Rango di una matrice

Il rango di una matrice esprime una proprietà fondamentale sia nello studio delle matrici sia nel contesto delle applicazioni lineari. Sapere cos'è il rango e conoscere i metodi per calcolare il rango ci permetterà di cavarcela in un sacco di situazioni...Wink

 

Rango di una matrice

 

Supponiamo di avere una matrice A\in Mat(m,n,\mathbb{R}) con m righe ed n colonne a componenti reali. Si definisce rango di A il massimo numero di vettori riga linearmente indipendenti tra loro, o equivalentemente il massimo numero di vettori colonna linearmente indipendenti. Pur coincidendo chiameremo tali numeri, rispettivamente, rango per righe e rango per colonne.

 

Cos'è quel "equivalentemente"? O ti fidi, o ti cucchi la dimostrazione: in ogni caso il rango per righe e il rango per colonne coincidono; comunque si prenda una matrice A, rettangolare o quadrata, il massimo numero di righe linearmente indipendenti coincide con il massimo numero di colonne linearmente indipendenti.

 

Come calcolare il rango di una matrice

 

Ci sono essenzialmente due metodi che ci permettono di calcolare il rango: il primo è il criterio dei minori, il secondo è la procedura di eliminazione gaussiana. Prima di vederli, però...

 

Osservazione (rango massimo)

 

Una matrice rettangolare A\in Mat(m,n,\mathbb{R}) può avere rango al massimo uguale al minimo tra il numero di righe e il numero di colonne della matrice. In breve

 

rk(A)\leq min(m,n)

 

Nel caso in cui il rango coincida con il minimo tra m ed n, cioè

 

rk(A)= min(m,n)

 

diremo che la matrice ha rango massimo.

 

 

Teorema (condizione di invertibilità sul rango)

 

Una matrice A\in Mat(m,n,\mathbb{R}) è invertibile se e solo se ha rango massimo.

 

 

Calcolo del rango con il criterio dei minori

 

Un modo per calcolare il rango di una matrice A\in Mat(m,n,\mathbb{R}) prevede di calcolare il determinante dei minori di A, dove con minore di ordine j si intende una qualsiasi sottomatrice quadrata di A di ordine j. È chiaro che se A ha m righe ed n colonne, possiamo prendere solamente minori di ordine j con

 

1\leq j\leq min(m,n)

 

In particolare se m>n (ci sono più righe che colonne) possiamo prendere come più grande minore un minore di ordine n, mentre se n>m (più colonne che righe) possiamo prendere come più grande minore un minore di ordine m.

 

Per calcolare il rango di una matrice con il criterio dei minori possiamo procedere come segue

 

1) prendiamo j_1=min(m,n), e consideriamo tutti i minori di ordine j_1 della matrice A.

 

1.a) Se c'è almeno un minore di ordine j_1 con determinante diverso da zero, allora rk(A)=j_1;

 

1.b) Se tutti i minori di ordine j_1 hanno determinante nullo, il rango della matrice è minore di j_1. Andiamo al punto 2).

 

 

2) Consideriamo j_2=j_1-1, e prendiamo tutti i minori di A di ordine j_2.

 

2.a) Se c'è almeno un minore di ordine j_2 con determinante diverso da zero, allora rk(A)=j_2.

 

2.b) Se tutti i minori di ordine j_2 hanno determinante uguale a zero, il rango di A è minore di j_2 e passiamo al punto 3).

 

 

3) Reiteriamo il procedimento diminuendo l'ordine dei minori di 1 ad ogni passo. Non appena troviamo un minore con determinante non nullo, ci fermiamo; se tutti i minori con ordine uguale all'ordine considerato hanno determinante nullo, continuiamo.

 

 

Così facendo stai pur certo che troverai il rango della matrice data, alla peggio in un numero di passi pari a j_1. In tale eventualità la matrice avrebbe rango pari a 1, a meno che non sia identicamente nulla (rango zero).

 

 

Esempio (calcolo del rango con il criterio dei minori)

 

Calcoliamo il rango della matrice

 

A=\left[\begin{matrix}1 & -1 & 2 \\ 2 & 3 & 4\\ 3 & 2 & 6\end{matrix}\right].

 

Dato che si tratta di una matrice quadrata con m=n=3 possiamo considerare come minore di ordine massimo l'unico minore di ordine j_1=3, cioè la matrice stessa.

 

Il determinante di A è pari a zero, dunque l'unico minore di ordine j_1=3 non è invertibile e quindi A ha rango minore di 3. Passiamo ai minori di ordine j_2=j_1-1=2, e prendiamo il primo

 

\left[\begin{matrix}1 & -1 \\ 2 & 3\end{matrix}\right].

 

dato che il suo determinante è diverso da zero, concludiamo che rk(A)=j_2=2. Fine! Wink

 

 

Calcolo del rango con la procedura di eliminazione gaussiana

 

Non descriviamo la procedura di eliminazione gaussiana qui ed ora (lo abbiamo già fatto nella lezione del link), e la diamo per nota. Vogiamo solo vedere come applicare la riduzione gaussiana per individuare il rango.

 

Prendiamo una matrice A\in Mat(m,n,\mathbb{R}) e riduciamola con Gauss, ottenendo alla fine della procedura una matrice ridotta a scala \tilde{A}.

 

Il rango della matrice NON ridotta A coincide con il numero di pivot della matrice ridotta \tilde{A}.

 

Per chi non lo sapesse: i pivot della matrice ridotta sono gli elementi "che formano la scala" nella matrice a scalini: fissata una riga, il pivot della riga è il primo elemento non nullo che si incontra sulla riga, leggendola da sinistra verso destra. In parole povere il numero di pivot è il numero di righe non identicamente nulle della matrice ridotta.

 

 

Esempio (calcolo del rango per eliminazione gaussiana)

 

Riprendiamo la matrice dell'esempio precedente, e riduciamola secondo Gauss. Otteniamo

 

\tilde{A}=\left[\begin{matrix}1 & -1 & 2 \\ 0 & 5 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{matrix}\right].

 

Dato che la matrice a scalini \tilde{A} ha solamente due pivot (1 e 5) concludiamo che il rango della matrice A è proprio 2.

 

 


 

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Arigatò, see you soon guys!

Agente Ω

 

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