Prodotto scalare e norma di un vettore

Il prodotto scalare è un'operazione che si effettua tra due vettori e che manifesta la sua importanza a 360° nello studio dell'Algebra Lineare. Esso è spesso accompagnato dal concetto di norma di un vettore, la cui definizione non a caso discende proprio da quella di prodotto scalare.

 

In questa lezione proporremo la definizione di prodotto scalare (standard, o canonico) in spazi vettoriali del tipo \mathbb{R}^n, ne enunceremo le principali proprietà e passeremo poi alla nozione di norma di un vettore. Il tutto sarà naturalmente farcito da esempi. Wink

 

Prodotto scalare tra due vettori

 

Cominiciamo con la definizione da cui discenderanno tutte le proprietà.

 

Sia \mathbb{R}^{n} uno spazio vettoriale di dimensione n sul campo \mathbb{R}. Il prodotto scalare tra due vettori di \mathbb{R}^n è un'operazione che generalemente si indica con il simbolo · ed è definita come segue:

 

\begin{matrix}\cdot: \mathbb{R}^{n}\times \mathbb{R}^{n}&\to& \mathbb{R}\\ (\mathbf{x}, \mathbf{y})&\mapsto&\mathbf{x}\cdot\mathbf{y}\end{matrix}

 

ovvero associa ad una coppia di vettori \mathbf{x}= (x_1, x_2, \cdots , x_n) \ \mbox{e} \ \mathbf{y}= (y_1, y_2, \cdots, y_n) un numero reale così definito:

 

\mathbf{x}\cdot \mathbf{y}= x_1 y_1+ x_2 y_2+\cdots+ x_{n} y_{n}

 

In particolare, se lavoriamo in \mathbb{R}^2:

 

\mathbf{x}\cdot\mathbf{y}= x_1 y_1+ x_2 y_2

 

dove \mathbf{x}= (x_1, x_2),\,\, \mathbf{y}= (y_1, y_2).

 

 

In \mathbb{R}^{3}

 

\mathbf{x}\cdot \mathbf{y}= x_1 y_1+ x_2 y_2+ x_3 y_3

 

dove \mathbf{x}= (x_1, x_2, x_3),\,\, \mathbf{y}= (y_1, y_2, y_3).

 

 

Niente di complicato insomma. Alle volte il prodotto scalare è definito anche come:

 

\mathbf{x}\cdot \mathbf{y}= \mathbf{x}^t\,\, \mathbf{y}

 

dove \mathbf{x}^{t}\,\, \mathbf{y} è il prodotto riga per colonna tra il vettore trasposto \mathbf{x}^{t} e il vettore \mathbf{y}.

 

Esempio

 

Giusto per mettere in chiaro questo importante concetto, vediamo un esempio:

 

\mathbf{x}= (1, 2,3), \mathbf{y}= (1, 0, 3)\in \mathbb{R}^3

 

allora \mathbf{x}\cdot \mathbf{y}= 1\cdot 1+ 2\cdot 0+ 3\cdot 3= 1+0+9= 10.

 

Proprietà del prodotto scalare

 

Vediamo le proprietà del prodotto scalare: consideriamo due vettori dello spazio vettoriale \mathbf{x}, \mathbf{y}\in\mathbb{R}^n, e sia \lambda\in \mathbb{R} un numero reale. Valgono le seguenti proprietà:

 

1. Commutatività

 

\mathbf{x}\cdot \mathbf{y}= \mathbf{y}\cdot \mathbf{x}

 

2. Omogeneità

 

(\lambda\mathbf{x})\cdot\mathbf{y}= \lambda (\mathbf{x}\cdot \mathbf{y})

 

x\cdot(\lambda\mathbf{y})= \lambda (\mathbf{x}\cdot\mathbf{y})

 

3. Proprietà distributiva del prodotto scalare rispetto alla somma:

 

(\mathbf{x}+ \mathbf{y})\cdot \mathbf{w}= \mathbf{x}\cdot \mathbf{w}+ \mathbf{y}\cdot \mathbf{w}

 

\mathbf{x}\cdot (\mathbf{y}+ \mathbf{w})= \mathbf{x}\cdot \mathbf{y}+ \mathbf{x}\cdot \mathbf{w}

 

4. Il prodotto scalare è nullo se e solo se i due vettori sono perpendicolari:

 

\mathbf{x}\cdot \mathbf{y}= 0 \iff \mathbf{x} \perp \mathbf{y}

(ne capirete il motivo a fine lezione)

 

Queste sono le proprietà fondamentali del prodotto scalare. Torneranno utili in moltissimi casi, è bene non prenderle sotto gamba...

 

Nota bene: qualcuno di voi avrà notato che nell'elenco non compare la proprietà associativa, ed in effetti è così! Per il prodotto scalare non vale la proprietà associativa, questo perché esso è definito tra due vettori, non ha senso quindi calcolare:

 

(\color{blue}\mathbf{x}\cdot \mathbf{y}\color{black})\cdot\mathbf{w}

 

Il pezzo in blu è un numero reale, successivamente dovremmo quindi calcolare il prodotto scalare tra un numero e un vettore, e questo è impossibile perché il prodotto scalare funziona solo se ha per argomenti due vettori! Ad essere precisi, la proprietà associativa vale solo se la dimesione dello spazio è 1.

