Base di uno spazio vettoriale

Uno spazio vettoriale è costituito da un numero infinito di vettori (a meno che non si tratti dello spazio vettoriale banale, costituito dal solo vettore nullo): sarebbe molto bello poter individuare tutti gli elementi che vi appartengono con una manciata di vettori. Ciò è possibile, e in questa lezione introdurremo a tal proposito la nozione di base di uno spazio vettoriale.

 

Una base non è altro che un insieme di vettori grazie ai quali possiamo:

 

- ricostruire tutti i vettori dello spazio mediante combinazioni lineari;

- costruire tutti i vettori in modo unico

 

e quindi se quel che abbiamo detto finora è vero (e lo è :)) conoscendo una base di uno spazio vettoriale conosciamo automaticamente l'intero spazio.

 

Cos'è una base di uno spazio vettoriale

 

Partiamo dalla definizione di base: dato uno spazio vettoriale V su un campo \mathbb{K}, diciamo che un insieme di vettori \{v_1,...,v_n\}\subset V è una base di V se:

 

1) \{v_1,...,v_n\} è un sistema di generatori di V;

 

2) \{v_1,...,v_n\} è un sistema di vettori linearmente indipendenti.

 

Se c'è qualcosa che ti turba nelle precedenti condizioni, ti suggeriamo vivamente di dare un'occhiata alle lezioni correlate; in ogni caso le condizioni espresse in 1) e in 2) possono essere formalmente riscritte come segue:

 

1) \forall v\in V esistono n scalari a_1,...,a_n tali che

 

v=a_1v_1+...+a_nv_n.

 

2) Presi b_1,...,b_n\in\mathbb{K}, l'unica n-upla di scalari che soddisfa l'uguaglianza

 

b_1v_1+...+b_nv_n=\underline{0}

 

è la n-upla di scalari tutti nulli.

 

 


 

 

Per farla breve una base di uno spazio vettoriale è un sistema di generatori linearmente indipendenti che generano l'intero spazio vettoriale. In un'altra lezione ci occuperemo del metodo che permette di ottenere una base da un sistema di generatori; per il momento vediamo alcuni importanti risultati, di cui omettiamo le dimostrazioni.

 

Teorema 1 (esistenza di una base): ogni spazio vettoriale ammette l'esistenza di una base.

 

 

Teorema 2 (non unicità della base): ogni spazio vettoriale V ammette infinite basi (se il campo di scalari \mathbb{K} è infinito).

 

 

Esempio

 

\mathbb{R}^2 ammette come base \{[0,1],[1,0]\}: è immediato vedere che comunque si scelgono due scalari a,b\neq 0 non nulli anche \{[a,0],[0,b]\} è una base di \mathbb{R}^2. Il punto è che quando disponiamo di una base B per V, tutte le basi che si ottengono moltiplicando i vettori di B per scalari non nulli sono ancora basi di V distinte da B.

 

Se \{v_1,...,v_{i-1},v_i,v_{i+1},...,v_n\} è una base di V, possiamo ad esempio sostituire un vettore v_i della base con una combinazione lineare di tutti i vettori della base data: \sum_{j=1}^{n}{a_jv_j} con a_i\neq 0, e ottenere come nuova base

 

\left{v_1,...,v_{i-1},\sum_{j=1}^{n}{a_jv_j},v_{i+1},...,v_n\right}.

 

Alla luce della precedente osservazione, ha senso introdurre il seguente...

 

 

Teorema (cardinalità delle basi): due basi qualsiasi B e B' di uno spazio vettoriale V hanno la stessa cardinalità, cioè lo stesso numero di elementi

 

\forall B,B'\mbox{ basi di }V\ \Rightarrow\ |B|=|B'|

 

 

...e, a maggior ragione, ha senso la seguente...

 

 

Definizione (dimensione di uno spazio vettoriale): dato uno spazio vettoriale V su un campo di scalari \mathbb{K}, definiamo la dimensione di V e indichiamo con dim(V) il numero di elementi di una qualsiasi base di V.

 

dim(V):=|B|\mbox{ con }B\mbox{ una qualsiasi base di }V.

 

 

Corollario (occhio al numero di elementi): qualsiasi sistema di generatori avente un numero di vettori superiore alla dimensione dello spazio vettoriale non può costituire una base dello spazio stesso. 

 

Esempi di basi di spazi vettoriali

 

A) Dato \mathbb{R}^n, qualunque sia n, disponiamo di una base standard detta base canonica

 

\{1,0,...,0,0\}

\{0,1,...,0,0\}

\vdots

\{0,0,...,1,0\}

\{0,0,...,0,1\}

 

La base canonica di \mathbb{R}^n è costituita esattamente da n vettori \{v_1,v_2,...,v_n\}, ciascuno dei quali ha una sola componente non nulla: il vettore v_i della base canonica avrà un 1 in posizione i-esima e tutte le altre componenti nulle. È facile vedere che i vettori di un tale sistema sono linearmente indipendenti tra loro, e che generano tutti i vettori di \mathbb{R}^n; dato infatti un qualsiasi v=[a_1,a_2,...,a_n]\in\mathbb{R}^n possiamo scriverlo come combinazione lineare dei vettori della base canonica


[a_1,a_2,...,a_n]=a_1[1,0,...,0]+a_2[0,1,...,0]+...+a_n[0,0,...,1]

 

Attenzione! Questo significa che \{v_1,v_2,...,v_n\} è un sistema di generatori di \mathbb{R}^n; il fatto che tali vettori siano linearmente indipendenti tra loro ci garantisce che la base canonica è effettivamente una base di \mathbb{R}^n.

 

Ne deduciamo in particolare che dim(\mathbb{R}^n)=n per ogni n.

 

 

B) Lo spazio vettoriale dei polinomi di grado al più M a coefficienti reali

 

\mathbb{R}_M[x]:=\{p(x)=a_Mx^M+a_{M-1}x^{M-1}+...+a_1x+a_0\}

 

ammette un equivalente della base canonica di \mathbb{R}^{M+1}, data da

 

\{x^M,x^{M-1},...,x,1\}

 

a voi la verifica delle due condizioni che compaiono nella definizione di base - occhio solo al fatto che in uno spazio vettoriale polinomiale il termine "vettore" indica un polinomio nell'indeterminata x.

 

 

C) Il sistema di vettori \{[1,0],[0,2],[6,6]\} di \mathbb{R}^2 costituisce un sistema di generatori di \mathbb{R}^2, ma non una base di \mathbb{R}^2. Per vederlo è sufficiente osservare che i vettori non costituiscono un sistema di generatori linearmente indipendenti, poiché

 

[6,6]=6[1,0]+3[0,2]

 

il terzo vettore dipende cioè linearmente dai primi due. In alternativa avremmo potuto osservare che, essendo un sistema costituito da 3 vettori, ed essendo dim(\mathbb{R}^2)=2, non può costituire una base dello spazio vettoriale.

 

 


 

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