Curve di livello

Disegnare il grafico di una funzione nella sola variabile x è abbastanza facile, e solitamente ci serviamo di una procedura standard imparata da piccini che va sotto il nome di studio di funzione. In due variabili le cose purtroppo si complicano: nel contesto bidimensionale l'analisi del comportamento di una funzione non è immediato, ma a tal proposito vengono in nostro soccorso le curve di livello, dette anche linee di livello o ancora insiemi di livello.

 

Qui di seguito vedremo cosa sono le curve di livello e qual è la loro interpretazione geometrica; inoltre avremo modo di capire come usare le curve di livello per determinare l'immagine di una funzione a due variabili.

 

Cosa sono le curve di livello?

 

Consideriamo una funzione di due variabili reali f:\mbox{dom}(f)\subseteq\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}, e sia k\in\mathbb{R} un numero reale.

 

Si definisce curva di livello l'insieme costituito dai punti del dominio che soddisfano l'equazione f(x,y)=k:

 

 

L(f, k)=\left\{(x,y)\in\mbox{dom}(f)\ :\ f(x,y)= k\}

 

 

Se k\notin Im(f) non appartiene all'immagine della funzione, allora la corrispondente curva di livello coincide con l'insieme vuoto:

 

 

\mbox{se }k\notin Im(f)\ \Rightarrow\ L(f, k)=\emptyset

 

 

perché l'equazione f(x,y)=k non ammette soluzioni, dunque non esiste alcuna coppia del dominio che soddisfa la relazione data. 

 

In caso contrario, ossia se k\in Im(f), la curva di livello L(f,k) corrisponderà al luogo geometrico dei punti del piano cartesiano Oxy individuato dall'equazione

 

 

f(x,y)=k

 

Significato geometrico delle curve di livello

 

A discapito delle apparenze, la definizione di curva di livello è estremamente semplice ed ha un'interpretazione geometrica pressoché immediata, dalla quale peraltro sarà immediato comprenderne gli usi e i consumi.

 

Partiamo dalla condizione che definisce una generica curva di livello, ossia dall'equazione in due variabili

 

f(x,y)=k

 

Tale equazione in due variabili è equivalente (cioè ha lo stesso insieme delle soluzioni) al seguente sistema di equazioni

 

\begin{cases}f(x,y)=z\\ z=k\end{cases}

 

Dal punto di vista geometrico, le linee di livello sono le proiezioni ortogonali sul piano Oxy delle curve ottenute intersecando il piano z=k e il grafico della funzione z=f(x,y).

 

Da notare che tutti i punti che appartengono alla stessa curva di livello avranno immagini mediante f alla medesima quota z. Per l'appunto, alla quota z=k.

 

Esempio sulle curve di livello

 

Proviamo a fare un primo esempio elementare: trovare la curva di livello della funzione z=x+y che corrisponde al livello z=2.

 

Cominciamo col determinare il dominio della funzione a due variabili z=x+y, che è ovviamente \mbox{dom}(f)=\mathbb{R}^2.

 

Nell'esempio in esame abbiamo come quota di riferimento k=2, quindi dovremo imporre l'equazione:

 

f(x,y)=k\ \iff\ x+y=2

 

Isolando y al primo membro otteniamo

 

y=2-x

 

che coincide con l'equazione di una retta nel piano Oxy, con coefficiente angolare m=-1 e ordinata all'origine q=2

 

 

Curve di livello

 

 

Nella prima immagine abbiamo il grafico della funzione z= x+y e il piano di equazione z=2. Nella immagine a destra invece è rappresentata la curva di livello: la retta di equazione y=2-x.

 

Osserviamo in particolare, com'è ovvio che sia, che tutti i punti (x,y) che soddisfano l'equazione y=2-x hanno immagine f(x,y)=2.

 

 

In generale, pur trattandosi di una richiesta molto diffusa in sede d'esame, l'individuazione di una sola curva di livello è poco significativa nell'analisi delle funzioni in due variabili perché non fornisce indicazioni sufficienti sul comportamento della funzione. In generale si preferisce invece procedere con lo studio di tutte le curve di livello. Vediamo come procedere...

 

Come studiare le curve di livello

 

Nota preliminare: in questa lezione, le linee di livello sono colorate dal blu al rosso. Più la linea è blu, più le immagini dei punti che la compongono sono "basse"; viceversa più è rossa, maggiore è la quota.

 

Fissiamo una quota generica z=k. Al variare della quota otteniamo una famiglia di curve, dipendenti ovviamente dalla funzione e dalla quota stessa.

 

Ad esempio nel caso della funzione z=x+y impostiamo l'equazione 

 

x+y=k\iff y= -x +k

 

che nel piano x y rappresenta un fascio improprio di rette parallele. All'aumentare della quota del piano z=k, la retta y=-x+k trasla verso l'alto. 

