Soluzioni di un'equazione differenziale

In questa lezione tratteremo nel dettaglio, dando delle definizioni rigorose, tutti i vari tipi di soluzione di un'equazione differenziale ordinaria, soffermandoci maggiormente sulla differenza tra soluzione massimale e soluzione globale che spesso mette in crisi gli studenti.

 

Tipi di soluzione di un'equazione differenziale ordinaria

 

Incominciamo introducendo la nozione di soluzione locale, soluzione massimale e prolungamento di una soluzione.

 

Sia

 

(\diamondsuit) \ f:A\subseteq \mathbb{R}^{k+1} \rightarrow \mathbb{R}, con A aperto

 

 

Definizione (soluzione locale)

 

Una funzione y si dice soluzione locale dell'equazione differenziale

 

y^{(k)}=f(t,y(t),y'(t),...,y^{(k-1)}(t))

 

se:


A) il suo dominio è un intervallo, ovvero y:I\subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}

 

B) y:I\subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} è derivabile k volte in I

 

C) Per ogni t \in I risulta che (t, y(t), y'(t), ..., y^{(k-1)}(t)) \in A

 

D) Per ogni t \in I risulta che y^{(k)}(t)=f(t,y(t),y'(t),...,y^{(k-1)}(t)).

 

 

Definizione (prolungamento di una soluzione)

 

Una funzione

 

z:J\subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}

 

si dice un prolungamento della soluzione locale

 

y:I\subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}

 

se:


A) z è a sua volta una soluzione locale, ovvero verifica tutte le condizioni della definizione precedente.

 

B) I\subseteq J

 

C) \forall t \in I: y(t)=z(t)

 

In particolare se in luogo della B) risulta che I \subset J (I sottoinsieme proprio di J) allora z si dice prolungamento proprio.

 

Osservazione

 

Prima di procedere con la definizione di soluzione massimale e globale, soffermiamoci un istante sulla definizione appena data.

 

La definizione di prolungamento di una soluzione ci dice che una soluzione z è il prolungamento di un'altra soluzione y se z è definita in un intervallo J che contiene l'intervallo di definizione I di y, e  se nell'intervallo comune I risulta z(t)=y(t).

 

Questo semplicissimo grafico ci aiuta a capire ancor meglio la situazione

 

 

Prolungamento-soluzione-equazione-differenziale

 


Definizione (soluzione massimale)

 

Una funzione y si dice soluzione massimale dell'equazione differenziale

 

y^{(k)}=f(t,y,y',...,y^{(k-1)})

 

se non esistono prolungamenti propri di y.

 

Pensate ad esempio ad una soluzione y:(a,b) \subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} che presenti sia in a che in b asintoto verticale. In questo caso y sarebbe una soluzione massimale in quanto non sarebbe prolungabile. In parole povere non potremmo estenderla né a destra né a sinistra.

 

Prima di definire il concetto di soluzione globale, ai fini di una maggiore chiarezza, supponiamo che l'intervallo A di definizione della funzione (\diamondsuit) sia del tipo:

 

A=I \times \mathbb{R}^{k}, \ \mbox{con} \ I \subseteq \mathbb{R}

 

ovvero A sia un aperto ottenuto dal prodotto cartesiano di \mathbb{R}^k con un intervallo I \ \mbox{di} \ \mathbb{R}

 

ossia

 

f: \ (I \times \mathbb{R}^k)\subseteq \mathbb{R}^{k+1} \rightarrow \mathbb{R}

 

 

Definizione (soluzione globale)

 

Una funzione y si dice soluzione globale dell'equazione differenziale

 

y^{(k)}=f(t,y',y'',...,y^{(k-1)})

 

se:


A) y è una soluzione locale;

 

B) il dominio di y coincide con I, ossia y: \ I \subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}.

 

Osserviamo che nulla vieta che I coincida con \mathbb{R} e soprattutto che

 

una soluzione globale è anche una soluzione massimale (segue subito dalla definizione), ma in generale non vale il viceversa!

 

Esempio

 

Consideriamo il problema di Cauchy

 

\begin{cases} y'=y^2 \\ y(0)=1 \end{cases}

 

In questo caso, la nostra f: \ (I \times \mathbb{R}^{k}) \rightarrow \mathbb{R} definita in (\diamondsuit) sarà:

 

f(t,y)=y^2

 

ovvero

 

f:\overbrace{\mathbb{R}}^{I} \times \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}

 

dove \mathbb{R} sopraindicato con I è l'intervallo della definizione di soluzione globale. Pertanto, in base alla definizione, una soluzione del problema di Cauchy sarà globale se avrà come dominio I=\mathbb{R}.

 

Se stai leggendo per ripassare e hai già studiato il metodo di risoluzione per le equazioni differenziali a variabili separabili, continua a leggere; in caso contrario, se stai seguendo l'ordine delle nostre lezioni, tralascia la parte relativa alla risoluzione dell'equazione differenziale che segue.

 

Procediamo con la risoluzione analitica: per y \neq 0, separando le variabili e integrando abbiamo:

 

\int {\frac{1}{y^2}} dy = \int {dt}

 

da cui:

 

-\frac{1}{y(t)}=t+c, \  c\in R

 

Imponendo la condizione iniziale y(0)=1 ricaviamo

 

-\frac{1}{1}=0+c, da cui c=-1

 

quindi la soluzione del problema di Cauchy sarà

 

y(t)=\frac{1}{1-t}.

 

Ora ci chiediamo: è una soluzione massimale? Sì. Per rendersene conto basta rappresentare graficamente la soluzione (ovviamente vista la condizione iniziale siamo nel semipiano y>0)

 

 

Esempio di soluzione massimale di un problema di Cauchy

 

 

infatti, evidentemente, la nostra soluzione a sinistra va a -\infty, a destra presenta un asintoto verticale e quindi non potrà avere prolungamenti propri. In accordo con la definizione data precedentemente, la soluzione è massimale.

 

È una soluzione globale? No. Infatti prendendo in considerazione la definizione y:\left\]-\infty, 1 \right) \rightarrow \mathbb{R} ed evidentemente: \left\] -\infty, 1 \right) \neq I =\mathbb{R}.

 

Notiamo che questo esempio fornisce anche un contro esempio all'affermazione fatta precedentemente: una soluzione globale è anche una soluzione massimale, ma in generale non vale il viceversa! :)

 


 

Abbiamo visto come capire, solo avendo a disposizione le definizioni, se una soluzione di un'equazione differenziale ordinaria è massimale o globale. Nelle prossime lezioni introdurremo dei teoremi che ci permetteranno di dire se una data equazione differenziale ammette una soluzione locale, globale o massimale senza doverla risolvere. Wink

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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