Tipi di equazioni differenziali

Dopo aver dato uno sguardo alle applicazioni pratiche e al significato informale, vogliamo dare una definizione formale di equazione differenziale e presentare i vari tipi di equazioni differenziali. Alla fine di questo articolo saremo in grado di:

 

- distinguere le equazioni differenziali lineari da quelle non lineari;

- riconoscere l'ordine e i coefficienti di un'equazione differenziale ordinaria;

- dire se un'EDO è omogenea e/o a coefficienti costanti.

Introdurremo inoltre il concetto di problema di Cauchy (PdC) e di soluzione di un'equazione differenziale ordinaria.

 

Come distinguere le equazioni differenziali

 

Procediamo con ordine! La forma più generale di un'equazione differenziale ordinaria è la seguente:

 

F(t,y(t), y'(t), y''(t), ... ,y^{(k)}(t))=0

 

dove

 

y:I\subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} è una funzione reale di variabile reale, derivabile k volte sull'intervallo I;

 

F è una funzione F:A\subseteq \mathbb{R}^{k+2} \rightarrow \mathbb{R}, con A un insieme aperto.

 

Non spaventiamoci: cosa vuol dire tutto questo?

 

Abbiamo semplicemente formalizzato il seguente concetto: un'equazione differenziale è semplicemente un'equazione che lega fra loro una funzione - in questo caso y - e le sue derivate.

 

Piccola osservazione: come mai l'insieme A di definizione della funzione F è un sottoinsieme di \mathbb{R}^{k+2} ? Capirlo è molto semplice, basta contare gli elementi della funzione F. Riprendiamo la definizione:

 

F(\overbrace{t,y(t),}^{\mbox{sono 2 elementi}} \overbrace{y'(t), y''(t), ... ,y^{(k)}(t)}^{\mbox{sono k elementi}})=0

 

ed ecco svelato il mistero (se così possiamo chiamarlo).

 

Ordine di un'equazione differenziale e forma normale

 

Molto spesso, inoltre, sentirete parlare di equazioni differenziali ordinarie di ordine k scritte in forma normale. Cosa vuol dire?

 

Innanzitutto si dice ordine (o molto raramente grado) di un'equazione differenziale ordinaria l'ordine massimo di derivazione che compare nell'equazione. Se ad esempio avessimo:

 

y'-y^3 = 0

 

in tal caso l'ordine sarebbe 1, in quanto 1 è l'ordine massimo di derivazione che compare nell'equazione e non (come credono in molti) TRE in quanto in questo caso 3 è un semplice esponente e non indica l'ordine di derivazione. In caso di dubbi vi rimando alla lezione precedente, in cui abbiamo parlato delle notazioni da utilizzare.

 

Vediamo ora cosa si intende per equazione differenziale scritta in forma normale.

 

Molto semplicemente, diciamo che un'equazione differenziale è in forma normale se è scritta in forma esplicita rispetto alla derivata di ordine massimo, ossia se è scritta nella forma:

 

y^{(k)}(t)=f(t,y(t),y'(t),...,y^{(k-1)}(t))

 

sempre supponendo che

 

y:I\subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} sia una funzione reale di variabile reale, derivabile k volte in I, ed

 

f sia una funzione f:A\subseteq \mathbb{R}^{k+1} \rightarrow \mathbb{R}, con A aperto.

 

Questa volta lascio a voi vedere come mai A è un sottoinsieme di R^{k+1}Wink

 

Equazioni differenziali lineari e non lineari

 

Siamo ora pronti ad entrare più nel dettaglio: diamo la definizione di equazione differenziale (ordinaria) lineare. Una equazione differenziale lineare di ordine k è un'equazione differenziale ordinaria che si presenta nella forma:

 

y^{(k)}+a_{k-1}(t)y^{(k-1)}+a_{k-2}(t)y^{(k-2)}+.....+a_{1}(t)y'+a_{0}(t)y=g(t)\ \ \ \left( \diamondsuit \right)

 

che possiamo anche scrivere in forma compatta come:

 

y^{(k)}+\sum_{j=0}^{k-1}{a_{j}(t)y^{(j)}}=g(t)

 

dove:

 

  • a_{j}:I\subseteq \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} sono definite in un unico intervallo I\subseteq \mathbb{R}, \forall j = 0,1,...k-1 e sono dette coefficienti dell'equazione differenziale;
     
  • g:I\subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} è definita nello stesso intervallo I ed è detta termine noto;
     
  • y è detta funzione incognita dell'equazione differenziale.