 

 

Insieme di curve di livello

 

 

In generale procederemo come segue: fissiamo k\in\mathbb{R} e impostiamo l'equazione

 

f(x,y)=k

 

Al variare di k, otterremo un luogo geometrico o l'insieme vuoto

 

 

Esempio

 

Consideriamo la funzione

 

f(x,y)=1-x^2-y^2

 

e fissiamo una quota generica z=k. Per studiare le curve di livello cercheremo le intersezioni tra il piano z=k e il grafico della funzione f(x,y):

 

1-x^2-y^2=k\iff -x^2-y^2=k-1\iff x^2+y^2=1-k

 

Al variare del parametro k nel piano Oxy l'equazione

 

x^2+y^2=1-k

 

individua un luogo dei punti che può essere vuoto o degenerare in un punto, in particolare:

 

\bullet\,\,\mbox{ se }1-k>0\implies k<1 l'equazione individua un fascio di circonferenze concentriche di centro (0,0) e raggio \sqrt{1-k}.

 

\bullet\,\, \mbox{ se }1-k=0\implies k=1 l'equazione è soddisfatta esclusivamente dal punto (0,0); in questo caso la circonferenza è degenere.

 

\bullet\,\,\mbox{ se }1-k<0\implies k>1 l'equazione non ammette soluzioni. Il corrispondente insieme di livello è vuoto. 

 

 

Curve di livello di un paraboloide parabolico

 

 

Nel piano Oxy, che poi è quello che ci interessa, avremo:

 

 

Curve di livello: circonferenze concentriche

 

 

All'aumentare di k, quindi all'aumentare della quota del piano z=k, le circonferenze si avvicinano al centro.

 

 

Grazie alle curve di livello possiamo determinare anche l'immagine della funzione in due variabili. Ad esempio nel caso considerato poco sopra abbiamo

 

\mbox{Im}(f)=(-\infty, 1]

 

Come lo si capisce? Molto semplicemente, l'immagine è formata da tutti i valori di k per i quali l'equazione 1-x^2-y^2=k ha soluzione!

 

Curve di livello e immagine di una funzione di due variabili

 

Alla luce della definizione e delle considerazioni viste in precedenza possiamo enunciare una proprietà importante, grazie alla quale è possibile determinare l'immagine di una funzione di due variabili tramite le curve di livello.

 

Data una funzione f:\mbox{dom}(f)\subseteq\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}, sia \mbox{Im}(f) l'immagine della funzione f. Diremo che k\in\mathbb{R} appartiene all'immagine di f se e solo se l'insieme di livello L(f,k) è non vuoto. 

 

 

k\in\mbox{Im}(f)\iff L(f,k)\ne \emptyset

 

 

Ovviamente ci sono degli intoppi di tipo algebrico e nella stragrande maggioranza dei casi f(x,y)=k consisterà in un'equazione trascendente, nel senso che non esiste una procedura che permetta di determinarne le soluzioni algebricamente. (A tal proposito vi suggeriamo di prendervi una decina di minuti e di leggere la lezione sulle disequazioni trascendenti).

 

Tenete anche conto del fatto che i professori faranno in modo che i conti siano umanamente possibili. ;)

 

 

Casistiche più comuni

 

Le curve di livello che appaiono più comunemente negli esercizi sono le seguenti.

 

 

Famiglia di rette. Facciamo un esempio in cui le curve di livello generano un fascio improprio di rette

 

Le curve di livello della funzione

 

f(x,y)=3 x+ 2y

 

sono date dall'equazione

 

3x+2y=k\implies y=-\frac{3}{2}x+\frac{k}{2}

 

Abbiamo un fascio improprio di rette con coefficiente angolare negativo. All'aumentare della quota k le rette traslano verso l'alto.

 

 

Curve di livello sul piano

 

 

Famiglia di parabole. Nell'esempio che vedremo, le parabole avranno asse di simmetria parallelo all'asse x.

 

Andiamo alla ricerca delle curve di livello della funzione 

 

f(x,y)=x-y^2

 

Fissiamo k\in\mathbb{R} e impostiamo l'equazione

 

x-y^2=k\iff x= y^2+k

 

Al variare del parametro k, otteniamo un fascio di parabole con asse di simmetria parallelo all'asse x e vertice nel punto V\left(k, 0\right). All'aumentare di k le parabole traslano verso sinistra.

 

L'immagine della funzione è \mathbb{R} perché, comunque si fissi k, avremo una curva di livello.

 

 

Curve di livello paraboliche

 

 

Famiglia di circonferenze. È la casistica più ricorrente perlomeno negli esercizi più semplici, perché è tendenzialmente più facile riconoscere una circonferenza e perché c'è sempre tempo per fare i bastardiLaughing Della famiglia di circonferenze sarà opportuno determinare il centro e il raggio al variare del parametro k.

 

Le curve di livello della funzione di due variabili

 

f(x,y)= e^{x^2+y^2-1}

 

si ottengono impostando l'equazione

 

e^{x^2+y^2-1}=k

 

Osserviamo che il primo membro dell'equazione è strettamente positivo, pertanto l'equazione ha soluzioni solo se k>0.

