Gradiente di una funzione

Il gradiente di una funzione di due o più variabili è un argomento fondamentale in analisi matematica 2, che vi accompagnerà per tutto il corso e oltre. In questa lezione vedremo la definizione di gradiente, come si calcola, la sua interpretazione geometrica e le relazioni fondamentali che lo legano con le derivate direzionali e con le curve di livello.

 

Definizione di gradiente

 

Consideriamo una funzione f(x,y) definita su un insieme aperto A\subseteq\mathbb{R}^2 e sia (x_0, y_0)\in A. Se esistono in (x_0, y_0) sia la derivata parziale rispetto ad x e rispetto ad y f_{x}(x_0, y_0)\mbox{ e }f_{y}(x_0, y_0) allora è possibile costruire un vettore che ha per componenti le derivate parziali:

 

\nabla f(x_0,y_0)= (f_{x}(x_0, y_0), f_{y}(x_0, y_0))

 

Il vettore prende il nome di gradiente della funzione f valutato in (x_0, y_0), o ancora \nabla f (x_0,y_0).

 

 

In modo del tutto naturale la definizione di gradiente può essere estesa ad una funzione f:A\subseteq\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}. Sarà sufficiente considerare il vettore che ha per componenti le n derivate parziali del primo ordine valutate nel punto \mathbf{x}_0\in A

 

Per funzioni di tre variabili f(x,y,z), ad esempio, il gradiente sarà: 

 

\nabla f(x_0, y_0, z_0)=(f_{x}(x_0,y_0, z_0), f_{y}(x_0, y_0, z_0), f_{z}(x_0, y_0, z_0))

 

Esempi sul gradiente

 

Procederemo in modo graduale, partendo da un esempio abbastanza mansueto, dopodiché ne vedremo un paio meno immediati.

 

 

Facile: determiniamo il gradiente della funzione f(x,y)=x^2+y^2 nel punto (x_0,y_0)=(1,0).

 

Calcoliamo la derivata parziale rispetto ad x e valutiamola nel punto (x_0,y_0)=(1,0):

 

f_{x}(x,y)=2x\implies f_{x}(1,0)= 2

 

Calcoliamo la derivata parziale rispetto ad y ed effettuiamo la valutazione:

 

f_{y}(x,y)=2y\implies f_{y}(1,0)= 0

 

Scriveremo quindi che il gradiente della funzione valutato nel punto è \nabla f(1,0)= (2, 0).

 

 

Medio: calcoliamo il gradiente della funzione f(x,y)= \ln(x y^2) nel punto (1,-2).

 

Partiamo con il calcolo delle derivate parziali:

 

\bullet\,\,f_{x}(x,y)= \frac{1}{x y^2}\cdot y^2= \frac{1}{x}\implies f_{x}(1,-2)= 1

 

\bullet\,\, f_{y}(x,y)= \frac{1}{x y^2}\cdot 2x y= \frac{2}{y}\implies f_{y}(1, -2)=-1

 

 

Difficile: nel caso delle funzioni più barocche può capitare di dover procedere con la definizione di derivata parziale. Ecco un esempio. Vogliamo calcolare il gradiente nel punto (0,0) della funzione

 

f(x,y)=\begin{cases}\frac{x^2 y^2}{x^2+y^2}&\mbox{ se }(x,y)\ne (0,0)\\ 0&\mbox{ se }(x,y)=(0,0)\end{cases}

 

Tramite la definizione di derivata parziale:

 

\bullet\,\,f_{x}(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(h, 0)-f(0,0)}{h}= 0

 

\bullet\,\, f_{y}(0,0)=\lim_{k\to 0}\frac{f(0, k)-f(0,0)}{k}=0

 

I limiti esistono e sono finiti e il gradiente della funzione in zero è:

 

\nabla f(0,0)= (0,0)

 

Gradiente e derivate direzionali

 

Esiste una relazione fondamentale tra il gradiente e le derivate direzionali di una funzione e grazie alla quale è possibile fornire l'interpretazione geometrica del gradiente. Cominciamo con l'enunciare il teorema sulla 

 

Formula del gradiente

 

Sia f:A\subseteq\mathbb{R}^2\to \mathbb{R} una funzione differenziabile in (x_0, y_0)\in A. Dato un qualsiasi versore v=(a,b) (vettore di norma 1) risulta che:

 

1. esiste la derivata direzionale f_{v} in (x_0, y_0);

 

2. f_{v}(x_0, y_0)= \nabla f(x_0,y_0)\cdot v.

 

In parole povere la derivata direzionale della funzione f lungo la direzione del versore v nel punto (x_0, y_0) è data dal prodotto scalare tra il gradiente della funzione valutato in (x_0,y_0) ed il versore v

 

Per chi fosse interessato: dimostrazione della formula del gradiente. (Nota: il teorema può essere generalizzato a funzioni di n variabili).

 

 

Soffermiamoci per un momento sulla formula del gradiente, è lei quella che ci interessa. 

