Somma e intersezione di sottospazi vettoriali

Capita molto spesso di dover risolvere esercizi di Algebra Lineare in cui si chiede di determinare la dimensione e una base della somma e dell'intersezione di due sottospazi vettoriali assegnati. Come sempre il procedimento da seguire nella risoluzione pratica degli esercizi dipende da come sono descritti gli spazi coinvolti, e anche se la logica rimane la stessa cercheremo nel seguito di descrivere i vari metodi di risoluzione a seconda dei dati.

 

Partiamo dalle definizioni, così almeno sappiamo con cosa abbiamo a che fare.

 

Definizione di somma e intersezione di sottospazi vettoriali

 

Consideriamo uno spazio vettoriale V su un campo \mathbb{K} e prendiamo due sottospazi S,T\subseteq V. Definiamo l'insieme somma dei due sottospazi vettoriali, e lo indichiamo con S+T, come

 

S+T:=\{v\in V\mbox{ t.c. } v=s+t\mbox{ dove }s\in S,\ t\in T\}

 

Non è difficile vedere che la somma di sottospazi S,T\subseteq V è a sua volta un sottospazio vettoriale di V: basta provare le proprietà di sottospazio vettoriale (provate a proporre una dimostrazione per esercizio Wink).

 

Definiamo poi l'intersezione dei due sottospazi vettoriali, e la chiamiamo S\cap T, come l'intersezione tra i due insiemi

 

S\cap T:=\{v\in V\mbox{ t.c. }v\in S,\ v\in T\}

 

Anche in questo caso si dimostra con estrema facilità che l'intersezione di due sottospazi vettoriali è a sua volta un sottospazio vettoriale.

 

Dimensione e base di somma e intersezione di sottospazi vettoriali

 

Passiamo alla parte che interessa a chi ha difficoltà nella pratica, e vediamo come trovare la dimensione e una base per la somma di due sottospazi vettoriali e per la loro intersezione. Nel 99,9% degli esercizi i due sottospazi S,T\subseteq V possono essere definiti:

 

1) mediante equazioni cartesiane;

2) mediante sistemi di generatori.

 

Dimensione e base della somma dei due sottospazi

 

Il nostro scopo è fornire un metodo per determinare la dimensione e una base dello spazio somma nel modo più veloce e semplice possibile. :) Distinguiamo tre possibili casi.

 

 

 

A) Se entrambi i sottospazi vettoriali S,T sono definiti mediante sistemi di generatori - siano essi \{s_1,...,s_m\} e \{t_1,...,t_n\}, dovremo estrarre una base dai sistemi di generatori di ciascuno dei due sottospazi. Procediamo come indicato nella lezione del link, e individuiamo due opportuni sottoinsiemi dei sistemi di generatori

 

B_S=\{s_1,...,s_M\}\ ;\ B_{T}=\{t_1,...,t_N\}

 

con M\leq m e N\leq n. B_S e B_T saranno le due basi con cui lavoreremo.

 

A questo punto per determinare una base per la somma dei due sottospazi consideriamo l'unione delle due basi, vale a dire B_S\cup B_T:

 

B_S\cup B_T=\{s_1,...,s_M,t_1,...,t_N\}

 

Tale insieme di vettori è un sistema di generatori per la somma dei due sottospazi. Estraiamone una base (proprio come indicato nella lezione del precedente link) e chiamiamola B_{S+T}. Il numero di elementi di B_{S+T} sarà naturalmente la dimensione dello spazio somma.

 

 

 

B) Se i due sottospazi vettoriali S,T sono entrambi definiti mediante equazioni cartesiane, il modo migliore (ahinoi) di procedere consiste nel determinare una base per ciascuno dei due sottospazi, e poi procedere come descritto in A). Per le basi è sufficiente sapere come ricavare una base dalle equazioni cartesiane di un sottospazio.

 

 

 

C) Uno dei due sottospazi è dato mediante un sistema di generatori (supponiamo S), e l'altro mediante equazioni cartesiane (supponiamo T). In tal caso conviene ricavare una base B_T dal sistema lineare omogeneo che definisce T, e considerare l'unione di tale base con il sistema di generatori di S.

 

Avremo così un sistema di vettori che genera lo spazio somma S+T: non dovremo fare altro che estrarre una base da tale sistema di generatori.

 

A questo punto disponiamo di una base B_{S+T} e della dimensione n_{S+T} della somma dei due sottospazi.

 

Dimensione e base dell'intersezione dei due sottospazi

 

Seguiamo il filo logico introdotto in precedenza e distinguiamo anche qui tre possibili metodi di risoluzione, a seconda di come sono definiti i sottospazi vettoriali S,T.

