Spazio vettoriale

La nozione di spazio vettoriale è probabilmente il primo argomento che si affronta nello studio dell'Algebra Lineare (fatta eccezione per le definizioni e gli argomenti propedeutici). Tenete conto del fatto che l'Algebra Lineare si occupa proprio dello studio degli spazi vettoriali e delle funzioni definite tra spazi vettoriali, con particolare riguardo ad una specifica classe di funzioni: le applicazioni lineari, o omomorfismi.

 

Definizione di spazio vettoriale

 

Per fornire una definizione rigorosa di spazio vettoriale ci servono tre ingredienti: un campo, o campo di scalari, che indicheremo con \mathbb{K}; un insieme V, che chiameremo spazio di vettori; due operazioni binarie, + e \cdot, che chiameremo rispettivamente somma di vettori e prodotto di un vettore per uno scalare. Diamo il via alle danze!

 

 

Diciamo che (V,+,\cdot) è uno spazio vettoriale sul campo \mathbb{K} se l'insieme V munito delle operazioni + di somma tra vettori e \cdot di prodotto di un vettore per uno scalare è una struttura algebrica che soddisfa le seguenti proprietà: per ogni v,w,v_1,v_2,v_3\in V e per ogni \alpha,\beta\in\mathbb{K} risulta che

 

1) La struttura (V,+) è un gruppo commutativo, ossia un insieme V dotato di un'operazione binaria +:V\times V\to V tale che

 

1.a) l'operazione binaria + è associativa: (v_1+v_2)+v_3=v_1+(v_2+v_3).

 

1.b) Esiste in V l'elemento neutro rispetto a +, cioè un elemento \underline{0}_V\in V tale che v+\underline{0}_V=v e \underline{0}_V+v=v.

 

1.c) Ogni elemento v\in V ammette inverso rispetto a + in V, cioè: dato \underline{0}_V\neq v\in V, esiste w\in V tale che v+w=\underline{0}_V e w+v=\underline{0}_V. Indichiamo tale elemento con -v.

 

1.d) L'operazione di somma tra vettori è commutativa: v+w=w+v.

 

2) L'operazione binaria \cdot è un prodotto esterno su V con \mathbb{K}, cioè un'operazione \cdot :\mathbb{K}\times V\to V che soddisfa le proprietà seguenti

 

2.a) \cdot è associativo, vale a dire \alpha\cdot (\beta\cdot v)=(\alpha \beta)\cdot v

 

2.b) L'elemento neutro 1\in\mathbb{K} rispetto al prodotto definito in \mathbb{K} è l'elemento neutro rispetto all'operazione di prodotto di un vettore per uno scalare: 1\cdot v=v.

 

2.c) Il prodotto di un vettore per uno scalare è distributivo rispetto alla somma di vettori +: \alpha\cdot (v+w)=\alpha \cdot v+\alpha \cdot w.

 

2.d) Il prodotto esterno \cdot è distributivo rispetto alla somma di elementi di \mathbb{K} (che indichiamo con abuso di notazione come +:\mathbb{K}\times\mathbb{K}\to \mathbb{K}): (\alpha+\beta)\cdot v=\alpha\cdot v+\beta\cdot v.

 

 

Quante proprietà!...Tongue All'inizio la precedente definizione potrebbe sembrare insostenibile, però con un paio di esempi e continuando la lettura delle lezioni apparirà molto semplice. D'altra parte con un po' di allenamento si è subito in grado di riconoscere ad occhio le precedenti proprietà, che sono sì numerose, ma anche molto basilari.

 

Esempi di spazi vettoriali

 

A) Hai già dato un'occhiata alle lezioni propedeutiche sui vettori e sulle operazioni tra vettori? L'esempio canonico che si suole considerare è dato da \mathbb{R}^n, notazione con cui si indicano i vettori di n componenti reali:

 

\mathbb{R}^n:=\{[x_1,x_2,...,x_n]\mbox{ t.c. }x_i\in\mathbb{R}\mbox{ }\forall i\}

 

Tale insieme, dotato delle operazioni di somma di vettori

 

[x_1,...,x_n]+[y_1,...,y_n]=[x_1+y_1,...,x_n+y_n]

 

e di prodotto di vettori per uno scalare (dove si considera come campo \mathbb{K} di scalari il campo dei numeri reali \mathbb{R})

 

\alpha\cdot [x_1,...,x_n]=[\alpha x_1,...,\alpha x_n]

 

è uno spazio vettoriale sul campo dei numeri reali \mathbb{R}. Dimostrarlo è semplicissimo: provate a mettervi di buona pazienza e a verificare che le proprietà 1), 2) e tutti i relativi sottopunti sono verificati. :)

 

Allo stesso modo \mathbb{C}^n, con le operazioni di somma e prodotto per uno scalare analoghe a quelle definite nel caso di \mathbb{R}^n è uno spazio vettoriale sul campo complesso \mathbb{C}.

