Campi vettoriali

Solitamente la nozione di campo vettoriale incute molto timore negli studenti, mentre in realtà non presenta alcuna particolare difficoltà. In questa lezione vedremo cosa sono i campi vettoriali, proponendone la definizione con i dovuti commenti del caso, e successivamente spiegheremo come si rappresentano e come determinarne il dominio naturale. Parleremo inoltre di una classe speciale: i campi vettoriali conservativi.

 

Definizione di campo vettoriale

 

Un campo vettoriale è una funzione a valori vettoriali definita su un insieme non vuoto A

 

 

\mathbf{F}: A\subseteq\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n

 

 

che ad ogni \mathbf{x}_0= (x_1, x_2, ..., x_n)\in A associa un vettore di n componenti:

 

 

\mathbf{F}(\mathbf{x}_0)=\mathbf{F}(x_1, x_2,..., x_n)=(f_{1}(x_1, x_2, ..., x_n), f_{2} (x_1, x_2, ..., x_n), ..., f_{n}(x_1, x_2,..., x_n))

 

 

con punto di applicazione \mathbf{x}_0 e lunghezza data dalla norma ||\mathbf{F}(\mathbf{x}_0)||.

 

Ciascuna componente del vettore immagine è una funzione a valori reali definita su A

 

f_{i}:A\subseteq\mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}\mbox{ con }i=1,2,..., n 

 

valutata nel punto \mathbf{x}_0=(x_1, x_2, ..., x_n)\in A.

 

 

È importante sottolineare che l'insieme di partenza e l'insieme di arrivo devono avere la stessa dimensione: in soldoni, se il dominio è contenuto in \mathbb{R}^{2}, allora il campo vettoriale avrà due componenti per definizione. Se il dominio è invece contenuto in \mathbb{R}^3, allora il campo vettoriale deve avere tre componenti, e così via.

 

Da qui si capisce che un campo vettoriale è un particolare tipo di funzione a valori vettoriali.

 

Esempi sui campi vettoriali

 

\bullet\ \ \ \mathbf{F}(x,y)= (x y, y)

 

In input riceve due variabili, quindi l'insieme di partenza è un sottoinsieme di \mathbb{R}^2; l'insieme di arrivo è un sottoinsieme di \mathbb{R}^2 perché il vettore al secondo membro ha due componenti:

 

f_{1}(x,y)= x y definita in tutto \mathbb{R}^2

 

f_{2}(x,y)= y anch'essa definita su tutto \mathbb{R}^{2}

 

Il dominio naturale del campo vettoriale è \mathbb{R}^2 e dunque:

 

\mathbf{F}:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2

 

 

Non è invece un campo vettoriale

 

\mathbf{F}(x,y)=(x, y, x y)

 

La funzione vettoriale \mathbf{F}:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^3 va da \mathbb{R}^2 in \mathbb{R}^3.

 

Dominio di un campo vettoriale

 

Il dominio di un campo vettoriale dipende essenzialmente dal dominio delle funzioni componenti. Dato un campo \mathbf{F}, per determinarne il dominio è sufficiente effettuare i seguenti passaggi.

 

 

1) Calcoliamo il dominio di ciascuna funzione componente A_i=\mbox{dom}(f_i)\mbox{ con }i=1, ..., n

 

 

2) Intersechiamo i domini trovati nel punto 1. L'intersezione dei domini delle singole componenti è proprio il dominio del campo vettoriale. 

 

 

\mbox{dom}(\mathbf{F}):=A_1\cap A_2\cap ... \cap A_n=\bigcap_{k=1}^{n}A_k

 

 

Esempio

 

Consideriamo il seguente campo vettoriale e calcoliamone il dominio

 

\mathbf{F}(x,y,z)=\left(\sqrt{x} y, x\log(y), \frac{1}{z}\right)

 

 

Svolgimento: \mathbf{F} ha tre funzioni componenti.

 

La prima componente f_{1}(x,y,z)=\sqrt{x} y è definita sull'insieme

 

A_1=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\ :\ x\ge 0\}

 

infatti la variabile x è l'argomento di una radice con indice pari, di conseguenza dobbiamo richiedere che essa sia maggiore o al più uguale a zero. Le altre variabili, y e z, sono libere di variare in tutto \mathbb{R}^3.

