Metodo di somiglianza per la soluzione particolare

Nella precedente lezione abbiamo introdotto un metodo che permette di ricavare una soluzione particolare di una qualsiasi equazione differenziale non omogenea del secondo ordine a coefficienti costanti: qui forniremo una tabella, basata sul cosiddetto metodo di somiglianza, che permetterà di determinare la soluzione particolare di determinate equazioni del secondo ordine non omogenee a coefficienti costanti, a seconda della forma con cui si presenta il termine noto non omogeneo.

 

 

Tali equazioni si presentano nella forma

 

y''(t)+a_1y'(t)+a_0y(t)=g(t)

 

con a_0, \ a_1 \in \mathbb{R}, e g(t) termine noto di tipo particolare, cioè del tipo:

 

  • g(t)=e^{\lambda t}Q(t)\ \ \ \ \ \ \quad con Q(t) polinomio nella variabile t

 

  • g(t)=Q(t)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \quad, caso particolare del precedente, con \lambda=0

 

  • g(t)=\cos(\beta t)Q(t)

 

  • g(t)=\sin(\beta t)Q(t)

 

  • g(t)=e^{\alpha t}\cos(\beta t)Q(t)

 

  • g(t)=e^{\alpha t}\sin(\beta t)Q(t)

 

  • Somma algebrica di uno o più dei precedenti termini.

 

Metodo di somiglianza per la soluzione particolare di equazioni differenziali del secondo ordine non omogenee

 

Siamo di fronte ad un'equazione che si presenta nella forma

 

y''(t)+a_1y'(t)+a_0y(t)=g(t)

 

con g(t) di tipo particolare. Vediamo passo passo come procedere.

 

(1) Si trova una soluzione particolare dell'omogenea associata:


y''(t)+a_1y'(t)+a_0y(t)=0

 

e a tal proposito vi rimando alla lezione sulle equazioni differenziali a coefficienti costanti omogenee del secondo ordine. Indichiamo tale soluzione dell'omogenea con

 

y_O(t)=c_1y_1(t)+c_2y_2(t).

 

(2) Si trova una soluzione (detta soluzione particolare) della non omogenea che indicheremo con

 

\bar{y}(t)

 

col metodo di somiglianza (fra poco vedremo come fare).

 

(3) La soluzione o integrale generale dell'equazione differenziale di partenza è data da:

 

y(t)=y_O(t)+\bar{y}(t)

 

IMPORTANTE: se il termine noto è formato dalla somma algebrica di due o più termini, si ripeterà lo stesso procedimento (che ora vedremo) per ogni termine e la soluzione finale sarà data dalla somma di tutte le soluzioni ottenute.

 

Scelta della soluzione particolare nel metodo di somiglianza

 

Tale metodo si basa sulle soluzioni y_1(t) e y_2(t) che ci fornisce l'omogenea associata alla nostra equazione differenziale, che come abbiamo più volte visto saranno del tipo:

 

se il polinomio caratteristico ha due radici reali distinte \lambda_1   e   \lambda_2

 

y_1(t) = e^{\lambda_1t}\ \mbox{ e }\ y_2(t)=e^{\lambda_2t} 

 

se il polinomio caratteristico ha un'unica radice reale \lambda_0 con molteplicità due

 

y_1(t) = e^{\lambda_0t}\ \mbox{ e }\ y_2(t)=te^{\lambda_0t} 

 

- se il polinomio caratteristico ha due radici complesse coniugate \alpha_1 + i\beta_1   e   \alpha_1 - i\beta_1

 

y_1(t) = e^{\alpha_1 t}\cos(\beta_1 t)\ \mbox{ e }\ y_2(t)=e^{\alpha_1 t}\sin(\beta_1 t)

 

Richiamato ciò (che come vedremo ora è fondamentale) vediamo come comportarci in base al tipo di termine noto che abbiamo di fronte.

 

 


 

 

Se g(t) è del tipo Q(t) oppure Q(t)e^{\lambda t} si distinguono tre casi:

 

(a) Se

 

\lambda=\lambda_1\ \mbox{ oppure }\ \lambda=\lambda_2

 

ossia se \lambda coincide con una delle due radici del polinomio caratteristico, allora la soluzione particolare \bar{y}(t) della non omogenea sarà del tipo

 

\bar{y}(t)=t e^{\lambda t} \bar{Q}(t)

 

con \bar{Q}(t) polinomio nella variabile t dello stesso grado di Q(t).

 

(b) Se

 

\lambda=\lambda_0

 

ossia se \lambda coincide con la radice multipla del polinomio caratteristico, allora la soluzione particolare \bar{y}(t) della non omogenea sarà del tipo:

 

\bar{y}(t)=t^2 e^{\lambda t} \bar{Q}(t)

 

con \bar{Q}(t) polinomio nella variabile t dello stesso grado di Q(t).

 

(c) Se

 

 \lambda non coincide con nessuna delle radici del polinomio caratteristico

 

allora la soluzione particolare \bar{y}(t) della non omogenea sarà del tipo:

 

\bar{y}(t)=e^{\lambda t} \bar{Q}(t)

 

con \bar{Q}(t) polinomio nella variabile t dello stesso grado di Q(t).

