Hessiano nullo

Se hai letto la nostra lezione sul calcolo di massimi e minimi in due variabili, sei diventato un drago. ;) Abbiamo visto come fare e quali metodi applicare, ma c'è un caso in cui non sappiamo come comportarci: il caso dell'Hessiano nullo.

 

Come fare con i punti stazionari ad Hessiano nullo

 

Come dobbiamo comportarci quando la valutazione della matrice Hessiana in un punto stazionario ha determinante pari zero (= Hessiano nullo)? Tra tutti i possibili metodi applicabili porremo una netta distinzione tra quelli costruttivi e quelli che operano per negazione.

 

I primi ci permetteranno di giungere ad una conclusione in ogni caso ma potrebbero riverlarsi eccessivamente laboriosi; i secondi ci consentiranno di giungere ad una conclusione escludendo tutti gli altri casi possibili. Il vantaggio dei metodi per negazione è la velocità di esecuzione, lo svantaggio è che non sono sempre applicabili.

 

Scenario: abbiamo una funzione f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}, z=f(x,y) e un punto stazionario (x_0,y_0)\in Dom(f) per f, cioè tale per cui \nabla f(x_0,y_0)=0. Supponiamo che in tale punto la matrice Hessiana H_f(x_0,y_0) abbia determinante nullo.

 

In sintesi supponiamo di avere un punto ad Hessiano nullo per f

 

det(H_f(x_0,y_0))=0

 

Vogliamo capire se (x_0,y_0) è un punto di massimo, di minimo o di sella per f.

 

Metodo delle rette per punti ad Hessiano nullo

 

Il metodo delle rette è un procedimento di tipo distruttivo (occhio: "distruttivo" è un nome scelto sul momento!) che ci permette di concludere che (x_0,y_0) è un punto di sella. Se però (x_0,y_0) non è un punto di sella, semplicemente non funziona e non ci permette di capire se si tratta di un punto di massimo o di minimo.

 

L'idea su cui si basa è molte semplice: se consideriamo il fascio di rette passanti per (x_0,y_0)

 

y-y_0=m(x-x_0)\mbox{ al variare di }m\in\mathbb{R}

 

e lo riscriviamo come

 

y=mx-mx_0+y_0\mbox{ al variare di }m\in\mathbb{R}

 

abbiamo tutte le direzioni lineari al variare del parametro m. Se restringiamo la funzione f lungo una di tali direzioni, con un fissato valore \overline{m}, abbiamo una funzione di una sola variabile

 

(\overline{m}\mbox{ fissato}):\mbox{ }f(x,\overline{m}x-\overline{m}x_0+y_0):\mathbb{R}\to\mathbb{R}

 

Calcolando la derivata prima di tale funzione possiamo studiare il carattere di x_0 come punto estremante di quest'ultima. Tutto ok, si procedere nella ricerca di massimi e minimi come abbiamo imparato nel caso di funzioni ad una sola variabile. x_0 potrebbe essere un punto di massimo, di minimo oppure niente (se non sono presenti variazioni di monotonia).

 

- Se il punto x_0 non è né di massimo né di minimo per f(x,\overline{m}x-\overline{m}x_0+y_0), e se questo capita anche solo per una specifica retta del fascio, allora (x_0,y_0) è un punto di sella per z=f(x,y).

 

- Supponiamo che x_0 sia un punto estremante - ad esempio di massimo - lungo la direzione y=\overline{m}x-\overline{m}x_0+y_0. Se troviamo un'altra direzione y=\overline{\overline{m}}x-\overline{\overline{m}}x_0+y_0 per la quale la restrizione f(\overline{\overline{m}}x-\overline{\overline{m}}x_0+y_0) presenta in x_0 un punto estremante che non è di massimo (cioè un minimo), allora (x_0,y_0) è un punto di sella per z=f(x,y).

 

Morale

 

Se restringiamo la funzione lungo una retta passante per (x_0,y_0) e la restrizione lungo tale retta ha in x_0 un punto che non è estremante (esempio: g(x)=x^3 in x=0), allora (x_0,y_0) è di sella per f.

 

Se troviamo due rette per le quali le restrizioni della funzione presentano un punto estremante di nature diverse (da una parte minimo, dall'altra massimo) allora (x_0,y_0) è un punto di sella per z=f(x,y).

 

Un esempio sul metodo delle rette

 

Metodo del segno per i punti ad Hessiano nullo

 

Il metodo del segno, a differenza di quello delle rette, è un metodo costruttivo o per meglio dire risolutivo, nel senso che ci permette in ogni caso di giungere ad una conclusione in merito alla natura del punto stazionario ad Hessiano nullo.

 

Per descrivere il metodo nel migliore dei modi, aggiungiamo un'ipotesi per poi passare al caso generale. Supponiamo che la funzione z=f(x,y) si annulli nel punto (x_0,y_0) ad Hessiano nullo

 

f(x_0,y_0)=0

 

L'idea del metodo del segno è altrettanto semplice:

 

- se esiste almeno un intorno del punto (x_0,y_0) in cui f è negativa in ogni punto (x,y)\neq (x_0,y_0), allora (x_0,y_0) è un punto di massimo relativo.