 

 

A) S,T sono definiti mediante sistemi di generatori: dato che a questo punto del procedimento conosciamo le basi B_S,B_T,B_{S+T} possiamo ragionare furbescamente...Consideriamo le due basi B_S,B_T

 

B_{S}=\{s_1,...,s_M\}\ ;\ B_{T}=\{t_1,...,t_N\}

 

e consideriamo M generiche incognite x_1,...,x_M ed N generiche incognite y_1,...,y_N. Cercare gli elementi nell'intersezione significa cercare i vettori che appartengono ad entrambi i sottospazi: possiamo dunque considerare un generico vettore di S

 

x_1s_1+...+x_Ms_M

 

e un vettore qualsiasi di T

 

y_1t_1+...+y_Nt_N

 

e uguagliarli

 

x_1s_1+...+x_Ms_M=y_1t_1+...+y_Nt_N

 

Anche se potrebbe sembrare il contrario ci troviamo di fronte ad un sistema lineare omogeneo. Per capirlolo è sufficiente riscriverlo nella forma

 

x_1s_1+...+x_Ms_M-y_1t_1-...-y_Nt_N=\underline{0}

 

Dato che le incognite x_1,...,x_M,y_1,...,y_N sono per l'appunto delle incognite, possiamo passare a considerarne delle nuove ponendo z_1=-y_1,...,z_N=-y_N. Così facendo ci siamo liberati di quei segni meno, che erano abbastanza fastidiosi...Wink

 

x_1s_1+...+x_Ms_M+z_1t_1+...+z_Nt_N=\underline{0}\ (**)

 

Riscriviamo l'equazione in forma matriciale

 

A\underline{x}=\underline{0}\ (*)

 

dove A è la matrice avente come colonne le coordinate dei vettori s_1,...,s_M,t_1,...,t_N, mentre \underline{x} è il vettore colonna dato da \underline{x}=[x_1,...,x_M,z_1,...,z_N]^T.

 

Avendo posto la questione in tali termini ci basterà individuare l'insieme delle soluzioni di (*), che sono i coefficienti della combinazione lineare (**) suscritta. Potremo avere una soluzione o infinite (almeno una soluzione c'è sempre, quella nulla, dato che si tratta di un sistema lineare omogeneo), in ogni caso quali che siano saranno della forma

 

[x_1,...,x_M,z_1,...,z_M]

 

Per trovare una base dell'intersezione dei due sottospazi ci basta considerare i primi M termini delle soluzioni di (*)

 

[x_1,...,x_M]

 

e sostituirli nella generica combinazione lineare dei vettori di B_S

 

x_1s_1+...+x_Ms_M

 

In questo modo avremo di fronte tutti i vettori dell'intersezione di S\cap T: ci basterà estrarre una base di tale sottospazio!

 

 

 

B) Se S,T sono sottospazi vettoriali descritti da equazioni cartesiane, trovare una base dell'intersezione S\cap T sarà semplicissimo: ci basterà considerare il sistema lineare costruito con le equazioni di S, cui aggiungiamo le equazioni di T. Fatto ciò dovremo solamente trovare una base per lo spazio delle soluzioni del sistema lineare omogeneo appena scritto.

 

 

 

C) Se S è definito mediante un sistema di generatori e T da equazioni cartesiane, possiamo "apparecchiare la tavola" in modo da poter applicare il procedimento descritto in B). A tal fine ci servono le equazioni cartesiane del sottospazio S e dobbiamo dedurle dal sistema di generatori: ricaviamole, e seguiamo il procedimento indicato in B).

 

Formula di Grassmann per le dimensioni di somma e intersezione di due sottospazi

 

Per concludere in bellezza introduciamo una formula che si rivelerà estremamente utile per verificare la correttezza dei riultati ottenuti, e che ci permetterà di evitare a pié pari la ricerca della dimensione e di una base per l'intersezione in uno specifico caso. Parliamo della formula di Grassmann.

 

La formula di Grassmann stabilisce che esiste una specifica relazione tra le dimensioni del sottospazio somma e dell'intersezione

 

dim(S+T)=dim(S)+dim(T)-dim(S\cap T)

 

Nel caso particolare in cui, dopo aver determinato la dimensione dello spazio somma S+T, avessimo

 

dim(S+T)=dim(S)+dim(T)

 

potremmo concludere subito che

 

dim(S\cap T)=0

 

e in tal caso non dovremmo sforzarci di cercare una base dell'intersezione S\cap T, perché l'unico spazio vettoriale avente dimensione nulla è lo spazio banale

 

S\cap T=\{\underline{0}\}

 

Nell'eventualità in cui due sottospazi siano ad intersezione banale, chiameremo la loro somma S+T somma diretta dei due sottospazi.

 


 

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