Sottospazio vettoriale

L'articolo che stai per leggere, più che una lezione, è una guida per la risoluzione degli esercizi in cui ti viene chiesto di dire se un insieme è un sottospazio vettoriale opure no. Naturalmente daremo la definizione di sottospazio vettoriale, e mostreremo numerosi esempi sia sui sottospazi che sul metodo di verifica...dunque diciamo che l'articolo è sia una lezione che una guida.

 

Il primo passo consisterà nel fornire una definizione digeribile di sottospazio vettoriale; nel seguito mostreremo due metodi che ci permetteranno di capire se un insieme di uno spazio vettoriale è un sottospazio vettoriale, e che copriranno il 98% della casistica degli esercizi. Il restante 2% dipenderà dalla fantasia e dalla creatività dei vostri professori, ma niente paura! Dopo aver compreso la logica che regola la nozione di sottospazio vettoriale, potrete affrontare qualsiasi richiesta...anche quelle più astruse.

 

Definizione di sottospazio vettoriale

 

Sia V uno spazio vettoriale su un campo \mathbb{K} (possiamo considerare \mathbb{R}^n per fissare le idee). Diciamo che un sottoinsieme S\subseteq V è un sottospazio vettoriale se S, dotato delle operazioni di somma tra vettori e prodotto di un vettore per uno scalare, soddisfa le proprietà di spazio vettoriale (1) ed è chiuso per linearità (2), cioè se

 

(2.1) lo zero di V appartiene ad S: \underline{0}\in S;

 

(2.2) S è chiuso rispetto alla somma di vettori: dati s_1,s_2\in S risulta che (s_1+s_2)\in S;

 

(2.3) S è chiuso rispetto al prodotto per scalari del campo \mathbb{K} : dato s\in S e dato k\in\mathbb{K} risulta che ks\in S.

 

Se negli esercizi disporremo di un sottoinsieme di uno spazio vettoriale, le proprietà di spazio vettoriale saranno automaticamente verificate. Nella pratica dovremo verificare solamente le proprietà (2.1), (2.2) e (2.3), che volendo possiamo riassumere in un'unica condizione: la condizione di chiusura per linearità

 

(2.1)+(2.2)+(2.3) = (2) S è chiuso per linearità se comunque presi due scalari \alpha,\beta\in\mathbb{K} e comunque scelti due vettori s_1,s_2\in S risulta che

 

\alpha s_1 + \beta s_2\in S

 

Come potete vedere la chiusura per linearità, detta anche chiusura per combinazioni lineari, è un'ottima sintesi! :)

 

 


 

 

Nella risoluzione degli esercizi di verifica per gli spazi vettoriali, però, converrà tenere le tre condizioni (2.1), (2.2) e (2.3) separate: in questo modo sarà estremamente semplice capire se non sussiste anche solo una delle tre condizioni, e in tale eventualità potremmo concludere sin da subito che il sottoinsieme non è un sottospazio vettoriale.

 

Come stabilire se un insieme è un sottospazio vettoriale

 

Cerchiamo di generalizzare l'ingeneralizzabile: ci sono sostanzialmente due tipi di esercizi in cui ci si può chiedere di verificare se un insieme è un sottospazio vettoriale:

 

A) insiemi definiti da equazioni;

B) insiemi definiti per caratteristica.

 

Nel caso A) vedremo come si possono controllare le proprietà (2.1), (2.2) e (2.3) mediante un semplicissimo criterio, che ci porterà a risolvere l'esercizio in mezzo secondo. In B) invece vedremo di fare pratica con la verifica diretta delle tre condizioni.

 

 

A) Partiamo con un esempio. Supponiamo di avere il sottoinsieme di \mathbb{R}^3 definito da

 

S_{1}:=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mbox{ t.c. }x+3y+5z=0\ ;\ 2x+4z=0\}

 

e controlliamo se S_1 è un sottospazio vettoriale verificando una ad una le suddette proprietà. Intanto osserviamo che (0,0,0) è soluzione di entrambe le equazioni, quindi \underline{0}\in S_1.

 

Passiamo alla seconda proprietà. Consideriamo due vettori di S_1, dunque due vettori (x_1,y_1,z_1) e (x_2,y_2,z_2) tali da risolvere entrambe le equazioni. Vediamo se il vettore (x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2) appartiene a S_1, cioè se verifica le due equazioni. Per la prima

 

(x_1+x_2)+3(y_1+y_2)+5(z_1+z_2)=(x_1+3y_1+5z_1)+(x_2+3y_2+5z_2)=0+0=0

 

dove i due addendi del secondo passaggio si annullano poiché (x_1,y_1,z_1) e (x_2,y_2,z_2) appartengono a S_1. Si procede in modo analogo per la seconda equazione.

 

Infine per quel che riguarda (2.3) prendiamo (x_1,y_1,z_1)\in S_1 e uno scalare \alpha\in\mathbb{K}. Vogliamo vedere se \alpha(x_1,y_1,z_1)=(\alpha x_1, \alpha y_1, \alpha z_1)\in S_1:

 

\alpha x_1 + 3 \alpha y_1 + 5\alpha z_1=\alpha (x_1+3y_1+5z_1)=\alpha 0 = 0

 

Anche in questo caso il secondo fattore del secondo passaggio è nullo poiché per ipotesi (x_1,y_1,z_1)\in S_1. Per la seconda equazione si procede in modo del tutto analogo. Ne deduciamo che S_1 è chiuso rispetto al prodotto per uno scalare.

