Soluzione globale e prolungamento massimale

Dopo aver visto le condizioni sufficienti per la risoluzione locale di un problema di Cauchy, vediamo ora quali condizioni devono sussistere affinché:

 

  • un PdC abbia soluzione globale in un determinato intervallo;
  • esista un prolungamento massimale (delle eventuali soluzioni locali).

 

Per comprendere appieno questa lezione è indispensabile:

 

 

Prolungamento massimale e soluzione globale nei problemi di Cauchy

 

Consideriamo il problema di Cauchy

 

\spadesuit\ \ \ \begin{cases} y'=f(t,y) \\ y(t_{0})=y^{0} \end{cases}

 

e supponiamo che

 

f:A \subseteq \mathbb{R}^{n+1} \rightarrow \mathbb{R}

 

sia continua e localmente lipschitziana rispetto ad y, ovvero per ogni punto (t_{0}, y^{0}) \in A esiste un intorno dove f è lipschitziana.

 

Valgono quindi le ipotesi del teorema di esistenza ed unicità locale della soluzione di un problema di Cauchy e quindi esiste una ed una sola funzione definita localmente:

 

y:\left(t_{0}-\delta, t_{0}+\delta\right) \rightarrow \mathbb{R}

 

soluzione del problema di Cauchy \spadesuit.

 

Ci proponiamo ora di vedere in quali casi tali soluzioni (parlo al plurale perché potrebbe capitare che ce ne siano più d'una :)) possono essere estese, in altre parole vogliamo vedere in quali casi tali soluzioni locali hanno un prolungamento massimale.

 

 


 

 

Teorema (di esistenza della soluzione massimale di un Problema di Cauchy)

 

Sia

 

f:A \subseteq \mathbb{R}^{n+1} \rightarrow \mathbb{R}

 

una funzione per cui valgano le stesse ipotesi del teorema di esistenza ed unicità locale. Allora ogni soluzione locale  

 

y:\left(t_{0}-\delta, t_{0}+\delta\right) \rightarrow \mathbb{R}

 

del Problema di Cauchy \spadesuit ha un unico prolungamento massimale.


Per comodità poniamo:


t_{0}-\delta = a


t_{0}+\delta = b

 

Piccola parentesi: i più attenti avranno notato che a differenza delle scorse lezioni, in questa, gli intervalli di definizione della soluzione locale sono aperti. Non è un errore! Molto semplicemente stiamo considerando l'eventualità che uno dei due estremi dell'intervallo o entrambi possano essere infiniti. Wink

 

Ci eravamo chiesti: quando possiamo estendere tale soluzione locale? Come sempre troviamo risposta nei tanto amati teoremi. Tongue

 

Teorema (prolungabilità della soluzione di un problema di Cauchy)

 

Sia 

 

f:A \subseteq \mathbb{R}^{n+1} \rightarrow \mathbb{R}

 

una funzione continua e sia y:(a,b)\subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} una soluzione locale del problema di Cauchy \spadesuit.

 

[Perché "una" e non "la" soluzione locale? Perché stiamo supponendo solo che f sia continua senza dir nulla sulla sua lipschitzianità, pertanto nulla ci assicura l'unicità della soluzione]

 

Se

 

\lim_{t\to a^{+}}{y(t)}=l \in A = Dom(f)

 

allora y:\left(a,b \right)\subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} è prolungabile a sinistra di a.

 

Analogamente, se

 

\lim_{t\to b^{-}}{y(t)}=l \in A = \mbox{dom}(f)

 

allora y:\left(a,b \right)\subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} è prolungabile a destra di b.

 

Risoluzione globale di un problema di Cauchy in un intervallo assegnato

 

Vediamo ora le condizioni sufficienti per la risoluzione globale (o in grande) in un intervallo (\alpha, \beta) assegnato a priori.

 

Teorema (di esistenza ed unicità globale della soluzione di un Problema di Cauchy):

 

Sia

 

f: \left[(\alpha, \beta) \times \mathbb{R}^n \right] \subseteq \mathbb{R}^{n+1} \rightarrow \mathbb{R}

 

tale che

 

(1)\ \ \ f sia continua in (\alpha, \beta) \times \mathbb{R}^n

 

(2)\ \ \ f sia localmente lipschitziana rispetto a y, uniformemente rispetto a t

 

(3)\ \ \ ||f(t,y)|| \leq A(t) + B(t) ||y||, dove A(t) \ e \ B(t) siano funzioni continue.

 

Allora \forall t \in (\alpha, \beta), \ \forall y^{0} \in \mathbb{R}^n esiste un'unica soluzione globale del problema di Cauchy

 

\begin{cases} y'=f(t,y) \\ y(t_{0})=y^{0} \end{cases}

 

ossia esiste un'unica soluzione del problema di Cauchy definita su tutto (\alpha, \beta).

