Funzione lipschitziana

La lipschitzianità è un concetto molto importante nell'Analisi Matematica. Prima di entrare nel dettaglio  e spiegare cosa caratterizza le funzioni lipschtziane, diciamo che esso si colloca tra il concetto di derivabilità e quello di continuità.

 

In che senso? Ecco un antipasto, nelle righe che seguiranno avremo modo di entrare nel dettaglio: se I è un intervallo eventualmente illimitato di \mathbb{R} e consideriamo la funzione f: I\subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}. Allora:

 

 

f derivabile in I \Rightarrow f lipschitziana in I \Rightarrow f uniformemente continua in I \Rightarrow f in continua in I.

 

Definizione di funzione lipschitziana

 

Diamo ora una definizione rigorosa di funzione lipschitziana in un intervallo.

 

Importante: le definizioni e i risultati che daremo saranno forniti (per una maggiore chiarezza nei confronti di chiunque leggerà questa lezione) per le funzioni reali di una variabile reale, ma valgono esattamente allo stesso modo per le funzioni reali e per le vettoriali di più variabili reali. Per intenderci varranno per ogni funzione f: I\subseteq \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m, \ con \ m,n \geq 1.

 

Definizione (funzione lipschitziana)

 

Sia I è un intervallo eventualmente illimitato di \mathbb{R}. Una funzione

 

f: I\subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}

 

si dice lipschitziana se esiste una costante L \textgreater 0 per cui si ha:

 

|f(x_{1})-f(x_{2})}| \leq L|x_{1}-x_{2}|, \ \forall x_{1},x_{2} \in I\ \ \ (\spadesuit)

 

o equivalentemente

 

\frac{|f(x_{1})-f(x_{2})|}{|x_{1}-x_{2}|} \leq L, \ \forall x_{1}, x_{2} \in I, \ x_{1}\neq x_{2}.

 

In parole povere il rapporto tra variazione di ordinata |f(x_{1})-f(x_{2})| e variazione di ascissa |x_{1}-x_{2}| non può superare un valore costante fissato L. In termini intuitivi potremmo dire che una funzione è lipschitziana in un intervallo se il suo grafico, in tale intervallo, "non si impenna troppo".

 

La più piccola costante L \textgreater 0 per cui vale (\spadesuit) prende il nome di costante di Lipschitz.

 

Spesso si sente parlare di lipschitzianità locale e di lipschitzianità globale. Spesso? Forse...Laughing  Ad ogni modo vediamone la differenza.

 

Funzioni lipschitziane localmente e globalmente

 

Partiamo dalle definizioni: sia I è un intervallo eventualmente illimitato di \mathbb{R} e consideriamo la funzione:

 

f: I\subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}

 

f si dice:

 

- localmente lipschitziana se:

 

\forall x_{0}\in I  \ \exists \mathcal{I}_{(x_{0})} \subseteq I, \ \exists L \textgreater 0 : \ |f(x_{1})-f(x_{2})|<L|x_{1}-x_{2}|, \ \forall x_{1},x_{2} \in \mathcal{I}_{(x_{0})}

 

dove, con \mathcal{I}_{(x_{0})} indichiamo un intorno del punto x_{0}.

 

- Globalmente lipschitziana se:

 

\exists L \textgreater 0: |f(x_{1})-f(x_{2})}| \leq L|x_{1}-x_{2}|, \ \forall x_{1},x_{2} \in I

 

La differenza tra lipschitzianità locale e globale, avendo le definizioni sotto mano, non dovrebbe essere difficile da cogliere. Laughing Si vede subito infatti che la differenza sta nel fatto che nella lipschitzianità locale la costante L dipende da un punto x_{0} e dall'intorno \mathcal{I}_{(x_{0})} nel quale si decide di lavorare, mentre nella lipschitzianità globale la costante L è unica per tutto l'insieme I.

 

Ovviamente (si vede subito dalla definizione e da quanto appena scritto) una funzione globalmente lipschitziana è anche localmente lipschitziana, e anche in questo caso non vale il viceversa.

 

Teoremi sulle funzioni lipschitziane

 

Spesso viene richiesto o è necessario capire se una funzione è localmente o globalmente Lipschitziana e farlo solo e soltanto con la definizione non è sempre semplice. Ci vengono in aiuto un paio di proposizioni (di cui, per scelta, omettiamo la dimostrazione).

 

Teorema (condizione sufficiente per la lipschitzianità)

 

Sia I è un intervallo eventualmente illimitato di \mathbb{R} e consideriamo la funzione f: I\subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}. Allora se f è di classe C^1, risulta che essa è localmente lipschitziana.

 

La precedente proposizione fornisce una condizione sufficiente per la lipschitzianità di f: è sufficiente che essa sia di classe C^{1} nel proprio dominio, ovvero che sia derivabile e con derivata continua. Attenzione alla sufficienza! Se una funzione non è di classe C^{1} nel suo insieme di definizione, non possiamo dir nulla sulla lipschitzianità della stessa: potrebbe essere o non essere lipschitziana. Vediamo un esempio.

 

Sia f(x):=|x|.

 

Per le ovvie proprietà del valore assoluto (ed in particolare per la disuguaglianza triangolare inversa)

 

|f(x_{1})-f(x_{2})| = | \  |x_{1}|-|x_{2}| \ | \leq |x_{1} - x_{2}|

 

e dunque f(x)=|x| è globalmente lipschitziana, e quindi pure localmente lipschitziana. Però f(x)=|x| non è di classe C^{1} in \mathbb{R} in quanto, come ben saprete, non è derivabile nell'origine. In x=0 infatti f(x)=|x| presenta un punto angoloso.

 

Abbiamo quindi anche fornito un esempio di funzione globalmente e quindi localmente lipschitziana non derivabile.

 


 

La seguente proposizione, molto utilizzata, ci dà una condizione necessaria e sufficiente affinché una funzione sia globalmente lipschitziana.

 

Teorema (condizione necessaria e sufficiente per la lipschitzianità)

 

Sia I è un intervallo eventualmente illimitato di \mathbb{R} e sia f: I\subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} una funzione derivabile su I. Allora se la derivata prima f' è una funzione limitata, risulta che f è globalmente lipschitziana.

 

 


 

Concludiamo questa lezione con questa curiosità: le funzioni Lipschitziane prendono questo (complicato Tongue) nome dal matematico tedesco Rudolph Otto Sigismund Lipschitz. That's all!

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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