 

 

In particolare:

 

- nel caso in cui i coefficienti a_{j}(t) siano costanti \forall j = 0,1,...k-1, allora l'equazione differenziale si dirà a coefficienti costanti.

 

- Se g(t)=0 l'equazione differenziale si dirà omogenea.

 

Al fine di saper riconoscere e quindi distinguere (indispensabile ai fini della risoluzione) le equazioni differenziali lineri da quelle non lineari, diamo la seguente definizione.

 

Definizione (operatore differenziale)

 

Dato un qualunque intervallo I di \mathbb{R}, definiamo l'operatore differenziale L:C^{k}(I) \rightarrow C^{0}(I) come segue. 

 

Data y(t)\in C^{k}(I)

 

L(y(t)) =y^{(k)}+a_{k-1}(t)y^{(k-1)}+\dots +a_{1}(t)y'+a_{0}(t)y\ \ \ \in C^{0}(I)

 

e osserviamo che L:C^{k}(I) \rightarrow C^{0}(I) è un'applicazione lineare, infatti:

 

\forall y,z \in C^{k}(I)\mbox{ risulta che } L(y+z)=L(y)+L(z)

 

\forall y \in C^{k}(I), \forall \alpha \in \mathbb{R}\mbox{ risulta che } L(\alpha y)=\alpha L(y)

 

Ecco il motivo per cui l'equazione differenziale \left( \diamondsuit \right ) si dice lineare.

 

Per farla breve, distaccandoci dal formalismo matematico, un'equazione differenziale è lineare se le derivate di y e la medesima incognita y hanno tutti esponente 1. In caso contrario saremmo di fronte ad un'equazione differenziale non lineare.

 

Esempi sui vari tipi di equazioni differenziali

 

Diamo ora alcuni esempi, così da avere ben chiari i numerosi ma sostanziali concetti appena introdotti.

 

1) Prendiamo in esame

 

y^{(3)}+t^2y'+y=0

 

È lineare?  Sì, infatti la funzione y e le sue derivate hanno tutte esponente uno.

Qual è il suo ordine?  3, infatti il massimo ordine di derivazione è tre y^{(3)}.

È a coefficienti costanti?  No, perché il coefficiente di y' non è una costante (un numero), ma è t^2.

È omogenea?  Sì, infatti in questo caso g(t)=0

 

Abbiamo quindi di fronte un'equazione differenziale lineare, del terzo ordine, omogenea, NON a coefficienti costanti.

 

2) Consideriamo

 

y''+y^2-t^3-1=0

 

È lineare? No: la funzione y ha come esponente 2.

Qual è il suo ordine? 2. Infatti il massimo ordine di derivazione è due y''.

È a coefficienti costanti? Sì.

È omogenea? No! Non lasciatevi ingannare dal fatto che a destra dell'uguale c'è zero. In questo caso infatti g(t)=t^3+1.

 

Siamo quindi di fronte ad: un'equazione differenziale NON lineare, del secondo ordine, a coefficienti costanti, NON omogenea.

 

Definizione di soluzione di un'equazione differenziale

 

Con la speranza che fin qui sia tutto chiaro, siamo ora pronti per vedere cos'è la soluzione di un'equazione differenziale ordinaria.

 

Come nel caso delle normali equazioni che impariamo a risolvere nelle scuole medie, la soluzione di un'EDO è una funzione (ricordo per l'ennesima volta che abbiamo a che fare con funzioni) che sostituita nell'equazione di partenza ci dà un'uguaglianza vera.

 

Esempio: consideriamo 

 

y''+ty=(t-1)\sin(t)

 

ci chiediamo se la funzione f(t)=\sin(t) sia una sua soluzione.

 

Per capirlo basta calcolare le sue derivate fino all'ordine richiesto (in questo caso due) e sostituire la funzione, insieme alle derivate, nell'equazione differenziale per vedere se otteniamo o meno un'uguaglianza vera

 

f'(t)=\cos(t)\ \mbox{ ; }\ f''(t)=-\sin(t)

 

Sostituiamo il tutto nell'equazione:

 

-\sin(t)+t(\sin(t))=(t-1)\sin(t)

 

ossia

 

(t-1)\sin(t)=(t-1)\sin(t)

 

che è un'uguaglianza vera, pertanto f(t)=\sin(t) è una soluzione!