 

A prima vista potrebbe sembrare qualcosa di arido e incomprensibile...Spero che con i commenti che vedremo tra poco in modo che risulti tutto più chiaro. Tongue

 

Sulle ipotesi (1) \ \mbox{e} \ (2) abbiamo già abbondantemente discusso nelle precendenti lezioni. La novità è l'ipotesi (3). Cosa ci vuol dire?

 

Semplicemente, stiamo supponendo che vi sia una crescita al più lineare di f(t,y) rispetto alla variabile y. In altri termini supponiamo che il suo grafico sta sempre al di sotto di una retta. In soldoni il suo grafico "non si deve impennare tanto da fare in modo che vi sia un asintoto verticale".

 

In una sola parola l'ipotesi (3) ci dice che f(t,y) deve essere sublineare.

 

Formulazione generale VS formulazioni particolari

 

Molto spesso si hanno degli enunciati formalmente diversi di questo teorema, perché ogni professore lo enuncia in modo diverso a seconda di quello che ha fatto o che deve trattare o perché lo stesso corso di Analisi II entra più o meno del dettaglio su questo argomento nelle varie facoltà. Tuttavia riteniamo che quella data sia la formulazione più generale possibile.

 

Ci sono due casi notevoli che rientrano nell'enunciato dato sopra e che spesso sono forniti da docenti come segue:

 

(a) Sempre assumendo che valgano le ipotesi (1) \ \mbox{e} \ (2) si richiede (al posto dell'ipotesi (3) ) che f sia limitata su (\alpha, \beta) \times \mathbb{R}^n.

 

Bene! Questo è solo un caso particolare dell'ipotesi (3) che abbiamo scritto in precedenza. Infatti basta porre in tale ipotesi B(t)=0 e ottenere quindi:

 

||f(t,y)|| \leq A(t)

 

ovvero la limitatezza di f.

 

(b) Si richiede la funzione f sia continua nel suo insieme di definizione, ossia che valga l'ipotesi (1) e che essa sia globalmente lipschitziana.

 

Anche in questo caso tale ipotesi è un caso particolare delle ipotesi (2) \ \mbox{e} \ (3), in cui non entro del dettaglio per non dilungarci troppo. Tongue

 

La buccia di banana

 

Un'ultima cosa su cui vogliamo richiamare la vostra attenzione (e causa d'errore per molti studenti): nei teoremi di esistenza ed unicità locale e globale della soluzione di un problema di Cauchy le condizioni date sono sufficienti. Nella lezione sulle condizioni necessarie e/o sufficienti il significato viene spiegato nel dettaglio, vediamo che cosa comporta la sufficienza nel nostro caso.

 

Abbiamo visto nelle scorse lezioni che il seguente problema di Cauchy:


\begin{cases} y'=y^2 \\ y(0)=1 \end{cases}

 

ha un'unica soluzione massimale (e non globale) data da

 

y(t)=\frac{1}{1-t}

 

Ora, molti studenti affermano che questo si verifica perché in questo caso f(t,y)=y^2 non è sublineare e non vi è soluzione globale perché non è verificata una delle condizioni del teorema di esistenza ed unicità globale. Sbagliato! 

 

Abbiamo infatti appena detto che le condizioni sono solo sufficienti: se una di esse non è verificata non si può dire nulla sulla tesi! In questo caso specifico l'unica cosa che possiamo dire è che, non essendovi una soluzione globale, non vale almeno una delle ipotesi del teorema e in questo caso non vale l'ipotesi di sublinearità.

 

A titolo maggiormente esemplificativo, vediamo un esempio di problema di Cauchy formato da un'equazione differenziale non sublineare che però ammette soluzione globale! Laughing

 

Prendiamo il problema di Cauchy:

 

\begin{cases} y'=y^2 \\ y(t_{0})=0 \end{cases} \ , \ \forall t_{0} \in \mathbb{R}

 

In questo caso

 

f:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \ (t,y) \mapsto f(t,y)=y^2

 

è ovviamente continua, di classe C^{1}(\mathbb{R}) e quindi localmente lipschitziana e però non è sublineare a causa dell'esponente 2.

 

Si sarebbe dunque portati a dire erroneamente che il PdC non ammette soluzione globale: sbagliato! Si vede infatti subito che y(t)=0 è una soluzione globale (in quanto definita su tutto \mathbb{R} )!

 

 


 

Con questo abbiamo terminato la parte puramente teorica sulle equazioni differenziali. Dalla prossima lezione inizieremo a vedere i vari tipi di equazioni differenziali lineari e non, che ora dovremmo saper riconoscere, e spiegheremo i vari metodi di risoluzione. :)

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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