 

Nel caso k\le 0 l'insieme di livello corrispondente è vuoto: L(f,k)=\emptyset.

 

Se k>0 allora possiamo applicare membro a membro il logaritmo, ottenendo

 

x^2+y^2-1=\ln(k)\implies x^2+y^2=\ln(k)+1

 

L'analisi non è ancora conclusa. Il primo membro è non negativo e per avere soluzioni dobbiamo richiedere che anche il secondo membro lo sia. Ciò conduce alla disequazione logaritmica

 

\ln(k)+1\ge 0\implies k\ge e^{-1}

 

Possiamo quindi concludere che:

 

\mbox{Per }k<e^{-1} non c'è alcuna curva di livello: L(f, k)=\emptyset.

 

\mbox{Per }k\ge e^{-1} le curve di livello sono circonferenze concentriche di centro (0,0) e raggio r=\sqrt{\ln(k)+1}. In particolare per k=e^{-1}, la circonferenza degenera nel punto (0,0).

 

All'aumentare di k\ge e^{-1} le cironferenze aumentano il loro raggio e si allontanano dall'origine.

 

Le precedenti informazioni ci permettono di stabilire che l'immagine della funzione è \mbox{Im}(f)=[e^{-1}, +\infty).

 

 

Curve di livello circolari

 

 

Famiglia di ellissi. Al variare del parametro k dovremo determinare il centro dell'ellisse, la lunghezza dei semiassi e se possibile i punti di intersezione con gli assi coordinati. 

 

Determiniamo le curve di livello della funzione

 

f(x,y)= \sqrt{4-x^2-4y^2}.

 

Per prima cosa individuiamo il dominio della funzione, imponendo che il radicando sia maggiore o uguale a zero

 

4-x^2-4 y^2\ge 0\ \implies\ [\mbox{in forma normale}]\ \implies\ \frac{x^2}{4}+y^2\le 1

 

Il dominio della funzione è la parte di piano esterna all'ellisse (frontiera inclusa)

 

\frac{x^2}{4}+y^2=1

 

Una volta determinato il dominio impostiamo l'equazione con cui determinare e studiare le curve di livello.

 

\sqrt{4-x^2-4y^2}=k

 

Affinché essa abbia soluzioni dobbiamo richiedere che i due membri abbiano lo stesso segno. Il primo membro è ovviamente non negativo, per cui anche il secondo membro deve essere non negativo; ciò ci permette di capire che

 

\mbox{Per }k<0 non sono presenti curve di livello.

 

\mbox{Per }k\ge 0 possiamo elevare al quadrato membro a membro:

 

4-x^2-4 y^2=k^2\implies x^2+4 y^2= 4-k^2

 

e ancora una volta al primo membro abbiamo una quantità non negativa. Affinché l'equazione abbia senso dobbiamo imporre che anche il secondo membro sia non negativo

 

4-k^2\ge 0\implies 0\le k\le 2

 

In tal caso le curve di livello sono ellissi di centro (0,0) che intersecano l'asse x nei punti (\pm\sqrt{4-k^2},0), e l'asse y nei punti \left(0, \pm\frac{-\sqrt{4-k^2}}{2}\right).

 

Osserviamo che per k=0 l'ellisse è degenere. Al crescere di k le ellissi si avvicinano al centro. L'immagine della funzione è \mbox{Im}(f)=[0,2], proprio perché 0\le k\le 2.

 

 

Curve di livello ellittiche

 

 

Famiglie di iperboli. Tendenzialmente è il caso più complicato perché possono presentarsi iperboli che intersecano l'asse x, iperboli che intersecano l'asse y, iperboli equilatere o ancora funzioni omografiche.

 

Proviamo a determinare tutte le linee di livello della funzione

 

f(x,y)=x^2-y^2

 

Il dominio è tutto il piano. Impostiamo l'equazione

 

x^2-y^2=k

 

Al variare di k otteniamo un fascio di iperboli, in particolare:

 

\mbox{Per }k<0 le iperboli intersecano l'asse y nei punti (0, \pm\sqrt{-k}).

 

\mbox{Per }k=0 l'equazione diventa

 

x^2-y^2=0

 

Scomponiamo il primo membro con la regola per la differenza di quadrati, ergo

 

(x+y)(x-y)=0

 

e in forza della legge di annullamento del prodotto otteniamo

 

x=-y\vee x=y

 

L'iperbole degenera nell'unione di due rette. 

 

\mbox{Per }k>0 le iperboli intersecano l'asse y nei punti ( \pm\sqrt{k},0 ).

 

 

Curve di livello iperboliche

 

 

Se non si fosse capito, interviene massicciamente la geometria analitica affrontata alle scuole superiori, quindi un piccolo grande ripasso può far senz'altro bene. :) 

 

 

La lezione è giunta al termine! Nel caso ci fossero ancora dubbi, potete utilizzare la barra di ricerca interna presente in cima ad ogni pagina. ;)

 

Alla prossima!

Salvatore Zungri (A.K.A Ifrit)

 

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