 

- Se esiste almeno un intorno di (x_0,y_0) in cui f è positiva in ogni punto (x,y)\neq (x_0,y_0), allora (x_0,y_0) è un punto di minimo.

 

- Se in ogni intorno di (x_0,y_0) la funzione assume sia valori di segno positivo che negativo, allora (x_0,y_0) è un punto di sella.

 

Attenzione al "per ogni" del terzo caso e al "almeno" dei primi due!

 

Cosa faremo dunque? Ci basterà studiare il segno di z=f(x,y) nell'intorno del punto ad Hessiano nullo. Tutto qui!

 

Togliamo l'ipotesi aggiuntiva. Ora non abbiamo più l'annullamento di f in (x_0,y_0), dunque essa assumerà in tale punto un generico valore c

 

f(x_0,y_0)=c

 

Consideriamo la nuova funzione

 

\tilde{f}(x,y)=f(x,y)-c

 

in questo modo avremo una funzione \tilde{f} con Hessiano nullo in (x_0,y_0), e tale da soddisfare l'ipotesi aggiuntiva precedentemente considerata. Varrà infatti

 

\tilde{f}(x_0,y_0)=f(x_0,y_0)-c=c-c=0

 

Potremo quindi applicare il metodo descritto inizialmente sulla funzione \tilde{f}(x,y). Naturalmente (x_0,y_0) sarà un punto stazionario anche per \tilde{f}, e naturalmente la natura del punto stazionario sarà la stessa sia per f che per \tilde{f}. Le due funzioni differiscono infatti solo per una traslazione verticale!

 

 

Metodo del segno e infiniti punti ad Hessiano nullo

 

Si noti che il metodo del segno è logicamente più efficace rispetto al metodo delle rette, e non solo per il fatto che porta sempre e comunque alla risoluzione dello studio. Nel caso in cui ci trovassimo di fronte ad infiniti punti ad Hessiano nullo, cioè ad un luogo geometrico ad Hessiano nullo (ad esempio una retta) potremmo descriverne la natura a colpo d'occhio, semplicemente studiando il segno di f.

 

Supponiamo, ad esempio, che z=f(x,y) abbia infiniti punti ad Hessiano nullo lungo la retta rappresentata in figura; supponiamo inoltre che essa sia nulla in tali punti, positiva nei restanti punti  interni alla parabola, negativa nei punti esterni e nulla in ogni punto della parabola.

 

Metodo del segno per infiniti punti ad Hessiano nullo

 

In tal caso il metodo del segno ci permetterà di concludere immediatamente che

 

- i punti di r interni a p sono di minimo relativo;

- i punti di r esterni a p sono di massimo relativo;

- il punto Q è di sella, perché comunque se ne prende un intorno avremo valori positivi e negativi di f.

 

Esempio sul metodo del segno

 

Casi particolari: riduzione ad una variabile per simmetrie

 

Resta un'ultima eventualità da trattare, che in realtà non riguarda la sola questione dell'Hessiano nullo. Nei casi in cui z=f(x,y) presenta particolari simmetrie, come ad esempio una simmetria radiale, possiamo operare un cambiamento di coordinate passando alle coordinate polari.

 

Questo approccio conviene in particolare nel caso di funzioni in cui compaiono solamente termini del tipo x^2+y^2, come ad esempio in

 

f(x,y)=\frac{\log{(x^2+y^2)}}{\sqrt[3]{4x^4+8x^2y^2+4y^4}}=\frac{\log{(x^2+y^2)}}{\sqrt[3]{4(x^2+y^2)^2}}

 

In casi del genere il passaggio alle coordinate polari ci consente di riscrivere f come funzione di una sola variabile. Essendo infatti x^2+y^2=r^2 otterremmo

 

z=f(x,y)\to\mbox{simmetria radiale}\to z=\tilde{f}(r)

 

e da qui lo studio dei punti stazionari si semplifica parecchio, perché basta procedere con l'usuale metodo per funzioni ad una sola variabile.

 

Attenzione però! Qualsiasi punto estremante nel sistema polare, della forma r=r_0, corrisponde ad un'infinità di punti estremanti in due variabili: tutti quelli che si ottengono lasciando l'angolo \theta libero di variare

 

(r_0,\theta)\mbox{ con }\theta\in [0,2\pi)

 

In parole povere, se r_0>0 avremo una circonferenza di punti; se invece r_0=0 avremo una circonferenza che degenera in un unico punto, vale a dire (0,0).

 

Un esempio sul metodo delle simmetrie

 


 

Abbiamo finito. Tongue out Per eventuali dubbi vi consigliamo di dare un'occhiata agli esercizi che abbiamo risolto qui su YM, ce ne sono tantissimi...Wink

 

Namasté, see you soon guys!

Agente Ω

 

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