Cosa sono le equazioni differenziali?

Lo studio delle equazioni differenziali, oltre che in Matematica, trova applicazione in molte dipliscine scientifiche, quali soprattutto Fisica e Chimica. L'obiettivo della nostra prima lezione consiste proprio nel capire cosa sono e a cosa servono le equazioni differenziali: molti problemi fisici, chimici, ingegneristici sono infatti spesso formulati in termini di problemi con le equazioni differenziali.

 

A cosa servono le equazioni differenziali

 

Partiamo con un esempio. Sia y(t) una massa di uranio al tempo t. Dopo un certo tempo trascorso, chiamiamolo \Delta t, un po' di uranio sarà decaduto e indichiamo tale quantità con dy(t) con d>0. Supponiamo inoltre che essa decada in modo proporzionale.

 

Ci chiediamo: che massa avremo al tempo t+\Delta t ? Dobbiamo calcolare: y(t+\Delta t), che sarà uguale alla massa di uranio al tempo t meno la massa decaduta dopo il tracorrere del tempo \Delta t.

 

In simboli

 

y(t+\Delta t) = y(t)-dy(t)\Delta t

 

da cui:

 

-dy(t)=\frac{y(t+\Delta t)-y(t)}{\Delta t}.

 

Al tendere di \Delta t a zero avremo

 

y'(t)=-dy(t)

 

che è un'equazione differenziale!

 

Un altro esempio di applicazione delle equazioni differenziali

 

Consideriamo la Legge di Hook: F=-ky(t), dove k è una costante elastica e y(t) è la posizione in cui si trova la massa M.

 

 

Molla collegata ad una massa

 

 

Per la seconda legge di Newton risulta

 

F=M y''(t)

 

pertanto abbiamo

 

-ky(t)=My''(t)

 

ossia

 

y''(t)=-\frac{k}{M}y(t)

 

Posto -\frac{k}{M}=c\mbox{, con }c \in \mathbb{R} abbiamo:

 

y''(t)=c\cdot y(t)

 

che è un'equazione differenziale ordinaria del secondo ordine!

 

Cosa sono le equazioni differenziali?

 

Come avrete notato, per intenderci, possiamo affermare in modo informale che le equazioni differenziali ordinarie non sono altro che equazioni in cui l'incognita è una funzione e i cui termini sono le derivate della funzione stessa (a patto, ovviamente, che la funzione sia derivabile un numero sufficiente di volte). Vedremo una definizione formale nella prossima lezione.

 

Ora che vi abbiamo dato un'idea di cosa sono e a cosa servono nel concreto le equazioni differenziali, vediamo quali sono i concetti preliminari che servono per il loro studio. 

 

Concetti preliminari per le equazioni differenziali

 

Prima di procedere con la lettura occorre tenere bene in mente i seguenti concetti (i quali intervengono in modo massiccio nell'esposizione): funzionederivata e integrale.

 

Indicheremo con y la variabile dipendente (o funzione incognita), e indicheremo con t la variabile indipendente.

 

Molti docenti invece di indicare la variabile indipendente con t scelgono x, così come a volte la variabile dipendente la potete trovare indicata con z o con w. Non spaventatevi! E' solo una notazione diversa, nel concreto non cambia nulla!

 

Generalmente indicheremo:

 

- con f: A \rightarrow \mathbb{R} una funzione da un insieme A\subseteq \mathbb{R} aperto a valori in \mathbb{R};

 

- con C^{n}(A), dove n\in \mathbb{N}, la classe di funzioni definite su Acontinue e derivabili n volte e con derivate continue fino all'ordine n.

 

Se f è una funzione derivabile n di volte, indicheremo con f' oppure \frac{d}{dx}f la derivata prima di f, con f'' la derivata seconda di f, con f^{(3)} la derivata terza di f e in generale con f^{(n)} la derivata n-esima di f.

 

Ora siamo davvero pronti per addentrarci nello studio delle equazioni differenziali ordinarie! Laughing 

 

 

Giuseppe Carichino (Galois)

 

 

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