 

 

B) Un altro esempio standard è dato dallo spazio vettoriale dei polinomi di grado al più n a coefficienti reali, che indichiamo con \mathbb{R}_n[x]

 

\mathbb{R}_n[x]:=\{a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0\mbox{ t.c. }a_i\in\mathbb{R}\ \forall i=1,...,n\}

 

In particolare \mathbb{R}_n[x] è uno spazio vettoriale sul campo \mathbb{R} se lo dotiamo delle operazioni di somma tra vettori

 

p(x)+q(x)=(a_nx^n+...+a_1x+a_0)+(b_nx^n+...+b_1x+b_0)=(a_n+b_n)x^n+...+(a_1+b_1)x+(a_0+b_0)

 

e di prodotto di un vettore per uno scalare di \mathbb{R}

 

\alpha p(x)=\alpha (a_nx^n+...+a_1x+a_0)=(\alpha a_n)x^n+...+(\alpha a_1)x+(\alpha a_0)

 

Da notare che, pur lavorando con dei polinomi, abbiamo parlato anche in questo caso di vettori riferendoci agli elementi dello spazio vettoriale \mathbb{R}_n[x] su \mathbb{R}. Il fatto è che siamo abituati sin da piccini ad indicare con la parola "vettore" una sequenza di numeri del tipo [\dots , \dots, \dots], mentre in termini matematici rigorosi il termine vettore sta ad indicare un elemento di uno spazio vettoriale, indipendentemente da quale sia lo spazio vettoriale considerato.

 

 

C) Ad esempio, in determinati contesti, la parola "vettore" può indicare anche una funzione...Wink...come nel caso dello spazio vettoriale delle funzioni continue su un intervallo reale, cioè lo spazio vettoriale delle funzioni di una variabile reale f:I\subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R} definite e continue su un intervallo I\subseteq \mathbb{R}.

 

Tale insieme, che indichiamo con C(I) o anche con C^0(I), è uno spazio vettoriale sul campo reale se dotato delle operazioni di somma tra vettori

 

(f+g)(x):=f(x)+g(x)

 

(dove la funzione somma è definita come somma delle funzioni) e dell'operazione di prodotto di un vettore per uno scalare

 

(\alpha f)(x)=\alpha \cdot f(x)

 

(dove la funzione \alpha f è la funzione definita dal prodotto di \alpha per l'immagine di x mediante f).

 

Come avrete già intuito esistono infiniti e infiniti tipi di spazi vettoriali...ma dato che non abbiamo tutta la sera chiudiamo la lezione con un ultimo esempio, altrettanto canonico, alla stregua di quelli visti in 1) e in 2).

 

 

D) L'insieme Mat(m,n,\mathbb{R}) delle matrici di m righe ed n colonne a coefficienti reali

 

Mat(m,n,\mathbb{R}):=\{A=(a_{ij})\mbox{ t.c. }a_{ij}\in\mathbb{R}\mbox{ per ogni }i=1,...,m\mbox{ e per ogni }j=1,...,n\}

 

è uno spazio vettoriale sul campo \mathbb{R} se lo dotiamo delle operazioni di:

 

- somma di vettori (cioè somma di matrici)

 

A+B=(a_{ij})+(b_{ij})=(a_{ij}+b_{ij})

 

- prodotto di un vettore per uno scalare (prodotto di un numero reale per una matrice)

 

\alpha \cdot A=\alpha \cdot (a_{ij})=(\alpha a_{ij})

 

Si noti che anche qui si suole denominare "vettore" il generico elemento dello spazio vettoriale delle matrici di m righe ed n colonne a coefficienti reali, anche se in realtà si tratta di matrici. :)

 

 


 

 

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Arvedze, see you soon guys!

Agente Ω

 

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