Equazioni differenziali omogenee del secondo ordine a coefficienti costanti

Le equazioni differenziali lineari omogenee del secondo ordine a coefficienti costanti sono le equazioni differenziali più ricorrenti in sede d'esame e nel corso delle esercitazioni. In questa lezione ci occuperemo del metodo risolutivo, proponendo svariati esempi; nelle successive vedremo come generalizzare il metodo di risoluzione al caso di equazioni differenziali di ordine n.

 

Un'equazione differenziale lineare, del secondo ordine, omogenea, a coefficienti costanti si presenta nella forma:

 

y''(t)+a_{1}y'(t)+a_{0}y(t)=0

 

con a_{1}, a_{0} numeri reali (ecco perché si dicono a coefficienti costanti), e termine noto (quantità a destra dell'uguale) pari a zero, motivo per il quale si dicono omogenee.

 

Per risolvere questo tipo di equazione differenziale è strettamente necessario saper risolvere le equazioni di secondo grado nel campo complesso \mathbb{C}.

 

Prima di procedere al vero e proprio metodo di risoluzione, vogliamo ricordarvi che un'equazione di secondo grado può ammettere in campo complesso due radici reali distinte, due radici reali coincidenti o due radici complesse e coniugate a seconda del segno del Delta.

 

Addentriamoci nel vivo nella questione.

 

Come risolvere un'equazione differenziale lineare del secondo ordine a coefficienti costanti e omogenea

 

Abbiamo già detto che le equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti e omogenee del secondo ordine si presentano nella forma:

 

y''(t)+a_{1}y'(t)+a_{0}y(t)=0

 

con

 

a_{1}, a_{0}\in \mathbb{R}

 

Vediamo come procedere passo-passo:

 

 

(1) Scriviamo il polinomio caratteristico P(\lambda) associato all'equazione

 

P(\lambda)=\lambda^2+a_{1}\lambda+a_{0}

 

in poche parole sostituiamo \lambda al posto di y(t) elevandola ad un esponente pari all'ordine di derivazione.

 

 

(2) Calcoliamo le radici del polinomio caratteristico P(\lambda) in \mathbb{C}. In parole povere risolviamo in \mathbb{C} l'equazione di secondo grado:

 

(\spadesuit)\ \ \ \lambda^2 + a_{1}\lambda + a_{0} = 0

 

Abbiamo già premesso che possono presentarsi (solo e soltanto) i seguenti casi:

 

 

(2a) (\spadesuit) ha due soluzioni reali distinte, \lambda_{1}, \ \lambda_2. Allora la soluzione dell'equazione differenziale di partenza è data da:

 

y(t)=c_{1}e^{\lambda_1t}+c_{2}e^{\lambda_{2}t}

 

 

(2b) (\spadesuit) ha due soluzioni reali coincidenti, \lambda_{1}. Allora la soluzione dell'equazione differenziale di partenza è data da:

 

y(t)=c_{1}e^{\lambda_1t}+tc_{2}e^{\lambda_{1}t}

 

 

(2c) (\spadesuit) ha due soluzioni complesse coniugate, \alpha+i\beta, \ \alpha - i\beta. Allora la soluzione dell'equazione differenziale di partenza è data da:

 

y(t)=c_{1}e^{\alpha t}\cos(\beta t)+c_{2}e^{\alpha t}\sin(\beta t)

 

 

Prima di addentrarci negli esempi vogliamo proporvi la seguente tabella, utilissima nella risoluzione di questo tipo di equazioni...Wink

 

 

Polinomio caratteristico

 

\lambda^2+a_1 \lambda +a_0=0

Soluzione associata all'equazione differenziale

 

y''(t)+a_1y'(t)+a_0y(t)=0

con a_1,a_0\in\mathbb{R}

 

\Delta>0

Due radici reali e distinte \lambda_1,\lambda_2

 

y(t)=c_1e^{\lambda_1 t}+c_2e^{\lambda_2 t}

c_1,c_2\in\mathbb{R}

 

\Delta=0

Due radici reali e coincidenti \lambda_0

 

y(t)=c_1e^{\lambda_0 t}+tc_2 e^{\lambda_0 t}

c_1,c_2\in\mathbb{R}

 

