Teorema di Rouché Capelli

Il teorema di Rouché-Capelli fornisce uno strumento molto potente nello studio della risolubilità (o compatibilità) di un sistema lineare, e in particolare sulla cardinalità dell'insieme delle soluzioni di un sistema lineare.

 

In questo articolo daremo l'enunciato del teorema di Rouché Capelli, e ne forniremo una dimostrazione e mostreremo come applicarlo nella risoluzione di un tipo di esercizi che sono un vero e proprio tormentone degli esami scritti di Algebra Lineare: lo studio delle soluzioni di sistemi lineari con uno o più parametri.

 

Enunciato e dimostrazione del teorema di Rouché Capelli

 

Consideriamo un sistema lineare di m equazioni in n incognite. Rouché Capelli ci permetterà di capire se il sistema è compatibile, cioè se ammette una o infinite soluzioni, o impossibile, e potremo farlo senza risolvere il sistema stesso. Ci basteranno un paio di considerazioni sulla matrice associata al sistema e sul vettore dei termini noti.

 

Consideriamo il sistema lineare, supponendo di lavorare con coefficienti in un campo infinito \mathbb{K} (ad esempio \mathbb{K}=\mathbb{R})

 

(*)\ \begin{cases}a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n=b_2 \\ \vdots \\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+...+a_{mn}x_n=b_m\end{cases}

 

e definiamo la matrice incompleta associata al sistema lineare A\underline{x}=\underline{b} come la matrice dei coefficienti A

 

A=\left[\begin{matrix}a_{11}& \dots & \ a_{1n}\\ a_{21} & \dots & a_{2n}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \dots \dots & a_{mn}\end{matrix}\right]

 

mentre chiamiamo matrice completa del sistema lineare la matrice ottenuta accostando alla matrice incompleta A il vettore dei termini noti \underline{b}

 

A|\underline{b}=\left[\begin{matrix}a_{11}& \dots & \ a_{1n} & b_1\\ a_{21} & \dots & a_{2n} & b_2\\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & \dots & \dots a_{mn} & b_m\end{matrix}\right]

 

Il teorema di Rouché-Capelli stabilisce che

 

1) se rk(A|\underline{b})>rk(A), cioè se il rango della matrice completa è maggiore del rango della matrice incompleta, allora il sistema lineare è impossibile e non ammette soluzioni.

 

2) Se rk(A|\underline{b})=rk(A), cioè se il rango della matrice completa coincide con il rango della matrice incompleta, allora il sistema è compatibile (ammette cioè una o infinite soluzioni). In particolare, ricordando che n è il numero di incognite, risulta che:

 

2.A) se rk(A|\underline{b})=rk(A)=n, allora abbiamo una ed una sola soluzione;

2.B) se rk(A|\underline{b})=rk(A)<n, allora abbiamo infinite soluzioni, e il sottospazio delle soluzioni di A\underline{x}=\underline{b} è un sottospazio affine di dimensione n-rk(A). Ammette in altri termini \infty^{n-rk(A)} soluzioni.

 

Dimostrazione: dimostreremo il teorema di Rouché Capelli nel caso di sistemi lineari a coefficienti reali - nel caso di sistemi a coefficienti in un generico campo infinito \mathbb{K} la dimostrazione sarà del tutto analoga.

 

Consideriamo la matrice incompleta A e l'applicazione lineare L_A definita dalla matrice A

 

L_A:\mathbb{K}^n\to \mathbb{K}^m\ ;\ L_a(\underline{x}):=A\underline{x}

 

(cos'è questa roba? Dai un'occhiata alla lezione sulle applicazioni lineari definite da matrici Wink ) e interpretiamo il sistema lineare A\underline{x}=\underline{b} nell'ottica degli omomorfismi

 

L_A(\underline{x})=\underline{b}

 

È evidente che (*) ammette una o infinite soluzioni, cioè che è compatibile, se e solo se \underline{b} appartiene all'immagine Im(L_A) di L_A, cioè se esiste almeno un vettore \underline{x}\in\mathbb{R}^n tale che L_A(\underline{x})=\underline{b}.

 

Sappiamo che l'immagine di un'applicazione lineare definita da una matrice è il sottospazio vettoriale del codominio generato dalle colonne della matrice rappresentativa L_A. Di conseguenza

 

\underline{b}\in Im(L_A)\mbox{ se e solo se }\underline{b}\in <\mbox{colonne di }A>.

 

D'altra parte se \underline{b} appartiene allo spazio generato dalle colonne di A allora risulta che coincidono i sottospazi generato dalle colonne di A e quello generato dalle colonne di A e dal vettore \underline{b}:

 

<\mbox{colonne di }A>=<\mbox{colonne di }A,\underline{b}>

 

e quindi \underline{b} appartiene all'immagine di L_A se e solo se A e A|\underline{b} hanno lo stesso rango. Abbiamo così provato che il sistema lineare è compatibile se e solo se rk(A)=rk(A|b).

