Equazioni differenziali di ordine superiore a 2 omogenee

Esauriti i metodi e la teoria relativa alle equazioni del secondo ordine, passiamo a vedere come si risolve un'equazione differenziale di ordine superiore al secondo omogenea, e lineare a coefficienti costanti.

 

 

Un'equazione differenziale omogenea, lineare, di ordine k superiore al secondo, a coefficienti costanti, si presenterà nella forma:

 

y^{(k)}(t)+a_{k-1}y^{(k-1)}(t)+a_{k-2}y^{(k-2)}(t)+.....+a_1y'(t)+a_0y(t)=0

 

con a_i \in \mathbb{R}, \ \forall i \in \left\{0,1,...k-1\right\} g(t) (termine noto uguale a zero.

 

Per risolvere questo tipo di equazioni differenziali è strettamente necessario saper risolvere una qualsiasi equazione di grado k nel campo dei numeri complessi \mathbb{C}  con \ k\in \mathbb{N}, \ k\geq 2.

 

Prima di procedere, vediamo qualche premessa sulle radici di un polinomio nel campo complesso:

 

  • un polinomio di grado k possiede in \mathbb{C} esattamente k radici contate con la loro molteplicità;

 

  • se \alpha+i\beta è una radice complessa di un polinomio, allora anche la sua coniugata ovvero \alpha-i\beta sarà radice dello stesso polinomio.

 

Chiarito ciò addentriamoci nel vivo della questione.

 

Come risolvere un'equazione differenziale omogenea di ordine superiore a 2

 

Supponiamo di trovarci di fronte ad un'equazione del tipo:

 

y^{(k)}(t)+a_{k-1}y^{(k-1)}(t)+a_{k-2}y^{(k-2)}(t)+.....+a_1y'(t)+a_0y(t)=0

 

con a_i \in \mathbb{R}, \ \forall i \in \left\{0,1,...k-1\right\} e vediamo passo passo come procedere.

 

(1) Scrivere il polinomio caratteristico (che diremo P(\lambda)) ad essa associato


P(\lambda)=\lambda^{k}+a_{k-1}\lambda^{k-1}+a_{k-2}\lambda^{k-2}+.....+a_1\lambda+a_0


sostituendo \lambda al posto di y(t) elevandola ad un esponente pari all'ordine di derivazione.


(2) Trovare in \mathbb{C} le radici del polinomio caratteristico P(\lambda), ossia risolvere in \mathbb{C} l'equazione


(\spadesuit)\ \ \ \lambda^{k}+a_{k-1}\lambda^{k-1}+a_{k-2}\lambda^{k-2}+.....+a_1\lambda+a_0=0

 

Possono presentarsi i seguenti casi:

 

(2a) (\spadesuit) ha esattamente k soluzioni reali distinte tutte con molteplicità 1. Supponiamo che esse siano: \lambda_1, \lambda_2, ......\lambda_k. La soluzione dell'equazione differenziale di partenza è

 

y(t)=c_1e^{\lambda_1t}+c_2e^{\lambda_2t}+....+c_ke^{\lambda_kt}

 

con c_1,c_2,...c_k \in \mathbb{R}.

 

(2b) (\spadesuit) ha esattamente k soluzioni complesse e reali distinte tutte con molteplicità 1. Supponiamo che esse siano:

 

\overbrace{\lambda_1, \lambda_2, ......\lambda_r}^{sono \ r}   (reali)

 

\overbrace{\mu_1,\bar{\mu}_1, \ \ \mu_2,\bar{\mu}_2 \  ....... \  \mu_s,\bar{\mu}_s}^{sono \ 2s}   (complesse)

 

\mbox{ con }\mu_j=\alpha_j+i\beta_j,\ \ \bar{\mu}_j=\alpha_j-i\beta_j\ \ \forall j \in \{1,2,...s\}\mbox{ tali che }<span style="text-align: center;">r+2s=k (grado equazione).

 

Le precedenti premesse evidenziano il fatto che la somma del numero delle radici deve coincidere con il grado dell'equazione differenziale, e che nelle radici complesse compaiono anche i coniugati.

 

La soluzione dell'equazione differenziale di partenza è dunque data da

 

y(t)=\overbrace{c_1e^{\lambda_1t}+c_2e^{\lambda_2t}+....+c_re^{\lambda_rt}}^{associate \ alle \ radici \ reali}+

+\overbrace{h_1e^{\alpha_1t}\cos(\beta_1t)+h'_1e^{\alpha_1t}\sin(\beta_1t)}^{associata \ a \ \mu_1  \ e \  \bar{\mu_1}}+

+....+\overbrace{h_se^{\alpha_st}\cos(\beta_st)+h'_se^{\alpha_s t}\sin(\beta_st)}^{associate \ a \ \mu_s \ e \ \bar{\mu}_s}

 

con c_1,c_2,...c_r, \ h_1, h'_1, ..... h_s,h'_s \in \mathbb{R}.

