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Massimi e minimi in due variabili

Il procedimento per la ricerca di massimi e minimi di funzioni di due variabili è un must know per chi deve affrontare gli esami universitari di Analisi 2, o comunque la prova scritta di un qualsiasi corso di Matematica in cui vengono trattate le funzioni in due variabili.

 

Al di là delle possibili varianti, di cui ci occuperemo nelle lezioni successive, lo studio dei massimi e dei minimi liberi si basa su un metodo abbastanza standard che prevede di saper calcolare le derivate parziali di funzioni a due variabili e il determinante di una matrice 2x2.

 

Nota importante: questa lezione è folle perché cerca di riassumere linearmente un insieme di metodi che vengono spiegati in 6/8 ore di lezione. Nessuno ci ha mai provato. Leggila con il coltello tra i denti...Wink

 

Nota importante 2: ti consigliamo vivamente di dare un'occhiata a qualche esercizio risolto!

 

Procedura di calcolo di massimi e minimi in due variabili

 

Prendiamo una funzione f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}, z=f(x,y) definita su un insieme aperto D=Dom(f) (nel seguito avremo modo di occuparci del caso di funzioni definite su un insieme chiuso).

 

Il procedimento che stiamo per vedere permette di determinare gli estremanti relativi (1) di z=f(x,y), cioè i punti (x,y)\in D in cui la funzione presenta un massimo o un minimo relativo. Tra questi potrebbero esserci degli estremanti assoluti, dei quali però non ci occupiamo inizialmente.

 

L'ulteriore richiesta/condizione per la ricerca degli estremanti relativi prevede che la funzione f ammetta le derivate parziali fino al secondo ordine (2) in ognuno dei punti (x,y)\in D. Anche in questo caso vedremo poi come comportarci nel caso in cui tale ipotesi non sussista.

 

Sotto le precedenti ipotesi (1)-(2), procediamo come segue:

 

1) Calcoliamo le derivate parziali della funzione z=f(x,y), e in particolare il vettore delle derivate parziali di f

 

\nabla f(x,y)= [f_x(x,y),f_y(x,y)].

 

2) Cerchiamo i punti stazionari di f, vale a dire i punti (x,y)\in D che annullano il gradiente di f. Ci capiterà nel seguito di riferirci ai punti stazionari chiamandoli punti critici: tali punti saranno i candidati punti di massimo o minimo relativo.

 

\nabla f(x,y)=\mathbf{0}

 

La precedente equazione vettoriale equivale ad un sistema di due equazioni in due incognite: un vettore infatti è nullo se e solo se sono nulle tutte le sue componenti

 

(*)\ \begin{cases}f_x(x,y)=0\\ f_y(x,y)=0\end{cases}

 

Dopo aver risolto il sistema (*) prendiamo le soluzioni (x_1,y_1),(x_2,y_2),...,(x_n,y_n) e le mettiamo da parte.

 

3) Calcoliamo la matrice Hessiana di f, che indichiamo con H_f(x,y) e che è definita come la matrice delle derivate parziali seconde di f:

 

H_f(x,y)=\left[\begin{matrix}f_{xx}(x,y) & f_{xy}(x,y)\\ f_{yx}(x,y) & f_{yy}(x,y)\end{matrix}\right]

 

Si tratta di una matrice con componenti date da funzioni: ad esempio f_{xy}(x,y) indica la derivata parziale rispetto a y della derivata parziale rispetto a x, mentre f_{yx}(x,y) indica la derivata parziale rispetto a x della derivata parziale rispetto a y.

 

4) Valutiamo separatamente la matrice HessianaH_f(x,y) in ciascuno degli n punti stazionari precedentemente calcolati: (x_1,y_1),...,(x_n,y_n). In questo modo otterremo n matrici Hessiane H_f(x_1,y_1),...,H_f(x_n,y_n).

 

5) Studiamo il segno delle matrici H_f(x_i,y_i) (con i=1...n) facendo ricorso ad un teorema che stabilisce quanto segue:

 

- se l'Hessiana è definita positiva, allora (x_i,y_i) è un punto di minimo;

- se l'Hessiana è definita negativa, allora (x_i,y_i) è un punto di massimo;

- se l'Hessiana è indefinita, allora (x_i,y_i) è un punto di sella;

- nel caso in cui l'Hessiana sia semidefinita (positiva o negativa), non possiamo dire nulla riguardo alla natura di (x_i,y_i).

