Seconda parte su esistenza e unicità dei problemi di Cauchy

Proseguiamo nell'esposizione dei risultati inerenti i problemi di Cauchy: dopo aver visto il teorema che riguarda la natura locale delle soluzioni, passiamo a vedere altri esempi e casi sull'esistenza e unicità globale delle soluzioni di un problema di Cauchy.

 

Partiamo da un semplice esempio su un problema di Cauchy che ammette più di una soluzione.

 

Esistenza e non unicità delle soluzioni di un problema di Cauchy

 

Consideriamo il seguente problema di Cauchy:

 

\begin{cases} y'= 3y^{\frac{2}{3}} \\ y(0)=0 \end{cases}

 

In questo caso, la funzione f introdotta negli enunciati dei vari teoremi sarà

 

f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}  (ovvero A=\mathbb{R}^2)

 

(t,y) \subseteq \mathbb{R}^2 \mapsto f(t,y):= 3y^{\frac{2}{3}}  che ha valori in \mathbb{R}

 

La funzione f è ovviamente continua (in quanto composizione di funzioni continue) quindi, per il teorema di Peano enunciato nella precedente lezione, siamo sicuri dell'esistenza di almeno una soluzione.

 

Ci chiediamo: il problema di Cauchy che abbiamo considerato ne ammette una ed una sola?

 

Anche in questo caso la risposta si basa sul teorema di esistenza ed unicità locale. Dobbiamo stabilire se valgono le ipotesi di continuità e lipschitzianità del suddetto teorema: la prima ovviamente sì, l'abbiamo appena visto.

 

Per quanto rigurda la lipschitzianità? La verifica diretta potrebbe sembrare impegnativa e in effetti lo è, ma non disperiamo! Abbiamo osservato che una condizione sufficiente per la Lipschitzianità locale consiste nel fatto che la derivata parziale di f rispetto ad y deve essere continua in y=0. Perché proprio in zero? Beh, perchè y(0)=0 è la condizione iniziale del problema di Cauchy che ci siamo proposti di studiare.

 

Bene. Procediamo col calcolo della derivata parziale:

 

\frac{\partial}{\partial y}f(t,y)=\frac{\partial}{\partial y}(3y^{\frac{2}{3}})=3\left( \frac{2}{3}\right) y^{\frac{2}{3}-1} = 2y^{-\frac{1}{3}}=\frac{2}{\sqrt[3]{y}}

 

Dobbiamo vedere se tale funzione è continua nello zero. Niente di più semplice: basta calcolare il limite della precedente derivata per y che tende a zero da destra e per y che tende a zero da sinistra, ovvero:

 

\lim_{y\to 0^+}{\frac{2}{\sqrt[3]{y}}}=+\infty

 

questo già potrebbe bastare per dire che non è continua in y=0, ma a rigor di cronaca

 

\lim_{y\to 0^-}{\frac{2}{\sqrt[3]{y}}}=-\infty

 

Se doveste avere dubbi su questo punto vi invito a leggere la lezione sulle funzioni continue.

 

Grazie al corollario del teorema di esistenza e unicità locale possiamo concludere che il problema di Cauchy proposto potrebbe non ammettere un'unica soluzione. (In caso di dubbi vi invito a prendere visione della lezione precedente). Per stabilirlo con certezza continuiamo con l'analisi.

 

Non-unicità delle soluzioni: il Pennello di Peano

 

Addentriamoci quindi nella ricerca delle soluzioni per il problema di Cauchy considerato. L'esempio non è stato scelto a caso Tongue out ed è utile per mettere in evidenza un noto fenomeno analitico, da molti conosciuto come Pennello di Peano.

 

Riscriviamo il problema di Cauchy:

 

\begin{cases} y'= 3y^{\frac{2}{3}} \\ y(0)=0 \end{cases}

 

Una soluzione banale è la soluzione costante

 

y(t)=0

 

che verifica sia l'equazione differenziale che la condizione iniziale. D'altra parte se consideriamo la funzione

 

y(t)=t^3

 

anch'essa è una soluzione del problema di Cauchy in esame. Verifichiamolo: abbiamo visto come fare nella lezione "Cosa sono le equazioni differenziali?".

 

y'(t)=3t^2

 

Sostituiamo l'espressione della derivata nell'equazione differenziale:

 

3t^2 = 3(t^3)^{\frac{2}{3}}

 

che è un'uguaglianza vera. La condizione iniziale è indubbiamente verificata e quindi

 

y(t)=t^3

 

è un'altra soluzione del nostro PdC. Per la cronaca, si tratta della più semplice funzione cubica esistente.

