Autovalori e autovettori

Gli autovalori e autovettori costituiscono un aspetto fondamentale dello studio delle applicazioni lineari tra spazi vettoriali, perché costituiscono il fondamento della teoria della diagonalizzabilità. In questo articolo ci occuperemo di definire gli autovalori di una applicazione lineare, o equivalentemente di una matrice, e definiremo la nozione di autovettore associato ad un autovalore. Successivamente mostreremo il metodo per il calcolo di autovalori e autovettori.

 

Con queste premesse teoriche avremo la possibilità di trattare la teoria della diagonalizzazione, di cui ci occuperemo nel seguito.

 

Autovalori e autovettori associati ad autovalori

 

Partiamo da una premessa: la nozione di autovalore si riferisce ai soli endomorfismi, cioè alle applicazioni lineari F:V\to V di uno spazio vettoriale V in sé. Solitamente si definisce la nozione di autovalore di un endomorfismo, ma si parla poi nella pratica di "autovalore di una matrice quadrata".

 

Ciò non dovrebbe sorprenderci: sappiamo infatti che è possibile rappresentare un qualsiasi endomorfismo mediante una opportuna matrice quadrata, e viceversa che ogni matrice quadrata definisce un determinato endomorfismo.

 

 

(Definizione 1) Prendiamo un endomorfismo F:V\to V con V uno spazio vettoriale sul campo reale \mathbb{R}. Diciamo che un numero complesso \lambda\in\mathbb{C} è un autovalore dell'endomorfismo F se esiste un vettore non nullo v\in V tale che

 

F(v)=\lambda v

 

cioè se esiste un vettore non nullo v che differisce dalla sua immagine mediante F a meno del multiplo scalare \lambda. In questo contesto diremo che v è un autovettore associato all'autovalore λ.

 

 

(Definizione 2) In alternativa, e in modo del tutto equivalente, diciamo che \lambda è un autovalore di F se l'endomorfismo F-\lambda I ha nucleo non banale

 

\lambda\mbox{ autovalore di }F\mbox{ se (def) }ker(F-\lambda I)\neq \{\underline{0}\}

 

cioè se F-\lambda I è un'applicazione lineare non invertibile. I indica chiaramente l'identità di V (manda ogni v in v). Con tale definizione un qualsiasi elemento del nucleo di F-λI è un autovettore di F relativo all'autovalore λ.

 

 

Bene, molto bene! E allora? Che ce ne facciamo?

 

Per il momento l'unica cosa che puoi fare è fidarti e cuccarti la definizione; poco più avanti scopi e motivazioni saranno chiarissime. Wink

 

 


 

 

Abbiamo introdotto la nozione di autovalore di un endomorfismo, e abbiamo visto che:

 

- si può definire in due modi del tutto equivalenti (e importanti nella stessa misura);

 

- il concetto di autovalore è indissolubilmente legato a quello di autovettore: in realtà ciascuna delle due definizioni equivalenti consiste in una coppia di definizioni!

 

- Parliamo di autovalori come numeri complessi, anche se ragioniamo con spazi vettoriali sul campo reale. Dato che \mathbb{R}\subset\mathbb{C} potremmo trovarci di fronte ad autovalori reali.

 

 


 

 

Se la tua principale preoccupazione è capire come comportarti nella pratica, stai sereno, il procedimento è semplice e lo vediamo tra qualche riga; prima dobbiamo reinterpretare la precedente definizione da un punto di vista matriciale. Ma prima ancora...Laughing

 

 

Definizione (Autospazio relativo ad un autovalore)

 

Sia F:V\to V con V spazio vettoriale su \mathbb{R}. Sia poi \lambda\in\mathbb{C} un autovalore di F. Chiamiamo autospazio relativo all'autovalore \lambda l'insieme S_{\lambda}\subseteq V definito da

 

\begin{matrix}S_{\lambda}& := & \{v\in V\mbox{ t.c. }(F-\lambda I)v=\underline{0}\}\\ & & \{v\in V\mbox{ t.c. }F(v)=\lambda v\}\\ & & ker(F-\lambda I)\end{matrix}

 