 

L'insieme delle precedenti affermazioni va sotto il nome di test per le derivate seconde e vale tanto in due variabili quanto per funzioni di più variabili f:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}. Nel caso di funzioni in due variabili, però, possiamo giungere velocemente alla natura del punto critico (x_i,y_i) con un paio di passaggi algebrici.

 

Il segno di una matrice si definisce infatti sulla base del segno dei suoi autovalori:

 

- tutti positivi -> definita positiva;

- tutti negativi -> definita negativa;

- sono presenti autovalori di segno - e + -> indefinita;

- è presente almeno un autovalore nullo -> semidefinita.

 

Nel caso delle funzioni a due variabili abbiamo matrici Hessiane 2x2, quindi al più due autovalori reali. Ricordando che il determinante è il prodotto degli autovalori della matrice, possiamo riscrivere il test delle derivate come segue.

 

Chiamiamo Hessiano nel punto (x_i,y_i) il determinante della matrice Hessiana calcolato in (x_i,y_i), mentre chiamiamo primo elemento della matrice Hessiana l'elemento di posto (1,1) di H_f(x_i,y_i). Sono dati i seguenti possibili casi:

 

- determinante positivo, primo elemento positivo -> punto di minimo relativo;

- determinante positivo, primo elemento negativo -> punto di massimo relativo;

- determinante negativo -> punto di sella;

- determinante nullo -> il test è inconcludente.

 

Tratteremo il caso dell'Hessiano nullo e tutti i metodi alternativi per lo studio della natura di tali punti in una lezione a parte (quella del link).

 

Esempio sul calcolo di massimi e minimi in due variabili

 

Cerchiamo i punti di massimo e di minimo relativi della funzione f(x,y)=\ln{(1+x^2+y^2)} e studiamone il tipo.

 

Svolgimento: cominciamo con il dominio di f, che è evidentemente D=Dom(f)=\mathbb{R}^2. Tale insieme è aperto e si può vedere che z=f(x,y) è continua e derivabile due volte su D.

 

Calcoliamo le derivate parziali e cerchiamo i punti stazionari di f imponendo l'annullamento del gradiente \nabla f:

 

f_{x}(x,y)=\frac{2x}{1+x^2+y^2}\ ,\ f_y(x,y)=\frac{2y}{1+x^2+y^2}

 

L'unica soluzione del sistema

 

\begin{cases}f_{x}(x,y)=0\\ f_{y}(x,y)=0\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}\frac{2x}{1+x^2+y^2}=0\\ \frac{2y}{1+x^2+y^2}=0\end{cases}

 

è data dal punto (0,0). Passiamo alla matrice Hessiana H_f(x,y) di f e calcoliamo le derivate seconde

 

f_{xx}(x,y)=\frac{2(1+x^2+y^2)-2x(2x)}{(1+x^2+y^2)^2}=\frac{2+2y^2-2x^2}{(1+x^2+y^2)^2}

 

f_{xy}(x,y)=\frac{0(1+x^2+y^2)-2x(2y)}{(1+x^2+y^2)^2}=\frac{-4xy}{(1+x^2+y^2)^2}

 

f_{yx}(x,y)=\frac{0(1+x^2+y^2)-2y(2x)}{(1+x^2+y^2)^2}=\frac{-4xy}{(1+x^2+y^2)^2}

 

f_{yy}(x,y)=\frac{2(1+x^2+y^2)-2y(2y)}{(1+x^2+y^2)^2}=\frac{2+2x^2-2y^2}{(1+x^2+y^2)^2}

 

Valutiamo l'Hessiana nel punto (0,0)

 

H_f(0,0)=\left[\begin{matrix}2 & 0\\ 0 & 2\end{matrix}\right]

 

e calcoliamone il determinante, cioè l'Hessiano di f in (0,0): risulta det(H_f(0,0))=4, e dato che il primo elemento dell'Hessiana nel punto è positivo concludiamo che (0,0) è un punto di minimo relativo per z=f(x,y).

