Equazioni differenziali lineari del primo ordine

Dopo aver esaurito la parte relativa alle equazioni differenziali non lineari, passiamo a quelle lineari e cominciamo dal caso probabilmente più semplice: qui tratteremo le equazioni differenziali lineari del primo ordine.

 

Quello che stiamo per introdurre inoltre è l'unico tipo di equazione differenziale per cui è data una vera e propria formula risolutiva e proprio per questo motivo l'unica conoscenza di base richiesta per risolverle è saperle riconoscere e saper integrare (su questo non mi soffermo oltre visto che ne abbiamo già parlato in altre lezioni).

 

Come risolvere le equazioni differenziali lineari del primo ordine

 

Sia

 

(\spadesuit)\ \ \ y'(t)+a_{0}(t) y(t)=g(t)

 

con a_{0}, \ g funzioni reali di una variabile reale continue nel loro insieme di definizione, ossia:

 

\begin{matrix} a_{0} \\ g \end{matrix} : I\subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \ \ \ \ \ \ \ \begin{matrix} a_{0} \\ g \end{matrix} \in C^{0}(I)

 

L'integrale generale (o famiglia delle soluzioni) dell'equazione differenziale (\spadesuit) è data dalla formula

 

y(t)= e^{-A(t)}\left[c_1+\int\left(g(t) e^{A(t)}\right)dt\right]

 

dove

 

A(t):=\int(a_{0}(t))dt

 

Se ci dovessimo trovare di fronte ad un problema di Cauchy con un'equazione differenziale lineare del primo ordine, cioè del tipo:

 

\begin{cases} y'(t)+a_{0}(t)\cdot y(t)=g(t) \\ y(t_{0})=y_{0}\end{cases}

 

si può procedere in due modi:

 

(1) procedere con la formula e alla fine imporre la condizione iniziale.

 

(2) Utilizzare direttamente la formula risolutiva:

 

y(t)= e^{-A(t)}\left[y_0+\int_{t_0}^{t}\left(g(s)\cdot e^{A(s)}\right)ds\right]

 

con

 

A(t):=\int_{t_0}^{t}(a_{0}(s))ds

 

(rispetto alla formula precedente abbiamo dovuto cambiare la variabile di integrazione in s perché la t compare come estremo superiore dell'integrale). Laughing

 

 

Notiamo un due aspetti molto importanti:

 

 

(1) Per poter utilizzare le formule precedenti è fondamentale che l'equazione differenziale sia scritta in questo modo:

 

y'(t)+a_{0}(t) y(t)=g(t)

 

cioè con termite noto a destra dell'uguale e tutto il resto a sinistra, altrimenti cambiano i segni ed è questo il motivo per cui a volte si trovano formule leggermente diverse.

 

 

(2) La formula vale anche per le omogenee! Infatti se dovessimo trovarci di fronte ad un'equazione del tipo

 

y'+a_0(t) y(t)=0

 

potremmo calcolarne l'integrale generale (o famiglia di soluzioni)

 

y(t)=c_1e^{-A(t)}

 

con

 

A(t):=\int(a_{0}(t))dt

 

che pur sembrando diversa è in realtà la stessa formula vista in precedenza, in cui però è scomparso l'integrale in quanto l'integranda g(t) è nullo. Tongue Vediamo ora qualche esempio...

 

Esempi di equazioni differenziali lineari del primo ordine

 

1) Risolvere l'equazione differenziale 

 

y'(t)=2y(t)+1.

 

Si vede subito che si tratta di un'equazione differenziale lineare del primo ordine non omogenea. Scriviamola innanzitutto nella forma (\spadesuit), ovvero

 

y'(t)-2y(t)=1

 

Abbiamo così

 

a_0(t)=-2

 

g(t)=1

 

Ora possiamo applicare la formula risolutiva

 

y(t)= e^{-A(t)}\left[c_1+\int\left(g(t)\cdot e^{A(t)}\right)dt\right]

 

dove

 

A(t):=\int(a_{0}(t))dt

 

Calcoliamo innanzitutto

 

A(t)=\int(-2)dt = -2t+k

 

