Metodo di Lagrange per equazioni differenziali del secondo ordine

Dopo aver trattato il caso omogeneo nella precedente lezione, passiamo al metodo di Lagrange per la risoluzione delle equazioni differenziali lineari del secondo ordine non omogenee e a coefficienti costanti.

 

Le equazioni differenziali a coefficienti costanti non omogenee del secondo ordine si presentano nella forma:

 

y''(t)+a_1y'(t)+a_0y(t)=g(t)

 

con a_0,a_1 \in \mathbb{R} e g (che si dice termine noto) una funzione continua nel suo dominio.

 

Metodo di Lagrange per le equazioni non omogenee del secondo ordine

 

Siamo di fronte ad un'equazione non omogenea che si pre\sinta nella forma:

 

y''(t)+a_1y'(t)+a_0y(t)=g(t)

 

Vediamo passo passo come procedere:

 

 

(1) si trova una soluzione dell'equazione omogenea ad essa associata:

 

y''(t)+a_1y'(t)+a_0y(t)=0

 

e a tal proposito vi rimando alla lezione sulle equazioni del secondo ordine omogeneeIndichiamo tale soluzione dell'omogenea con y_{O}(t)=c_{1}y_1(t)+c_2y_2(t).

 

Come pedice c'è una "O" per ricordare che è la soluzione dell'Omogenea, ma è solo un possibile modo per indicarla. Ovviamente ciascuno è libero di indicarla come vuole Tongue

 

 

(2) Si trova una soluzione (detta soluzione particolare) della non omogenea:

 

y''(t)+a_1y'(t)+a_0y(t)=g(t)

 

e la indicheremo con \bar{y}(t). Tra poco vedremo come determinarla.

 

 

(3) La soluzione o integrale generale dell'equazione differenziale di partenza è data da:

 

y(t)=y_{O}(t)+\bar{y}(t)

 

Ci rimane dunque da tornare al punto (2) e vedere come trovare praticamente una soluzione particolare della non omogenea. Il metodo che stiamo per proporre vale per tutti i tipi di equazioni differenziali lineari, non omogenee, del secondo ordine a coefficienti costanti ed è conosciuto in vari modi: metodo del Wronskiano, metodo di Lagrange o metodo di variazione delle costanti.

 

Partiamo dalla soluzione dell'omogenea che ci ha dato due integrali che abbiamo indicato con:


y_1(t)\ \ ;\ \ y_2(t)

 

e cerchiamo una soluzione particolare della non omogenea del tipo

 

(\spadesuit)\ \ \ \bar{y}(t)=\psi_1(t)y_1(t)+\psi_2(t)y_2(t)

 

impostando il seguente sistema

 

\begin{cases} \psi_1'(t)y_{1}(t)+\psi_2'(t)y_{2}(t)=0 \\ \\ \psi_1'(t)y_1'(t)+\psi_2'(t)y_2'(t)=g(t)\end{cases}

 

che è un sistema non omogeneo di due equazioni nelle due incognite \psi_1'(t) e \psi_2'(t). Per come è stato costruito, esso ammette un'unica soluzione.

 

Trovate le soluzioni \psi_1'(t),\ \psi_2'(t) calcoliamo


\psi_1(t):=\int(\psi_1'(t))dt\ \ \ ;\ \ \ \psi_2(t):=\int(\psi_2'(t))dt


dopodiché le sostituiamo in (\spadesuit). In questo modo avremo la soluzione particolare \bar{y}(t) cercata.

 

Esempio di applicazione del metodo di Lagrange

 

Risolvere l'equazione differenziale

 

y''(t)+y(t)=\frac{1}{\sin(t)}

 

Scriviamo il polinomio caratteristico ad essa associato P(\lambda)=\lambda^2+1 le cui radici sono i e -i, pertanto la soluzione dell'omogenea è data da:

 

y_{O}(t)=c_1\cos(t)+c_2\sin(t)

 

che ci fornisce due integrali

 

y_1(t)=\cos(t)\ \ \ ;\ \ \ y_2(t)=\sin(t)


Cerchiamo dunque una soluzione particolare della non omogenea del tipo

 

(\spadesuit)\ \ \ \bar{y}(t)=\psi_1(t)\cos(t)+\psi_2(t)\sin(t)

 

e per farlo impostiamo il sistema

 

\begin{cases} \psi_1'(t)y_{1}(t)+\psi_2'(t)y_{2}(t)=0 \\ \\ \psi_1'(t)y_1'(t)+\psi_2'(t)y_2'(t)=g(t)\end{cases}

 

ossia

 

\begin{cases} \psi_1'(t)\cos(t)+\psi_2'(t)\sin(t)=0 \\ \\ -\psi_1'(t)\sin(t)+\psi_2'(t)\cos(t)=\frac{1}{\sin(t)}\end{cases}

 

Per risolvere tale sistema possiamo ricorrere al metodo di Cramer; dopo un po' di conticini otteniamo

 

\psi_1'(t)=-1\ \ \ ;\ \ \ \psi_2'(t)=\frac{\cos(t)}{\sin(t)}

 

da cui

 

\psi_1(t):=\int(\psi_1'(t))dt=-t\ \ \ ;\ \ \ \psi_2(t):=\int(\psi_2'(t))dt=\log|\sin(t)|

 

Sostituiamole in (\spadesuit) per cui una soluzione particolare della non omogenea è data da

 

\bar{y}(t)=-t\cos(t)+\sin(t)\log|\sin(t)|

 

e ne desumiamo che la soluzione dell'equazione differenziale di partenza sarà

 

y(t)=y_O(t)+\bar{y}(t)=\overbrace{c_1\cos(t)+c_2\sin(t)}^{=y_O(t)}\overbrace{-t\cos(t)+\sin(t)\log|\sin(t)|}^{=\bar{y}(t)}

 

 


 

Nella prossima lezione vedremo un altro metodo per trovare la soluzione particolare delle equazioni differenziali non omogenee del secondo ordine. Tale metodo, noto come metodo di somiglianza, si applicherà a equazioni differenziali lineari, non omogenee, a coefficienti costanti che presentano un particolare tipo di termine noto.

 

Vi invito a non sottovalutare tale metodo perché è spesso richiesto esplicitamente in un corso di Analisi e fra l'altro permette di evitare la risoluzione del sistema prima visto (che si porta dietro non pochi conticini).

 

Alla prossima,

Galois

 

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