 

(2c) (\spadesuit) ha esattamente k soluzioni complesse e reali eventualmente multiple. Supponiamo che esse siano:

 

{\lambda_1, \lambda_2, ......\lambda_r}   quelle reali

 

{\mu_1,\bar{\mu}_1, \ \ \mu_2,\bar{\mu}_2 \  ....... \  \mu_s,\bar{\mu}_s}   quelle complesse,

 

\mbox{ con }\mu_j=\alpha_j+i\beta_j\mbox{ e }\bar{\mu}_j=\alpha_j-i\beta_j\ \ \forall j \in \{1,2,...s\}e che:

 

\lambda_1 con molteplicità m_1

 

\lambda_2 con molteplicità m_2

 

\vdots

 

\lambda_r con molteplicità m_r

 

\mu_1\mbox{ e }\bar{\mu}_1 con molteplicità n_1

 

\mu_2\mbox{ e }\bar{\mu}_2 con molteplicità n_2

 

\vdots

 

\mu_s\mbox{ e }\bar{\mu}_s con molteplicità n_s

 

Per le premesse viste precedentemente:

 

m_1+m_2+.....+m_r+2n_1+2n_2+.....+2n_s=k (grado equazione)

 

Passiamo a costruire la soluzione dell'equazione differenziale di partenza. In generale:

 

- se \lambda_0 \in \mathbb{R} è soluzione di (\spadesuit) con molteplicità m allora:

 

e^{\lambda_0t}, te^{\lambda_0t}, t^2e^{\lambda_0t}..... t^{m-1}e^{\lambda_0t} 

 

sono m soluzioni linearmente indipendenti dell'equazione differenziale associate alla radice \lambda_0.

 

- Se \mu=\alpha+i\beta\mbox{ e }\bar{\mu}=\alpha-i\beta sono soluzioni di (\spadesuit) con molteplicità n allora:

 

\overbrace{e^{\alpha t}\cos(\beta t), te^{\alpha t}\cos(\beta t), ....., t^{n-1}e^{\alpha t}\cos(\beta t)}^{associate \ a \ \mu}

 

e

 

\overbrace{e^{\alpha t}\sin(\beta t), te^{\alpha t}\sin(\beta t), ....., t^{n-1}e^{\alpha t}\sin(\beta t)}^{associate \ a \ \bar{\mu}}

 

sono 2n soluzioni soluzioni linearmente indipendenti dell'equazione differenziale associate alle radici \mu, \ \bar{\mu}. Di conseguenza, in base quindi alla molteplicità di ogni soluzione, si costruisce soluzione dell'equazione differenziale. Laughing

 

Esempi sulle equazioni differenziali omogenee di ordine superiore al secondo

 

A) Risolvere l'equazione differenziale:

 

y^{(3)}(t)-5y''(t)+4y'(t)=0

 

Si tratta di un'equazione differenziale lineare, omogenea, a coefficienti costanti, di ordine tre. Scriviamo il polinomio caratteristico ad essa associato

 

P(\lambda)=\lambda^3-5\lambda^2+4\lambda

 

e troviamone le radici in \mathbb{C} risolvendo l'equazione di terzo grado:

 

\lambda^3-5\lambda^2+4\lambda=0

 

che ammette come soluzioni: \lambda_1=0,\ \lambda_2=1,\ \lambda_3=4 tutte e tre con molteplicità 1. Siamo nel caso (2a).

 

La soluzione dell'equazione differenziale di partenza sarà allora data da

 

y(t)=c_1e^{\lambda_1t}+c_2e^{\lambda_2t}+c_3e^{\lambda_3t}=c_1+c_2e^{t}+c_3e^{4t}

 

 


 

 

B) Si risolva l'equazione differenziale omogenea di ordine superiore al secondo

 

y^{(4)}(t)+y''(t)=0

 

Si tratta di un'equazione differenziale lineare, omogenea, a coefficienti costanti, di ordine quattro. Partiamo come al solito dal polinomio caratteristico

 

P(\lambda)=\lambda^4+\lambda^2

 

e troviamone le radici in \mathbb{C} risolvendo l'equazione di quarto grado

 

\lambda^4+\lambda^2=0

 

che ammette come soluzioni: \lambda_1=0 con molteplicità due, \mu_1=i e \bar{\mu}_1=-i con molteplicità uno. Siamo nel caso (2c).

 

Le soluzioni associate a \lambda_1=0 (che ha molteplicità m=2) sono

 

e^{\lambda_1t}=1 e te^{\lambda_1t}=t

 

mentre quella associata a \mu=i (ovvero \alpha=0 e \beta=1) è

 

e^{\alpha t}\cos(\beta t)=\cos(t)

 

La soluzione associata a \bar{\mu}=-i (ovvero \alpha=0 e \beta=1) è:

 

e^{\alpha t}\sin(\beta t)=\sin(t)

 

Pertanto la soluzione della nostra equazione differenziale è:

 

y(t)=c_1+tc_2+c_3\cos(t)+c_4\sin(t)

 

 


 

Nella prossima lezione vedremo due metodi utili per risolvere le equazioni differenziali a coefficienti costanti, di ordine superiore al secondo e non omogenee.

 

Alla prossima,

Galois

 

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