 

La seconda componente f_{2}(x,y,z)=x\ln(y) è definita sull'insieme

 

A_2=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\ :\ y>0\}

 

Nella seconda funzione componente compare un logaritmo che, come sappiamo, deve avere argomento positivo, da cui la condizione y>0. Le variabili x e z non sono soggette ad alcuna restrizione.

 

La terza componente f_{3}(x,y,z)=\frac{1}{z} è definita nell'insieme:

 

A_3=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\ :\ z\ne 0\}

 

infatti la variabile z si trova a denominatore e non deve annullarsi.

 

È ora di tirare le somme: intersechiamo i tre insiemi così da determinare il dominio naturale del campo vettoriale:

 

\mbox{dom}(\mathbf{F})=A_1\cap A_2\cap A_3=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3: x\ge 0, y>0, z\ne 0\}

 

 

Esempio 2

 

Determiniamo il dominio del campo vettoriale

 

\mathbf{F}(x,y)= \left(\frac{1}{x^2-y^2}, \sqrt{x y}\right)

 

 

Svolgimento: calcoliamo il dominio delle singole componenti, a partire dalla prima

 

f_{1}(x,y)= \frac{1}{x^2-y^2}

 

In tal caso dobbiamo imporre che il denominatore sia diverso da zero, per cui

 

x^2-y^2\ne 0

 

Effettuando una semplice scomposizione con la regola della differenza di quadrati

 

(x+y)(x-y)\ne 0

 

e, in forza della legge di annullamento del prodotto, il precedente prodotto è diverso da zero se e solo se tutti i fattori sono diversi da zero. Ciò equivale a

 

x+y\ne 0\mbox{ e }x-y\ne 0\implies y\ne -x\mbox{ e }y\ne x.

 

Il dominio della prima componente è l'intero piano privato della bisettrice del primo e del terzo quadratante e della bisettrice del secondo e quarto quadrante.

 

A_1=\mbox{dom}(f_1)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\ :\ y\ne \pm x\}

 

Occupiamoci della seconda componente

 

f_{2}(x,y)=\sqrt{x y}

 

Qui dobbiamo imporre che l'argomento della radice sia non negativo

 

x y\ge 0\implies (x\ge 0\wedge y\ge 0)\vee(x\le 0\wedge y\le 0)

 

dunque

 

A_2=\mbox{dom}(f_2)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\ :\ x\ge 0\wedge y\ge 0\ \vee\ x\le 0\wedge y\le 0\}

 

che nel piano cartesiano rappresenta il primo e il terzo quadrante.

 

Si conclude che il dominio del campo vettoriale considerato è 

 

\mbox{dom}(\mathbf{F})=A_1\cap A_2

 

Ovvero il primo e terzo quadrante esclusa la retta y=x.

 

Rappresentazione di un campo vettoriale

 

Mettiamo subito le mani avanti: rappresentare un campo vettoriale con carta e penna non è affatto facile. Di più, è possibile solamente in alcuni rari casi!

 

Disegnare vettori in \mathbb{R}^3 è complicato e richiede abilità artistiche avanzate; disegnare vettori in \mathbb{R}^2 è molto più facile, per cui semplifichiamoci la vita ragionando nel caso di campi vettoriali \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2.

 

Il metodo si estenderà poi in modo naturale anche nello spazio.

 

Per rappresentare un campo vettoriale piano è sufficiente disegnare il vettore corrispondente a \mathbf{F}(x_0, y_0) avente come punto di applicazione (x_0, y_0). Naturalmente farlo per tutti i punti (x_0, y_0)\in Dom(\mathbf{F}) è umanamente impossibile.

 

 

Immaginiamo di voler rappresentare il campo vettoriale 

 

\mathbf{F}(x,y)= \left(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}},\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)

 

il dominio è ovviamente \mbox{dom}(\mathbf{F})=\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}. Fissato (x_0, y_0)\in\mbox{dom}(\mathbf{F}) la norma di \mathbf{F}(x_0,y_0) è:

 

||\mathbf{F}(x_0, y_0)||=\sqrt{\frac{x_0^2}{x_0^2+y_0^2}+\frac{y_0^2}{x_0^2+y_0^2}}=\sqrt{\frac{x_0^2+y_0^2}{x_0^2+y_0^2}}=1\mbox{ con }(x_0, y_0)\ne (0, 0)

 

Tutti i vettori in gioco sono versori, in quanto hanno norma 1. Valutiamo il campo in alcuni punti:

 

(x_0, y_0)=(1,0)\implies \mathbf{F}(1, 0)=(1, 0)

 

Rappresenteremo il vettore avente (1,0) come punto di applicazione, lunghezza 1 e che giace sulla retta y=0.