 

Diamo una definizione formale: sia

 

y^{(k)}+a_{k-1}(t)y^{(k-1)}+a_{k-2}(t)y^{(k-2)}+.....+a_{1}(t)y'+a_{0}(t)y=g(t)

 

un'equazione differenziale lineare. Diremo che f è soluzione o integrale generale dell'equazione differenziale data se:

 

f^{(k)}+a_{k-1}(t)f^{(k-1)}+a_{k-2}(t)f^{(k-2)}+.....+a_{1}(t)f'+a_{0}(t)f=g(t).

 

Problema di Cauchy

 

Come ultimo argomento di questa importantissima lezione vediamo cosa si intende per problema di Cauchy.

 

Definizione: siano

 

A\subseteq \mathbb{R}^{n+1} un insieme aperto,

 

f:A\subseteq \mathbb{R}^{n+1}\rightarrow \mathbb{R} una funzione continua,

 

(t_{0},y^{0}) \in A, ossia t_{0} \in \mathbb{R} e y^{0} \in \mathbb{R}^{n}.

 

Si dice Problema di Cauchy e si indica brevemente con PdC la coppia di equazioni:

 

\begin{cases} y'(t)=f(t,y(t)) \\ y(t_{0})=y^{0} \end{cases}

 

Trovare una soluzione (o integrale generale) del PdC vuol dire individuare una funzione y tale che:

 

  • y è una soluzione dell'equazione differenziale y'(t)=f(t,y(t));
     
  • y(t_{0})=y^{0} che viene detta solitamente condizione iniziale del PdC.

 

In generale t_{0} si dice punto iniziale e y^{0} valore iniziale.

 

Non spaventatevi se quest'ultima definizione vi sembra poco chiara. Nelle prossime lezioni (ancora non ne abbiamo gli strumenti) vedremo un'infinità di PdC e capiremo come risolverli. Nello specifico ci occuperemo dei vari tipi di soluzioni di un'equazione differenziale e dei vari teoremi di esistenza.

 


 

Vi lasciamo con un po' di esercizi di verifica, utili per vedere se avete assimilato bene i concetti trattati in questa lezione... Wink

 

A) y^{(3)}+t^2=0 è un'equazione differenziale

 

1) lineare, del terzo ordine, non omogenea, a coefficienti costanti

2) lineare, del terzo ordine, omogenea, a coefficienti costanti

3) non lineare, del terzo ordine, omogenea, a coefficienti costanti

4) nessuna delle precedenti.

 

 

B) y^{(5)}+ty^2=0 è un'equazione differenziale 

 

1) lineare, del quinto ordine, omogenea, a coefficienti costanti

2) non lineare, del secondo ordine, omogenea, non a coefficienti costanti

3) non lineare, del quinto ordine, omogenea, non a coefficienti costanti

4) nessuna delle precedenti.

 

 

C) y'+ty=t è

 

1) lineare, del primo ordine, omogenea, a coefficienti costanti

2) lineare, del primo ordine, non omogenea, non a coefficienti costanti

3) non lineare, del primo ordine, omogenea, a coefficienti costanti

4) nessuna delle precedenti.

 

 

D) Dire quale/i delle seguenti funzioni sono soluzione dell'equazione differenziale:

 

y''+t=0

 

1)\ f(t)=t^2+1\ \ \ ;\ \ \ 2)\ f(t)=-\frac{t^3}{6}

 

3)\ f(t)=-\frac{t^3}{6} + 2t\ \ \ ;\ \ \ 4)\ f(t)=\frac{t^3}{6}

 

 

E) Dire quale/i delle seguenti funzioni sono soluzione dell'equazione differenziale:

 

y''+y'=t

 

1)\ f(t)=-t+\frac{t^2}{2}\ \ \ ;\ \ \ 2)\ f(t)=-\frac{t^2}{2}-t-2e^{t}

 

3)\ f(t)=-\frac{t^2}{2} + 2t\ \ \ ;\ \ \ 4)\ f(t)=\frac{t^2}{2}

 

 


 

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Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

 

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Soluzioni: A1, B3, C2, D2e3, E1.