 

In definitiva S1 è un sottospazio vettoriale di R3.

 

Se invece prendiamo il sottoisieme S_2 definito da

 

S_2:=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mbox{ t.c. }x+3y+5z=1\ ;\ 2x+4z=0\}

 

vediamo subito che non si tratta di un sottospazio vettoriale, perché non è verificata la proprietà (2.1). Se infatti proviamo a sostituire (x,y,z)=(0,0,0) nella prima delle due equazioni otteniamo 0= 1, che non è evidentemente verificata.

 

Dunque S2 non è un sottospazio vettoriale di R3. Vediamo di sintetizzare le osservazioni proposte in un metodo rapido ed efficace...

 

Come capire se un insieme definito da equazioni è un sottospazio vettoriale

 

Se vogliamo capire al volo se un sottoinsieme definito mediante equazioni è un sottospazio vettoriale possiamo basarci su una considerazione molto semplice.

 

S:=\{v\in V\mbox{ t.c. equazione 1, equazione 2, ..., equazione n}\}

 

è un sottospazio vettoriale di V se e solo se le equazioni che lo definiscono sono lineari e omogenee. Con "lineare" intendiamo il fatto che nell'equazione compaiono solo operazioni lineari, cioè polinomi di più variabili di grado 1 e privi di termini di grado zero; con "omogenee" ci riferiamo al fatto che il termine noto (membro di destra) deve essere nullo. Un'equazione lineare omogenea è dunque della forma

 

a_1x_1+a_2x_2+...+a_nx_n=0

 

dove a_1,...,a_n sono scalari del campo \mathbb{K} mentre x_1,...,x_n sono incognite.

 

Il precedente criterio ci permette di concludere immediatamente che

 

S_3:=\{(x_1,x_2,x_3,x_4)\in\mathbb{R}^4\mbox{ t.c. }x_1x_2+x_4=0\ ;\ x_3+x_4=0\}

S_4:=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mbox{ t.c. }x^2+y=0\}

S_5:=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mbox{ t.c. }x+2y-z=0\ ;\ y+z=0\ ;\ z=1\}

 

non sono sottospazi dei rispettivi spazi vettoriali.

 

 

Come capire se un insieme definito per caratteristica è un sottospazio vettoriale

 

B) Passiamo agli insiemi definiti per caratteristica, cioè quelli della forma

 

S:=\{v\in V\mbox{ t.c. condizione}_1\mbox{, condizione}_2\mbox{, ..., condizione}_n\}

 

in un caso del genere non possiamo fare altro che verificare manualmente se S soddisfa le proprietà (2.1), (2.2) e (2.3) della definizione di sottospazio vettoriale. Dovremo e potremo fare esclusivo riferimento alla definizione, e nient'altro.

 

Prendiamo ad esempio

 

S_6:=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mbox{ t.c. }x\geq 0\ ;\ y\geq 0\}

 

tale insieme non è un sottospazio vettoriale di \mathbb{R}^2. È facile verificare che la somma di due vettori a componenti positive o nulle è ancora un vettore a componenti positive o nulle, infatti dati (x_1,y_1) e (x_2,y_2) in S_6 abbiamo per ipotesi x_1,x_2,y_1,y_2>0, quindi x_1+x_2>0 e y_1+y_2>0, e quindi (x_1+x_2,y_1+y_2)\in S_6.

 

Evidendemente risulta anche che (0,0)\in S_6.

 

Per quanto riguarda la chiusura rispetto alla moltiplicazione tra un vettore e uno scalare prendiamo \alpha \in\mathbb{R} e (x_1,y_1)\in S_6. È evidente che in generale

 

\alpha (x_1,y_1)\notin S_6

 

e per vederlo basta prendere \alpha <0.

 

In modo analogo capiamo subito che

 

S_7:=\{\mbox{unione degli assi di \mathbb{R}^2}\}

 

non è un sottospazio vettoriale di \mathbb{R}^2: contiene lo zero di \mathbb{R}^2 ed è chiuso rispetto al prodotto vettore-scalare, ma non è chiuso rispetto alla somma di vettori! Per vederlo basta considerare (x_1,y_1),\ (x_2,y_2)\in S_7 in modo tale che il primo sia un vettore dell'asse delle x - cioè y_1=0 - e l'altro sia un vettore dell'asse delle y - ossia x_2=0. Ricaviamo

 

(x_1,0)+(0,y_2)=(x_1,y_2)\notin S_7.

 

 


 

 

L'ultimo esempio considerato ci permette di concludere, tra le altre cose, che l'unione di due sottospazi vettoriali non è un sottospazio vettoriale. Se n'è parlato nel dettaglio qui: unione di sottospazi vettoriali.

 

Vale invece un semplicissimo lemma, con il quale vi salutiamo e che potete dimostrare per esercizio:

 

l'intersezione di due sottospazi vettoriali è sempre un sottospazio vettoriale

 

 


 

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Sayonara, see you soon guys!

Agente Ω

 

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