\Delta<0

Due radici complesse e coniugate

\alpha + i\beta

\alpha - i\beta

y(t)=c_1e^{\alpha t}\cos{(\beta t)}+c_2e^{\alpha t}\sin{(\beta t)}

c_1,c_2\in\mathbb{R}

 

 

Esempi

 

Vediamo alcuni esempi utili per capire come comportarsi anche con i problemi di Cauchy Tongue 

 

 

A) Risolviamo il problema di Cauchy

 

\begin{cases}y''(t)+5y'(t)+6y(t)=0 \\ y(0)=1 \\ y'(0)=0\end{cases}

 

Scriviamo il polinomio caratteristico associato all'equazione differenziale:

 

P(\lambda)=\lambda^2+5\lambda+6

 

e troviamone le radici risolvendo l'equazione di secondo grado:

 

\lambda^2+5\lambda+6=0

 

che ammette le due radici reali distinte \lambda_1=-3 e \lambda_{2}=-2. Dato che siamo nel caso (2a), la soluzione dell'equazione differenziale è

 

y(t)=c_{1}e^{\lambda_1t}+c_{2}e^{\lambda_{2}t}=c_1e^{-3t}+c_2e^{-2t}

 

 

Come imporre le condizioni iniziali?

 

Innanzitutto deriviamo rispetto a t la soluzione appena ottenuta, ovvero:

 

y'(t)=-3c_1e^{-3t}-2c_2e^{-2t}

 

Ora mettiamo a sistema le ultime due equazioni

 

\begin{cases}y(t)=c_1e^{-3t}+c_2e^{-2t} \\ y'(t)=-3c_1e^{-3t}-2c_2e^{-2t}\end{cases}

 

 e andiamo ad imporre le condizioni iniziali y(0)=1 e y'(0)=0 ottenendo:

 

\begin{cases}1=c_1+c_2 \\ 0=-3c_1-2c_2\end{cases}

 

da cui, dopo qualche conticino

 

\begin{cases}c_1=-2\\c_2=3\end{cases}

 

Ora sostituiamo quanto ottenuto nella soluzione dell'equazione differenziale

 

y(t)=c_1e^{-3t}+c_2e^{-2t}

 

per cui ricaviamo

 

y(t)=-2e^{-3t}+3e^{-2t}

 

che è la soluzione del problema di Cauchy che abbiamo considerato.

 

 

B) Determinare le soluzioni dell'equazione differenziale omogenea a coefficienti costanti

 

y''(t)+6y'(t)+9y(t)=0

 

Consideriamo il polinomio caratteristico associato

 

P(\lambda)=\lambda^2+6\lambda+9

 

e cerchiamone le radici come zeri dell'equazione di secondo grado

 

\lambda^2+6\lambda+9=0

 

che ammette due radici reali coincidenti, ovvero una radice reale \lambda_0=-3 con molteplicità 2.

 

Siamo nel caso (2b) e la soluzione dell'equazione differenziale è

 

y(t)=c_{1}e^{\lambda_0t}+tc_{2}e^{\lambda_{0}t}=c_1e^{-3t}+tc_2e^{-3t}.

 

 

C) Risolviamo l'equazione differenziale:

 

y''(t)+2y'(t)+2y(t)=0

 

Come al solito prendiamo il polinomio caratteristico associato all'equazione

 

P(\lambda)=\lambda^2+2\lambda+2

 

Calcoliamone le radici

 

\lambda^2+2\lambda+2=0

 

che ammette due complesse coniugate \alpha+i\beta = -1+i e \alpha-i\beta=-1-i. Siamo nel caso (2c) per cui la soluzione dell'equazione differenziale è:

 

y(t)=c_{1}e^{\alpha t}\cos(\beta t)+c_{2}e^{\alpha t}\sin(\beta t)=c_1e^{-t}\cos(t)+c_{2}e^{-t}\sin(t)

 

in quanto \alpha=-1 e \beta=1.

 

 


 

Abbiamo visto come risolvere le equazioni differenziali lineari, del secondo ordine, omogenee a coefficienti costanti; nella prossima lezione vedremo come comportarci nel caso delle non omogenee.

 

Alla prossima,

Galois

 

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