(che in questo caso è ininfluente e quindi possiamo togliere o meglio porre uguale a zero) da cui:

 

e^{A(t)}=e^{-2t}

 

e

 

e^{-A(t)}=e^{2t}

 

ed infine calcoliamo:

 

\int\left(g(t) e^{A(t)}\right)dt = \int\left(e^{-2t}\right)dt=-\frac{1}{2}e^{-2t}

 

pertanto:

 

y(t)= e^{-A(t)}\left[c_1+\int\left(g(t) e^{A(t)}\right)dt\right] = e^{2t}\left[c_1-\frac{1}{2}e^{-2t}\right]=c_1e^{2t}-\frac{1}{2}

 

 


 

 

2) Troviamo le soluzioni dell'EDO

 

y'(t)+(\cos(t))y(t)=\sin(2t).

 

Si tratta di un'equazione differenziale lineare del primo ordine non omogenea già scritta in forma (\spadesuit), con:

 

a_{0}(t)=\cos(t)

 

g(t)=\sin(2t)

 

Calcoliamo quindi:

 

A(t)=\int[\cos(t)]dt = \sin(t)

 

da cui:

 

e^{A(t)}=e^{\sin(t)}

 

e

 

e^{-A(t)}=e^{-\sin(t)}

 

infine calcoliamo

 

\int\left(g(t) e^{A(t)}\right)dt = \int\left(\sin(2t) e^{\sin(t)}\right)dt=2e^{\sin(t)}\left(\sin(t)-1\right)

 

pertanto l'integrale generale della nostra equazione differenziale è dato da

 

y(t)= e^{-A(t)}\left[c_1+\int\left(g(t) e^{A(t)}\right)dt\right] = e^{-\sin(t)}\left[c_1+2e^{\sin(t)}(\sin(t)-1)\right]=

 

=c_1e^{-\sin(t)}+2(\sin(t)-1)

 

 


 

 

3) Risolvere l'equazione differenziale:

 

y'(t)+e^ty(t)=0

 

Si tratta di un'equazione differenziale lineare, del primo ordine, omogenea. Le soluzioni sono quindi date da:

 

y(t)=c_1e^{-A(t)}

 

con

 

A(t):=\int(a_{0}(t))dt

 

In questo caso abbiamo

 

a_0(t)=e^t

 

dunque

 

A(t)=\int(a_0(t))dt = \int (e^t)dt = e^t

 

Pertanto le soluzioni sono date da:

 

y(t)=c_1e^{-A(t)}=c_1e^{-e^t}

 

 


 

 

4) Risolvere il problema di Cauchy:

 

\begin{cases} y'(t)+\cos(t)y(t)=e^{-\sin(t)} \\ y(\pi)=\pi \end{cases}

 

Si tratta di un PdC formato da un'equazione differenziale lineare del primo ordine, non omogenea, con:

 

a_{0}(t)=\cos(t)

 

g(t)=e^{-\sin(t)}

 

Possiamo applicare la formula risolutiva:

 

y(t)= e^{-A(t)}\left[y_0+\int_{t_0}^{t}\left(g(s)\cdot e^{A(s)}\right)ds\right]

 

con

 

A(s):=\int_{t_0}^{t}(a_{0}(s))ds

 

Calcoliamo

 

A(s)=\int_{\pi}^{t}[\cos(s)]ds = \left[\sin(s)\right]_{\pi}^{t}=\sin(t)

 

da cui

 

e^{A(s)}=e^{\sin(s)}

 

ed infine calcoliamo:

 

\int_{\pi}^{t}\left(g(s) e^{A(s)}\right)ds = \int_{\pi}^{t}\left(e^{-\sin(s)} e^{\sin(s)}\right)ds=[s]_{\pi}^{t}=t-\pi

 

In definitiva l'integrale generale dell'equazione differenziale considerata è dato da

 

y(t)= e^{-A(t)}\left[y_0+\int_{\pi}^{t}\left(g(s) e^{A(s)}\right)ds\right] = e^{-\sin(t)}\left[\overbrace{\pi}^{=y_0}+t-\pi\right]=te^{-\sin(t)}

 

 


 

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Alla prossima!

Galois

 

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