 

(x_0, y_0)=(0, 1)\implies \mathbf{F}(0,1)=(0,1)

 

Il vettore ha norma 1 e giace sulla retta di equazione x=0 ed è rivolto verso l'alto. 

 

(x_0, y_0)=(3,4)\implies \mathbf{F}(3, 4)=\left(\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right).

 

Il vettore ottenuto ha lunghezza 1, giace sulla retta di equazione -\frac{4}{5}x+\frac{3}{5}y=0 ed ha come punto di applicazione (3,4)

 

Ecco una rappresentazione del campo vettoriale effettuata mediante software

 

 

Rappresentazione campi vettoriali

 

 

Campi vettoriali conservativi

 

Una particolare classe di campi vettoriali che ricoprono un ruolo importantissimo in Fisica è quella dei campi vettoriali conservativi. Tra pochi istanti ne capiremo il motivo, ma prima vediamo la definizione di campo vettoriale conservativo:

 

\mathbf{F}:A\subseteq\mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}^{n} definito su un insieme aperto A è detto campo vettoriale conservativo se e solo se esiste una funzione scalare U:A\subseteq\mathbb{R}^n\to \mathbb{R} tale che \mathbf{F} ha per componenti le derivate parziali del primo ordine di U

 

 

\mathbf{F}(\mathbf{x})=\nabla U(\mathbf{x})\quad\forall \mathbf{x}\in A

 

 

Scriviamo esplicitamente la precedente relazione per n=2 e per n=3

 

\\ \mbox{Per }n=2\\ \\ \mathbf{F}(x,y)=\nabla U(x,y)=(U_{x}(x,y), U_{y}(x, y))\\ \\ \mbox{Per }n=3\\ \\ \mathbf{F}(x,y,z)=\nabla U(x,y,z)=(U_{x}(x,y,z), U_{y}(x,y,z), U_{z}(x,y,z))

 

In sostanza, un campo vettoriale conservativo \mathbf{F} è il gradiente di una funzione scalare U. Tale funzione prende il nome di potenziale del campo vettoriale assegnato.

 

Da tenere presente, e non è difficile intuirne il perché, che un campo vettoriale conservativo può avere diversi potenziali.

 

 

Esempio

 

\mathbf{F}(x,y)=(2x, 2y)\mbox{ con }(x,y)\in\mathbb{R}^2

 

è un campo vettoriale conservativo, infatti è il gradiente della funzione

 

U(x,y)= x^2+y^2

 

La derivata parziale rispetto ad x è

 

U_{x}(x,y)=2x

 

mentre la derivata parziale rispetto ad y è

 

U_{y}(x,y)=2y

 

ed esse coincidono rispettivamente con la prima e con la seconda componente del campo vettoriale, che è dunque il gradiente di U

 

\mathbf{F}(x,y)=\nabla U(x,y)=(2x,2y)

 

 

La rappresentazione dei campi vettoriali conservativi si effettua nel modo seguente: si disegnano le linee di livello della funzione potenziale U(x,y) e, tenendo a mente che il gradiente è puntualmente perpendicolare alle curve di livello del potenziale (come spiegato nella lezione sul gradiente), possiamo tracciare il campo di vettori.

 

 

Esempio

 

Un potenziale del campo vettoriale

 

\mathbf{F}(x,y)=\left(-2x, -2y\right)

 

è

 

U(x,y)=1-x^2-y^2.

 

Le linee di livello di U(x,y), date dall'equazione 1-x^2-y^2=k sono circonferenze concentriche di centro (0,0) e raggio r=\sqrt{k-1}\mbox{ con }k\ge 1

 

Il gradiente di U è \mathbf{F}(x,y) e, per quanto visto in precedenza

 

 

Campo vettoriale conservativo

 

 

Un saluto a tutti!

Salvatore Zungri (A.K.A. Ifrit)

 

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