 

f_{v}(x_0, y_0)=\nabla f(x_0, y_0)\cdot v

 

Interpretazione geometrica del gradiente

 

Geometricamente, il prodotto scalare tra due vettori è il prodotto delle loro norme per il coseno dell'angolo compreso. Scriveremo quindi:

 

f_{v}(x_0, y_0)=||v||\, ||\nabla f(x_0, y_0)||\cos(\theta)\mbox{ con }\theta\in [0, \pi]

 

Per ipotesi, v è un versore e per definizione avrà norma 1, conseguentemente:

 

f_{v}(x_0, y_0)= ||\nabla f(x_0, y_0)||\cos(\theta)\mbox{ con }\theta\in [0, \pi]

 

Poniamoci le seguenti domande: in che modo dobbiamo scegliere v al fine di massimizzare la derivata direzionale nel punto (x_0,y_0)? In che modo dobbiamo scegliere v così da minimizzarla? E in modo che sia nulla? E soprattutto, qual è il significato geometrico del gradiente?

 

Per rispondere alle domande precedenti dobbiamo osservare che, una volta fissato il punto (x_0, y_0), la derivata direzionale dipende esclusivamente dall'angolo \theta, giacché ||\nabla f(x_0, y_0)|| è un numero ben preciso. 

 

Affinché la derivata direzionale sia massima dobbiamo imporre \cos(\theta)=1, ossia \theta=0. Attenzione: \theta è l'angolo compreso tra il versore v e il gradiente \nabla f(x_0, y_0), e se \theta=0 allora v e \nabla f(x_0, y_0) devono avere la stessa direzione e lo stesso verso. 

 

Affinché la derivata direzionale sia minima invece, dobbiamo richedere che \cos(\theta)=-1 vale a dire \theta=\pi. In tale eventualità il versore v e il gradiente hanno stessa direzione ma verso opposto.

 

Infine, per avere la derivata direzionale nulla dobbiamo richiedere \cos(\theta)=0, ossia \theta=\frac{\pi}{2}. Ciò equivale al fatto che il versore v e il gradiente siano tra loro perpendicolari.

 

Dal punto di vista geometrico la derivata direzionale lungo v nel punto (x_0, y_0) indica la variazione di quota lungo la direzione data da v.

 

Se prendiamo v parallelo ed equiverso al vettore \nabla f(x_0,y_0) allora la derivata direzionale sarà massima e quindi sarà massima la variazione di quota. 

 

Il gradiente di una funzione in un punto fornisce direzione e verso nei quali la funzione cresce più rapidamente

 

Se prendiamo v parallelo e opposto al vettore \nabla f(x_0, y_0) allora la derivata direzionale sarà massima "in negativo".

 

Nel verso opposto al gradiente avviene la massima decrescenza

 

Se prendiamo v ortogonale al vettore gradiente, allora la derivata direzionale risulta essere nulla, dunque non vi è variazione di quota.

 

Per chi volesse approfondire: significato geometrico del teorema del gradiente.

 

Gradiente e curve di livello

 

Abbiamo detto che se ci muoviamo lungo la direzione perpendicolare al gradiente, non c'è variazione di quota. Bene! Ricordate anche che le curve di livello sono linee composte dai punti del dominio che hanno tutti la stessa immagine mediante f? Bene!

 

Di conseguenza, se ci muoviamo lungo l'immagine di una curva di livello, allora rimaniamo nella stessa quota. Per quanto visto in precedenza, il vettore gradiente è perpendicolare alle curve di livello ed è diretto verso le quote maggiori

 

Questa peculiarità del gradiente ci permette di fornirne una rappresentazione grafica (almeno nei casi più elementari). Il gradiente di una funzione in un punto è un vettore che ha per punto di applicazione (x_0,y_0), è perpendicolare alla curva di livello ed è diretto verso le quote crescenti. Queste informazioni sono sufficienti per disegnare il campo vettoriale gradiente.

 

 

Esempio

 

Consideriamo la funzione f(x,y)=1-x^2-y^2. Le curve di livello associate alla funzione sono circonferenze concentriche di centro (0,0) e raggio r=\sqrt{1-k}\mbox{ con }k\le 1

 

Fissato il punto (x_0,y_0)\in\mathbb{R}^2; il vettore gradiente è:

 

\nabla f(x_0,y_0)= (-2x_0, -2y_0)

 

ed è diretto verso il centro (0,0) (nell'immagine è diretto verso il rosso, perché più è rossa la curva di livello, più saliamo di quota). 

 

Il modulo del gradiente è 

 

||\nabla f(x_0,y_0)||=\sqrt{4x_0^2+ 4 y_0^2}

 

Osserviamo che più il punto è vicino a (0,0) più il modulo del vettore è piccolo. 

 

 

Rappresentazione del gradiente di una funzione

 

 

Dal punto di vista matematico i punti che annullano il gradiente sono punti stazionari e si candidano come punto di massimo, punto di minimo e il punto di sella.

 

 

Teorema di Fermat sui punti stazionari

 

Sia f:A\subset\mathbb{R}^2\to \mathbb{R} una funzione definita su un aperto A e sia (x_0, y_0)\in A un punto di massimo o di minimo relativo per la funzione f. Supponiamo che f sia differenziabile in (x_0,y_0); allora il gradiente della funzione nel punto è nullo, i.e. \nabla f(x_0, y_0)=0.

 

(dimostrazione del teorema di Fermat sui punti stazionari per funzioni di più variabili)

 

Il teorema di Fermat fornisce la condizione necessaria ma non sufficiente affinché una funzione abbia punti di massimo o punti di minimo relativi. 

 

 


 

La lezione finisce qui! In caso di dubbi vi suggeriamo di utilizzare la barra di ricerca interna, troverete tutte le risposte ai vostri dubbi! ;)

 

Buona matematica a tutti!

Salvatore Zungri (a.k.a. Ifrit)

 

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