 

Ci fidiamo? No...

 

Minimo relativo in due variabili

 

...però - hey - funziona! Smile (Per plottare le funzioni in due variabili: click).

 

Massimi e minimi in due variabili relativi e assoluti

 

Lo sappiamo, lo sappiamo: abbiamo descritto un metodo molto potente e anche semplice nella sua linearità. Purtroppo però non esaurisce tutti i possibili casi in cui si debbano cercare i massimi e i minimi relativi e/o assoluti.

 

Allarghiamo lo spettro d'azione e vediamo come capire quando i massimi e i minimi relativi in due variabili sono anche assoluti. Prima di tutto le definizioni:

 

E.R.) Diciamo che (x_0,y_0)\in D è un punto estremante relativo per z=f(x,y) se esiste almeno un intorno B_R(x_0,y_0) di raggio R in cui (x_0,y_0) ha la proprietà di essere estremante.

 

E.R.m) Se \forall x\in B_{R}(x_0,y_0) risulta che f(x,y)\leq f(x_0,y_0) allora (x_0,y_0) è un punto di massimo relativo.

 

E.R.M) Se \forall x\in B_R(x_0,y_0) risulta che f(x,y)\geq f(x_0,y_0) allora (x_0,y_0) è un punto di minimo relativo.

 

E.A) Diciamo che (x_0,y_0)\in D è un punto estremante assoluto se è un estremante su tutto il dominio di f, cioè se la proprietà di essere estremante vale "in assoluto". In particolare un punto (x_0,y_0) sarà

 

E.A.m) di massimo assoluto se f(x,y)\leq f(x_0,y_0) per ogni (x,y)\in Dom(f);

 

E.A.M) di minimo assoluto se f(x,y)\geq f(x_0,y_0) per ogni (x,y)\in Dom(f).

 

Si capisce subito dalle definizioni che:

 

- un punto di massimo o minimo assoluto è anche relativo;

- un punti di massimo o minimo relativo non è in generale assoluto.

 

La logica è del tutto simile a quella che si segue nel caso dei massimi e minimi in una variabile. Indipendentemente dal fatto che il dominio D sia aperto e indipendentemente dal fatto che f sia derivabile due volte, è chiaro che per cercare gli estremanti assoluti dovremo

 

1) cercare tutti i punti estremanti relativi;

2) addurre considerazioni di natura globale che ci permettano di riconoscere quelli assoluti.

 

Per il punto 1) abbiamo già visto come comportarci in un caso specifico e a breve vedremo come fare in generale. Per 2) dovremo ragionare su più fronti:

 

2.A) Considerare il comportamento globale di f, con particolare riguardo per gli estremi del dominio illimitati (se presenti) e agli estremi limitati (punti di discontinuità, estremi di domini limitati o aperti). Capire se la funzione è limitata o illimitata, ed eventualmente se è illimitata inferiormente, superiormente o entrambe le cose. Se è illimitata superiormente non possono esserci punti di massimo assoluto, se lo è inferiormente non possono essercene di minimo assoluto.

 

2.B) valutare f in ciascuno dei punti estremanti relativi determinati in 1), indipendentemente dal metodo utilizzato. Supponiamo di avere n punti (x_1,y_1),...,(x_n,y_n). Valutiamo z_1=f(x_1,y_1),...,z_n=f(x_n,y_n). A questo punto:

 

- al valore z_i più grande corrisponde il punto di massimo assoluto se f è una funzione limitata superiormente. Sennò ciccia.

- al valore z_j minore (ricorda che -500 è minore di 0,1!) corrisponde il punto di minimo assoluto se f è una funzione limitata inferiormente. Sennò no.

 

 

In ogni caso ricorda semplicemente il significato delle parole "minimo" e "massimo", "relativo" e "assoluto". Dovrai pensare ai rispettivi sinonimi "minore", "maggiore", "in un intorno del punto" e "su tutto il dominio della funzione."

 

Massimi e minimi in due variabili e su insiemi chiusi e limitati

 

Se la funzione f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R} è definita su un insieme D\subseteq \mathbb{R}^2 chiuso e limitato - i.e. un insieme compatto - dovremo rivedere la nostra strategia per la ricerca dei punti estremanti relativi e ampliarla.