 

Rappresentiamo (in blu) le soluzioni trovate fin'ora:

 

 

Primo esempio di problema di Cauchy con soluzione non unica

 

 

Possiamo continuare! In generale fissati due numeri reali a \ \mbox{e} \ b tali che: a<0<b (condizione imposta dalla condizione iniziale del problema)

 

(\bullet)\ \ \ y(t)=\begin{cases} (t-a)^3 \ \mbox{se} \ t\leq a \\ 0 \ \mbox{se} \ a\leq t \leq b \\ (t-b)^3 \ \mbox{se} \ t\geq b \end{cases}

 

è una funzione derivabile, soluzione del problema di Cauchy (a voi l'immediata verifica).

 

Tracciamone il grafico. Esso si compone:

 

- di un segmento dell'asse x compreso tra i punti a \ \mbox{e} \ b fissati e

 

- di due rami di cubica, ovvero: 

 

 

Secondo esempio di problema di Cauchy con soluzione non unica

 

 

Nulla vieta che a,\ b non possano variare in \mathbb{R}, a patto che si mantenga sempre la condizione: a< 0< b. Per l'arbitrarietà di a e di b, la funzione (\bullet) individua infinite soluzioni passanti per il punto (0,0)

 

 

Pennello di Peano 

 

 

Tale circostanza è nota come fenomeno di Peano e le soluzioni costituiscono, come suol dirsi, il pennello di Peano.

 

Vogliamo richiamare la vostra attenzione su una cosa: innanzitutto il precedente esempio di non unicità della soluzione locale vale non solo considerando come dato iniziale del problema y(0)=0. In generale, la non unicità vale per ogni problema di Cauchy del tipo:

 

\left\{\begin{matrix} y'= 3y^{\frac{2}{3}} \\ y(t_{0})=0 \end{matrix}  , al variare di t_{0} in \mathbb{R}

 

e non solo. Le considerazioni algebriche da fare sono pressocchè le stesse. Anche da un punto di vista grafico cambia praticamente pochissimo: invece di passare per l'origine degli assi le infinite soluzioni passeranno per il punto (t_{0},0). Tutto qui! Wink

 

Se considerassimo il problema di Cauchy

 

\begin{cases} y'= 3y^{\frac{2}{3}} \\ y(0)=1 \end{cases}

 

o più in generale

 

\begin{cases} y'= 3y^{\frac{2}{3}} \\ y(t_{0})=1 \end{cases}

 

In quest'ultimo caso cambierebbe qualcosa? Per rispondere, come sempre, facciamo affidamento ai nostri amati teoremi. Kiss La funzione è sempre la stessa e quindi è continua; la sua derivata rispetto a y è pure uguale a quella calcolata in precedenza, ossia

 

\frac{\partial}{\partial y}f(t,y)=\frac{2}{\sqrt[3]{y}}.

 

Quello che è cambiato è il dato iniziale del problema. Per stabilire se il problema di Cauchy in questione ammette o meno un'unica soluzione dobbiamo verificare se nel punto y=1 la derivata è continua (in forza del noto corollario). Poiché:

 

\lim_{y\to 1^+}{\frac{2}{\sqrt[3]{y}}}=\lim_{y\to 1^-}{\frac{2}{\sqrt[3]{y}}}=2

 

la derivata è continua nel punto 1, pertanto essendo soddisfatte entrambe le ipotesi del corollario, nonché del teorema di esistenza ed unicità locale, il problema di Cauchy ammette un'unica soluzione locale

 

 


 

 

Ricapitolando: abbiamo visto che, dato un problema di Cauchy del tipo

 

\begin{cases} y'(t)= f(t,y) \\ y(t_{0})=y_{0} \end{cases}

 

possiamo stabilire se esso ammette un'unica soluzione senza risolverlo. Come?


1) Verificando che la funzione f(t,y) è continua;

 

2) Studiando la continuità della derivata parziale di f(t,y) rispetto ad y nel punto y_{0}. Se tale derivata è ivi continua il PdC ammetterà un'unica soluzione locale.

 

Ricordiamoci sempre che quest'ultima condizione implica alla lipschitzianità di f(t,y) rispetto ad y, uniformemente rispetto a t.

  

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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