Determinante di una matrice

Il determinante esprime un'importante caratteristica delle matrici quadrate a componenti in un campo \mathbb{K} (ad esempio matrici quadrate a coefficienti reali). In questo articolo ci occupiamo del metodo per calcolare il determinante di una qualsiasi matrice quadrata di ordine n, a coefficienti nel campo reale.

 

Introdurremo il metodo generale, che vale per una qualsiasi matrice quadrata, e due metodi specifici dei quali:

 

- uno per il calcolo del determinante di matrici di ordine 2;

- l'altro per il calcolo del determinante di matrici di ordine 3.

 

Siamo ripetitivi, lo sappiamo...però onde evitare di dire cose brutte in sede d'esame: il determinante è definito solamente per matrici quadrate!

 

Determinante di matrici 2x2

 

Se abbiamo una matrice 2x2 a coefficienti reali

 

A=\left[\begin{matrix}a & b\\ c & d\end{matrix}\right]

 

possiamo calcolarne il determinante con la formula

 

det(A)=ad-bc

 

ossia come prodotto degli elementi della diagonale meno il prodotto degli elementi dell'antidiagonale.

 

Determinante di matrici 3x3 - regola di Sarrus

 

Consideriamo una matrice 3x3

 

A=\left[\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{matrix}\right]

 

c'è una formuletta molto veloce, detta regola di Sarrus, che ci permette di calcolare il determinante di A con semplici conti:

 

det(A)=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}+

-(a_{31}a_{22}a_{13}+a_{32}a_{23}a_{11}+a_{21}a_{12}a_{33})

 

C'è un modo comodo per evitare di dover ricordare a memoria la precedente formula: basta riscrivere la matrice accostando a destra la matrice stessa, e:

 

- sommare i prodotti lungo le tre diagonali complete da sinistra verso destra: chiamiamo tale somma A.

- Sommare i prodotti lungo le tre antidiagonali complete percorse da destra verso sinistra: chiamiamo tale somma B.

- Calcolare la differenza A-B.

 

Se vuoi approfondire e vedere un esempio svolto, inclusa la rappresentazione grafica della regola, vedi qui: regola di Sarrus.

 

Determinante di matrici quadrate di ordine qualsiasi - teoremi di Laplace

 

I teoremi di Laplace permettono di calcolare il determinante di una matrice nxn, anche di matrici 2x2 o 3x3 (le precedenti formule però sono nettamente più immediate), in due modi: mediante uno sviluppo del determinante per righe o mediante lo sviluppo di Laplace per colonne.

 

Consideriamo una matrice quadrata di ordine n

 

A=\left[\begin{matrix} a_{11} & a_{12}& \dots& a_{1n} \\ a_{21} & a_{22}& \dots &a_{2n}\\ \vdots & \ddots &\ddots & \vdots\\ a_{n1}& a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{matrix}\right]

 

e denotiamo con A_{ij} la matrice che si ottiene eliminando dalla matrice A la riga i e la colonna j.

 

Sviluppo di Laplace per righe

 

det(A)=\sum_{j=1}^n{(-1)^{i+j}a_{ij}det(A_{ij})}

 

(ci si muove lungo la riga i-esima).

 

Sviluppo di Laplace per colonne

 

det(A)=\sum_{i=1}^n{(-1)^{i+j}a_{ij}det(A_{ij})}

 

(ci si muove lungo la colonna j-esima).

 

In base a cosa possiamo scegliere lo sviluppo per righe o per colonne? La regola di convenienza è semplice: cerchiamo il metodo che ci permetta di risparmiare calcoli. Si tratta quindi di scegliere la riga o la colonna della matrice contenente più zeri, perché così facendo avremo il minor numero possibile di addendi nella formula scelta tra le precedenti.

 

Risparmiare un addendo, d'altra parte, non è cosa da poco: ognuno di essi contiene a sua volta un determinante...Wink

 

Esempio

 

A=\left[\begin{matrix}1 & 0& 3 & 7 \\ 2 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 4\\ 4 & 5 & 0 & -1 \end{matrix}\right]

 

Che facciamo? Tra tutte le colonne e tutte le righe di A vediamo subito che la terza colonna contiene tre zeri, quindi decidiamo di calcolare il determinante con uno sviluppo per colonna secondo la terza colonna. Per il resto si tratta solo di applicare la corrispondente formula, prestando attenzione ai passaggi e agli errori di distrazione che sono sempre in agguato...Wink

 

Se vuoi vedere un esempio sul determinante con Laplace per una matrice 4x4 - click!

 

Proprietà del determinante

 

Vediamo ora le principali proprietà del determinante, le quali oltre a rivestire un importante ruolo teorico ci permetteranno di risparmiare un bel po' di tempo quando dovremo fare i calcoli.

 

Determinante nullo: il determinante di una matrice quadrata è uguale a zero se e solo se

 

- ha una riga (o una colonna) tutta di elementi nulli, oppure

 

- due righe (o due colonne) sono proporzionali (linearmente dipendenti), oppure

 

- una riga (o una colonna) è combinazione lineare di due o più righe (o colonne).

 

Determinante di matrici triangolari: se la matrice quadrata di cui vogliamo calcolare il determinante è una matrice triangolare (superiore o inferiore), allora ha il determinante dato dal prodotto degli elementi della diagonale principale.

 

Determinante del prodotto: se siamo di fronte a due matrici quadrate dello stesso ordine, tra le quali è quindi possibile eseguire il prodotto riga per colonna, il determinante del prodotto è uguale al prodotto dei determinanti, ovvero

 

det(AB)=det(A) \cdot det(B)

 

Tale proprietà è in realtà un vero e proprio teorema conosciuto con il nome di teorema di Binet.

 

Determinante dell'inversa: data una matrice invertibile, il determinante della matrice inversa è il reciproco del determinante della matrice di partenza; in formule

 

det(A^{-1})=\frac{1}{det(A)}

 

Determinante della trasposta: una matrice quadrata e la sua matrice trasposta hanno lo stesso determinante

 

det(A^T)=det(A)

 

Determinante del prodotto per uno scalare: il determinante del prodotto di una matrice per uno scalare è dato dal prodotto tra lo scalare elevato all'ordine della matrice ed il determinante della matrice; dunque se A è una matrice quadrata di ordine n e λ è lo scalare abbiamo che

 

det(\lambda A)=\lambda^n \cdot det(A)

 

Determinante di matrici simili: se abbiamo due matrici simili, esse hanno lo stesso determinante.

 

 

Come approfondimento finale, vi rimandiamo alla lettura della seguente discussione: significato geometrico del determinante.

 

 


 

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Farvel, see you soon guys!

Agente Ω

 

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