 

Proseguiamo: per un noto teorema sullo spazio delle soluzioni di un sistema lineare sappiamo che se x_1 è una soluzione di A\underline{x}=\underline{b} allora tutte e sole le soluzioni di A\underline{x}=\underline{b} si scrivono nella forma x_1+x_0, dove \underline{x}_0 è una soluzione qualsiasi del sistema lineare omogeneo associato, cioè A\underline{x}=\underline{0}. Consideriamo

 

A(x_1+x_0)=Ax_1+Ax_0=\underline{b}+\underline{0}=\underline{b}

 

Da qui ricaviamo che il sottospazio delle soluzioni di A\underline{x}=\underline{b} si può scrivere come sottospazio affine

 

Sol(A|\underline{b})=x_1+Sol(A|\underline{0})

 

per cui le dimensioni dei due sottospazi Sol(A|\underline{b}),Sol(A|\underline{0}) coincidono, e il sottospazio delle soluzioni di A\underline{x}=\underline{b} ha la stessa dimensione del sottospazio delle soluzioni di A\underline{x}=\underline{0}. D'altronde il sistema lineare omogeneo ha lo spazio delle soluzioni che coincide con il nucleo Ker(L_A) di L_A. Dal teorema della nullità più rango

 

dim(\mathbb{R}^n)=dim(Ker(L_A))+dim(Im(L_A))

 

quindi

 

dim(Ker(L_A))=n-dim(Im(L_A))

 

cioè

 

dim(\mbox{spazio delle soluzioni di }A\underline{x}=\underline{0})=n-rk(A)

 

e dato che

 

dim(\mbox{sp. delle soluzioni di }A\underline{x}=\underline{0})=dim(\mbox{sp. delle soluzioni di }A\underline{x}=\underline{b})

 

ricaviamo la tesi

 

dim(\mbox{spazio delle soluzioni di }A\underline{x}=\underline{b})=n-rk(A).

 

Rouché Capelli per lo studio di sistemi lineari con parametro

 

Come abbiamo anticipato inizialmente, capita spesso negli esami di Algebra Lineare di dover studiare la risolubilità di sistemi lineari parametrici, cioè di sistemi dipendenti da uno o più parametri. Bene: questo tipo di esercizi costituiscono una formulazione alternativa, e simpatica, della seguente domanda: "Hai studiato il teorema di Rouché Capelli? Se sì, sai applicarlo?"...Laughing

 

Vediamo come procedere e facciamo riferimento ad un esempio pratico. Probabilmente vi starete domandando per quale motivo non vi proponiamo l'applicazione di Rouché Capelli ad un sistema lineare nudo e crudo. La risposta è molto semplice: perché non ci sarebbe nulla di interessante!

 

Rouché Capelli fornisce una scaletta molto precisa, e per studiare la compatibilità di uno specifico sistema non parametrico basterebbe scrivere le due matrici A, A|\underline{b}, calcolarne i ranghi e confrontarli. Tutto si riduce a saper calcolare il rango di una matrice, e in questa lezione diamo per buono che sappiate come farlo.

 

Esempio (sistema lineare con parametro)

 

Si studi la risolubilità del sistema lineare parametrico

 

\begin{cases}3x+2by+z=1\\ bx+y+2z=0\\ -2x+2y+4z=4\end{cases}\ \mbox{ con }b\in\mathbb{R}\mbox{ parametro reale}

 

Scriviamo la matrice completa e quella incompleta

 

A=\left[\begin{matrix}3& 2b & 1\\ b & 1 & 2\\ -2 & 2 & 4\end{/matrix}\right]\ ; A|b=\left[\begin{matrix}3& 2b & 1 & 1\\ b & 1 & 2 & 0\\ -2 & 2 & 4 & 4\end{/matrix}\right]

 

prima di fare qualsiasi cosa basiamoci sempre sulla seguente osservazione. Poiché A è una sottomatrice di A|\underline{b}, avremo sempre rk(A|\underline{b})\geq rk(A). In soldoni il rango della matrice completa è sempre maggiore-uguale di quello della matrice incompleta. Se poi il rango di A è massimo, cioè uguale al minimo tra il numero di equazioni e il numero di incognite, allora i due ranghi necessariamente coincidono.

 

Benone! Cominciamo allora con lo studio di rk(A) e calcoliamone il determinante con la regola di Sarrus

 

det(A)=-8b^2-6b+2

 

Se il determinante di A è diverso da zero allora rk(A) è massimo ed è uguale a 3, dunque in tal caso abbiamo necessariamente rk(A)=rk(A|\underline{b})=3 e il sistema è compatibile e ammette una ed una sola soluzione. Da notare che stiamo ragionando per esclusione! 

 

Risolviamo det(A)\neq 0, da cui ricaviamo b\neq \frac{1}{4},\ b\neq -1. Abbiamo così scoperto che A\underline{x}=\underline{b} ammette una ed una sola soluzione per qualsiasi scelta del parametro b, purché b\neq \frac{1}{4},\ b\neq -1.

 

Meraviglie delle meraviglie: ragionando nel precedente modo abbiamo escluso infiniti casi per la scelta del parametro b, e ce ne rimangono solamente due: b= \frac{1}{4},\ b= -1. Possiamo allora considerare i due sistemi lineari corrispondenti

 

\begin{cases}3x+\frac{1}{2}y+z=1\\ \frac{1}{4}x+y+2z=0\\ -2x+2y+4z=4\end{cases}\ ;\ \begin{cases}3x-2y+z=1\\ -x+y+2z=0\\ -2x+2y+4z=4\end{cases}

 

e applicare bovinamente in entrambi i casi il teorema di Rouché Capelli. In alternativa potremo procedere nella risoluzione diretta: a voi la scelta, ve lo lasciamo per esercizio. Provate in entrambi i modi così, è una buona occasione per fare un po' di pratica...Wink

 

 


 

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Bùcsù, see you soon guys!

Agente Ω

 

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