 

 


 

 

Se g(t) è del tipo \cos(\beta t)Q(t) o \sin(\beta t)Q(t) si distinguono due casi:

 

(a) Se i\beta è una radice del polinomio caratteristico, allora la soluzione \bar{y}(t) della non omogenea sarà del tipo:

 

\bar{y}(t)=t[\cos(\beta t)\bar{Q}(t)+\sin(\beta t)R(t)]

 

con \bar{Q}(t) e R(t) polinomi nella variabile t dello stesso grado di Q(t).

 

(b) Se i\beta non è radice del polinomio caratteristico, allora la soluzione \bar{y}(t) della non omogenea sarà del tipo:

 

\bar{y}(t)=\cos(\beta t) \bar{Q}(t)+\sin(\beta t) R(t)

 

con \bar{Q}(t) e R(t) polinomi nella variabile t dello stesso grado di Q(t).

 

 


 

 

Se g(t) è del tipo e^{\alpha t}\cos(\beta t)Q(t) o e^{\alpha t}\sin(\beta t)Q(t) si distinguono due casi:

 

(a) Se

 

\alpha=\alpha_1\mbox{ e }\beta=\beta_1 con \alpha_1 e \beta_1 termini delle radici complesse del polinomio caratteristico


allora la soluzione \bar{y}(t) della non omogenea sarà del tipo

 

\bar{y}(t)=te^{\alpha t}[\cos(\beta t) \bar{Q}(t)+\sin(\beta t) R(t)]

 

con \bar{Q}(t) e R(t) polinomi nella variabile t dello stesso grado di Q(t).

 

(b) Se

 

\alpha\mbox{ e }\beta non coincidono (rispettivamente) con \alpha_1 e \beta_1 delle radici complesse del polinomio caratteristico

 

allora la soluzione \bar{y}(t) della non omogenea sarà del tipo:

 

\bar{y}(t)=e^{\alpha t}[\cos(\beta t)\bar{Q}(t)+\sin(\beta t)R(t)]

 

con \bar{Q}(t) e R(t) polinomi nella variabile t dello stesso grado di Q(t).

 

 

Valori delle costanti arbitrarie nel metodo della somiglianza

 

In tutti i casi visti, una volta individuata \bar{y}(t) la deriveremo fino all'ordine due, e sostituirò:

 

\bar{y}''(t) al posto di y''(t)

 

\bar{y}'(t) al posto di y'(t)

 

\bar{y}(t) al posto di y(t)

 

nell'equazione differenziale di partenza y''(t)+a_1y'(t)+a_0y(t)=g(t) imponendo poi uguali i termini simili (da cui il nome metodo di somiglianza).

 

Esempio sul metodo della somiglianza

 

Potrebbe sembrare molto difficile e ingarbugliato. In realtà non è così... Col seguente esempio dovrebbe essere tutto molto più chiaro:

 

Trovare l'integrale generale dell'equazione differenziale:


y''-y'=t

 

Siamo di fronte ad un'equazione lineare, non omogenea, del secondo ordine, a coefficienti costanti. Iniziamo quindi col trovare la famiglia di soluzioni dell'omogenea:

 

y''-y'=0


Il polinomio caratteristico P(\lambda)=\lambda^2-\lambda si annulla per \lambda=0 e per \lambda=1. Pertanto la famiglia di soluzioni dell'omogenea sarà:

 

y_O(t)=c_1 e^{0t}+c_2 e^{t} = c_1+c_2e^{t}


Troviamo ora una soluzione particolare della non omogenea procedendo col metodo di somiglianza: il termine noto g(t)=t è del tipo:

 

g(t)=e^{\lambda t}Q(t)


con \lambda=0 che è una radice del polinomio caratteristico e Q(t) polinomio di grado uno. La soluzione particolare sarà allora del tipo: 

 

\bar{y}(t)=te^{0t}\bar{Q}(t)=t \bar{Q}(t)



con \bar{Q}(t) polinomio nella variabile t dello stesso grado di Q(t), ovvero di grado uno, pertanto: \bar{Q}(t)=At+B e quindi:

 

\bar{y}(t)=t(At+B)=At^2+Bt

 

Deriviamo ora fino all'ordine 2:

 

\bar{y}'(t)=2At+B 

 

\bar{y}''(t)=2A

 

e sostituiamo nell'equazione di partenza:

 

2A - 2At - B = t 

 

-2At+(2A-B)=t

 

Imponendo uguali i coefficienti dei termini dello stesso grado si ha:

 

\begin{cases} -2A=1 \\ 2A-B=0\end{cases}

 

\begin{cases} A=-\frac{1}{2} \\ B=-1\end{cases}

 

La soluzione particolare sarà quindi:

 

\bar{y}(t)=-\frac{1}{2}t^2-t

 

e l'integrale generale della nostra equazione differenziale di partenza:

 

y(t)=y_O(t)+\bar{y}(t)=c_1+c_2e^{t}-\frac{t^2}{2}-t

 

 


 

Altri esempi? Date un'occhiata agli esercizi correlati, sono tutti svolti, ed eventualmente utilizzate la barra di ricerca (in alto a destra), ne troverete a centinaia!


Alla prossima,

Galois

 

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