 

Dopo aver introdotto il prodotto scalare, possiamo parlare di norma. Wink

 

Norma di un vettore

 

La norma di un vettore \mathbf{x}= (x_1, x_2, \cdots, x_n)\in \mathbb{R}^n è un'applicazione che ad un vettore associa un numero reale

 

\begin{matrix}||\cdot ||: & \mathbb{R}^{n} & \to & \mathbb{R}\\ & \mathbf{x} & \mapsto &  ||\mathbf{x}||\end{matrix}

 

Con il simbolo ||\mathbf{x}|| indichiamo

 

||\mathbf{x}||= \sqrt{x_1^2+ x_2^2+\cdots + x_n^2}

 

In sostanza la norma è la radice quadrata della somma del quadrato delle componenti del vettore.

 

Esempio

 

La norma del vettore \mathbf{x}= (1, 0, 2, -1,- 1) è:

 

||\mathbf{x}||= \sqrt{1^2+0^2+ 2^2+ (-1)^2+ (-1)^2}= \sqrt{7}

 

...Facciamo un piccolo passo in avanti. Proviamo a scrivere la norma in questo modo:

 

||\mathbf{x}||= \sqrt{x_1 x_1+ x_2 x_2+\cdots+ x_n x_n}= \sqrt{\mathbf{x}\cdot \mathbf{x}}

 

Possiamo esprimere la norma in termini di prodotto scalare, in questo caso diremo che la norma è "indotta" dal prodotto scalare ed in particolare è definita come radice quadrata del prodotto scalare del vettore con sé stesso.

 

Proprietà della norma

 

Si può dimostrare abbastanza agevolmente che valgono le seguenti proprietà: per ogni \mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{w}\in\mathbb{R}^n e per ogni \lambda\in \mathbb{R} si ha che:

 

||\mathbf{x}||\ge 0 e in particolare ||\mathbf{x}||= 0 se e solo se \mathbf{x}= \mathbf{0} (la norma è definita positiva)

 

||\lambda \mathbf{x}||= |\lambda|||\mathbf{x}|| (omogeneità)

 

||\mathbf{x}+ \mathbf{y}||\le ||\mathbf{x}||+ ||\mathbf{y}|| (disuguaglianza triangolare)

 

||\mathbf{x}- \mathbf{y}||\ge \left| \ ||\mathbf{x}||- ||\mathbf{y}|| \ \right|

 

Applicazioni di norma e prodotto scalare

 

Grazie al prodotto scalare ed alla norma è possibile definire la nozione di angolo convesso formato tra due vettori. Per ogni \mathbf{x}, \mathbf{y}\in\mathbb{R}^n non nulli sussiste la relazione

 

\mathbf{x}\cdot\mathbf{y}= ||\mathbf{x}||||\mathbf{y}||\cos(\theta)\mbox{ con }\theta\in [0, \pi]

 

Da cui

 

\cos(\theta)=\frac{\mathbf{x}\cdot \mathbf{y}}{||\mathbf{x}|| ||\mathbf{y}||}

 

Esempio

 

Il nostro obiettivo è quello di determinare l'angolo tra i vettori \mathbf{x}= [2,1] e \mathbf{y}=[1,3].

 

Calcoliamo il prodotto scalare:

 

\mathbf{x}\cdot \mathbf{y}= 2\times 1 +1\times 3= 5

 

Le norme dei due vettori sono rispettivamente:

 

||\mathbf{x}||= \sqrt{2^2+1^2}= \sqrt{5}

 

||\mathbf{y}||= \sqrt{1^2+ 3^2}= \sqrt{10}

 

Sostituiamo nella equazione:

 

\cos(\theta)= \frac{\mathbf{x}\cdot \mathbf{y}}{||\mathbf{x}|| ||\mathbf{y}||}

 

così da ottenere l'equazione goniometrica elementare:

 

\cos(\theta)= \frac{5}{\sqrt{5}\sqrt{10}} e dopo aver razionalizzato a dovere:

 

\cos(\theta)= \frac{1}{\sqrt{2}}

 

Applichiamo l'arcocoseno membro a membro così da liberare \theta dal coseno:

 

\theta= \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)= \frac{\pi}{4}

 

Prodotto scalare nullo e vettori ortogonali

 

La relazione \mathbf{x}\cdot \mathbf{y}= ||\mathbf{x}|| ||\mathbf{y}||\cos(\theta) ci dice che due vettori non nulli sono perpendicolari se e solo se il loro prodotto scalare è zero.

 

Se due vettori sono perpendicolari, l'angolo compreso è \frac{\pi}{2} e il coseno in tale angolo è infatti zero! Wink

 

 


 

Con questo è tutto! Per dubbi o domande vi invitiamo a cercare le risposte che vi servono tra le migliaia di esercizi risolti e di risposte date dallo Staff, e se ancora non bastasse ad aprire una discussione nel Forum. :)

 

In bocca al lupo! 

Salvatore Zungri

 

Lezione precedente..........Lezione successiva


Tags: definizione di prodotto scalare e di norma tra due vettori - vettori ortogonali e prodotto scalare - peroprietà della norma - proprietà del prodotto scalare.