 

\bullet\,\, \mbox{Se } \varphi<0\vee \varphi>\pi i paralleli associati coincideranno con quelli ottenuti in precedenza.

 

L'intersezione tra il parallelo e il meridiano sulla sfera individueranno il punto.

 

 

Coordinate sferiche e coordinate geografiche

 

Coordinate sferiche in funzione delle coordinate cartesiane

 

In precedenza abbiamo spiegato come esprimere le coordinate cartesiane in funzione delle coordinate sferiche; ora vediamo le leggi inverse, ossia come esprimere le coordinate sferiche \rho, \theta, \varphi in funzione delle coordinate cartesiane x,y,z

 

Sia P(x,y,z) un punto dello spazio Oxyz . Allora:

 

\begin{cases}\rho=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\\  \theta=\mbox{vedi Nota }(1)\\ \varphi=\mbox{arccos}\left(\frac{z}{\rho}\right)=\mbox{arccos}\left(\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\right)\mbox{ con }(x,y,z)\ne (0,0,0)\end{cases}

 

Nota (1): per determinare correttamente \theta dobbiamo distinguere alcuni possibili casi:

 

\theta=\begin{cases}\frac{\pi}{2}\mbox{ se }x=0,\ y>0\\ \frac{3\pi}{2}\mbox{ se }x=0,\ y<0\\ \mbox{ non definito se }x=0,\ y=0\\ \arctan{\left(\frac{y}{x}\right)}\mbox{ se }x>0,y\ge 0\\ \arctan{\left(\frac{y}{x}\right)}+2\pi\mbox{ se }x>0, y<0\mbox{ oppure se } x<0, y>0\\ \arctan\left(\frac{y}{x}\right)+\pi\mbox{ se }x<0, y\le 0\end{cases}

 

Se (x,y,z)=(0,0,0) , allora \rho=0 mentre \theta e \varphi non sono definiti.

 

Quando usare le coordinate sferiche

 

Le coordinate sferiche sono particolarmente utili quando bisogna calcolare integrali tripli in cui

 

\bullet\,\, la funzione integranda è una funzione radiale, cioè una funzione che dipende da x^2+y^2+z^2 ;

 

\bullet\,\, il dominio di integrazione è una sfera o una sua parte, o eventualmente una corona sferica.

 

Un piccolo indizio sulla convenienza dell'utilizzo delle coordinate sferiche può essere dato dalla presenza del trinomio x^2+y^2+z^2 .

 

Esempi sulle coordinate sferiche

 

1) Esprimiamo in coordinate sferiche il punto P(0, -2\sqrt{3}, 2) .

 

Cominciamo con il raggio \rho :

 

\rho=\sqrt{x^2+y^2+z^2}=\sqrt{0^2+ 4\cdot 3+4}=\sqrt{16}=4

 

Il prossimo passaggio prevede di determinare la colatitudine:

 

\varphi=\mbox{arccos}\left(\frac{z}{\rho}\right)=\mbox{arccos}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi}{3}

 

Infine determiniamo l'angolo \theta , osservando che l'ascissa è zero, mentre l'ordinata è negativa e conseguentemente \theta=\frac{3}{2}\pi :

 

(0, -2\sqrt{3}, 2)\to \left(4, \frac{3}{2}\pi, \frac{\pi}{3}\right)

 

 

2) Esprimiamo in coordinate sferiche l'insieme

 

E=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^2: x\ge 0, y\ge 0, z\ge 0\}

 

che corrisponde al primo ottante dello spazio. Richiamiamo brevemente le leggi per le coordinate sferiche 

 

x=\rho \sin(\varphi)\cos(\theta)\quad y=\rho\sin(\varphi)\sin(\theta)\quad z=\rho\cos(\varphi)

 

dove \rho\ge 0, \theta\in [0, 2\pi), \varphi\in [0, \pi] (sono i domini naturali delle variabili).

 

Sostituiamo quindi le coordinate sferiche nelle condizioni che definiscono l'insieme E :

 

\begin{cases}x\ge 0\\ y\ge 0\\ z\ge 0\end{cases}\implies\begin{cases}\rho\sin(\varphi)\cos(\theta)\ge 0\\ \rho\sin(\varphi)\sin(\theta)\ge 0\\ \rho\cos(\varphi)\ge 0\end{cases}

 

Partiamo dalla disequazione più semplice, ossia dalla terza: 

 

\rho \cos(\varphi)\ge 0

 

Se \rho=0 la disequazione è soddisfatta; per \rho>0 dobbiamo invece richiedere che il fattore \cos(\varphi) sia maggiore o uguale a zero:

 

\cos(\varphi)\ge 0\mbox{ con }\varphi\in[0, \pi]\implies \varphi\in \left[0,\frac{\pi}{2}\right]

 

Nell'intervallo trovato il seno di \varphi è non negativo. Tale informazione è essenziale, perché ci permette di risolvere agevolmente le altre disequazioni. 

 

\begin{cases}\rho\sin(\varphi)\cos(\theta)\ge 0\\ \rho\sin(\varphi)\sin(\theta)\ge 0\end{cases}\implies \begin{cases}\cos(\theta)\ge 0\\ \sin(\theta)\ge 0\end{cases}

 

Il coseno e il seno sono contemporaneamente non negativi per \theta\in \left[0, \frac{\pi}{2}\right] .

 

Sulla variabile \rho non ci sono vincoli, quindi varia nel suo dominio naturale. In definitiva l'insieme E in coordinate sferiche si esprime come

 

E=\left\{(\rho, \theta, \varphi):\rho\ge 0,\,\theta\in \left[0, \frac{\pi}{2}\right], \varphi\in \left[0, \frac{\pi}{2}\right] \right\}

 

 

Un saluto! 

Salvatore Zungri (a.k.a Ifrit)

 

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