 

0) Il teorema di Weierstrass ("Una funzione continua definita su un compatto ammette in esso un massimo ed un minimo assoluto") garantirà l'esistenza di estremanti assoluti nell'ipotesi di continuità di f. È un inizio...Laughing

 

1) Iniziamo lavorando sull'interno di D, cioè su Int(D)=D-\partial D, vale a dire su D privato della frontiera \partial D. Qui possiamo procedere con il metodo visto inizialmente.

 

2) [Comportamento sulla frontiera] Valutiamo il comportamento di f su \partial D: nel 99% dei casi che si incontrano negli esercizi \partial D è una curva nel piano, o alla peggio un'unione di curve: \partial D=C_1\cup C_2\cup...\cup C_m.

 

Ricaviamo una parametrizzazione per ciascuna di tali curve (nel 99% dei casi degli esercizi sarà possibile farlo)

 

C_i:\ y=g_i(x) con x\in I_i\subseteq\mathbb{R}

 

e restringiamo la funzione z=f(x,y) su ciascuna di tali curve

 

z=f(x,g_i(x))\ :\ I_i\to \mathbb{R}

 

In questo modo otteniamo m funzioni di una sola variabile, una per ciascuna delle funzioni che definiscono la frontiera di D.

 

A questo punto studiamo i massimi e i minimi di ognuna delle m funzioni ristrette f(x,g_i(x)) sul proprio intervallo di definizione I_i, come si suol fare nel caso unidimensionale.

 

Otterremo dei punti di massimo e minimo relativi per le restrizioni f(x,g_i(x)). Prendiamone uno e chiamiamolo x_0. Da qui potremo ricavare l'ordinata corrispondente per semplice valutazione della funzione di parametrizzazione

 

y_0=g(x_0)

 

I candidati punti di massimo e minimo per la funzione a due variabili z=f(x,y) saranno proprio i punti del tipo (x_0,y_0). Avremo così:

 

- i punti estremanti relativi interni, ricavati per l'appunto in 1);

- i candidati punti estremanti ricavati con il metodo 2).

 

Valutiamo z=f(x,y) in corrispondenza dei punti (x_i,y_i) trovati in 1) e nei punti trovati in 2).

 

Al valore di z più grande corrisponderà il punto di massimo assoluto di f, mentre al valore più piccolo corrisponderà il punto di minimo assoluto di f.

 

Attenzione però! Nel particolare caso dei punti che giacciono sulla frontiera possiamo parlare di punti estremanti solo se risultano essere assoluti. Se essi generano valori non assoluti non potremo dire nulla a priori sulla loro natura e nemmeno ci interessa farlo. Non vogliamo dilungarci troppo, ma se vuoi puoi approfondire questo specifico aspetto nella seguente discussione:

 

sulla questione degli estremanti appartenenti alla frontiera

 

esempio sulla ricerca dei massimi e minimi vincolati su un chiuso e limitato

 

Nota: ti suggeriamo di leggere anche la lezione su massimi e minimi vincolati in due variabili!

 

E con le funzioni definite ma non derivabili in alcuni punti?

 

Concludiamo: nel 99% degli esercizi le funzioni saranno derivabili due volte in ogni punto del proprio insieme di definizione, nel restante 1% no. Nel 99,99% di questo 1% ci sarà un 99% di funzioni definite ma non derivabili in un numero finito di punti.

 

Che si fa? Si procede come in 2) del caso insieme chiuso e limitato e si effettua un controllo manuale, valutando prima la funzione in tali punti e poi confrontando i valori ottenuti con quelli dei punti estremanti già calcolati.

 


 

Dubbi? Problemi? Qui su YM ne abbiamo risolti a tonnellate: cerca le risposte che ti servono, ci sono tanti esercizi svolti...Laughing...qui te ne proponiamo uno per ciascun caso trattato, ma ce ne sono veramente tanti altri!

 

 

Fa freddo nello scriptorium, il pollice mi duole.

Lascio questa scrittura, non so per chi, non so più intorno a che cosa...

Namasté - Agente  Ω

 

Lezione precedente..........Esercizi correlati..........Lezione successiva

 

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