L'autospazio relativo ad un autovalore è cioè l'insieme di tutti gli autovettori relativi all'autovalore. Tale autospazio, con l'aggiunta del vettore nullo, è un sottospazio di V, infatti:

 

- \underline{0}\in S_{\lambda}, perché \underline{0}=F(\underline{0})=\lambda \underline{0}=\underline{0}

 

- se v_1,v_2\in S_{\lambda}, allora (v_1+v_2)\in S_{\lambda}: basta osservare che

 

F(v_1+v_2)=F(v_1)+F(v_2)=\lambda v_1 + \lambda v_2=\lambda (v_1+v_2)

 

- se v\in S_{\lambda} e a\in\mathbb{R}, allora av\in S_{\lambda}. Questo perché

 

F(av)=aF(v)=a(\lambda v)=\lambda (av)

 

In parole povere il fatto che l'autospazio relativo ad un autovalore di F sia un sottospazio deriva dalla linearità di F.

 

Autovalori e autovettori di una matrice

 

Passiamo all'interpretazione matriciale di autovalori e autovettori. La buona notizia è che rispetto alle definizioni appena vista non cambia praticamente nulla!

 

Dato un endomorfismo F:V\to V, con V spazio vettoriale su \mathbb{R}, potremo sempre determinare la matrice associata ad F, che chiameremo A_F, rispetto ad una fissata base di V.

 

Quando parleremo di autovalori e autovettori della matrice AF, intenderemo gli autovalori e gli autovettori dell'endomorfismo F che ha A_F come matrice rappresentativa.

 

 

(Definizione 1) Diremo allora che \lambda\in\mathbb{C} è un autovalore della matrice A_F (quadrata di ordine n) se esiste un vettore non nullo \underline{x}\in\mathbb{R}^n tale che

 

A_F\underline{x}=\lambda \underline{x}

 

e chiameremo \underline{x} autovettore della matrice A_F relativo all'autovalore \lambda. L'autospazio della matrice A_F relativo all'autovalore \lambda sarà il sottospazio vettoriale di \mathbb{R}^n di tutti gli autovettori di A_F relativi all'autovalore \lambda.

 

 

(Definizione 2) Esattamente come prima possiamo definire in modo del tutto equivalente un autovalore di A_F come un qualsiasi numero complesso \lambda\in\mathbb{C} tale che la matrice A_F-\lambda Id sia non invertibile:

 

\lambda \in\mathbb{C}\mbox{ autovalore di }A_F\mbox{ se (def.) }A_F-\lambda Id\mbox{ è non invertibile }.

 

In effetti con le matrici l'intero discorso sembra più digeribile... :) passiamo alla pratica.

 

Come calcolare gli autovalori e gli autovettori di una matrice

 

...o di un endomorfismo. Poco importa: nel caso di un'applicazione lineare F:V\to V, con V spazio vettoriale su \mathbb{R}, ricaveremo la matrice rappresentativa di F rispetto ad una base di V.

 

Il nostro punto di partenza, in ogni caso, sarà una matrice A quadrata e di ordine n.

 

Per calcolare gli autovalori ci basiamo sulla seconda definizione di autovalore, quella per cui \lambda\in\mathbb{C} è un autovalore di A se A-\lambda Id è una matrice non invertibile.

 

Trattiamo \lambda come incognita: sappiamo che una matrice non è invertibile se e solo se il suo determinante è uguale a zero. Imponiamo dunque l'equazione

 

det(A-\lambda Id)=0

 

In particolare det(A-\lambda I) è un polinomio in \lambda detto polinomio caratteristico della matrice A. Gli autovalori della matrice sono gli zeri del polinomio caratteristico.

 

Della precedente equazione ci interessano solo e solamente le soluzioni reali, che possono essere n o meno di n. Tutte le altre soluzioni saranno complesse* e non ce ne preoccupiamo.

 

Chiamiamo \lambda_1,...,\lambda_m gli autovalori di A, con 0\leq m\leq n, dove m indica il numero di zeri reali del polinomio caratteristico. Se dovessimo avere m=0 allora non ci sarebbero autovalori reali; in tal caso, ci fermeremmo. Stop.

 

Se 1\leq m\leq n per ogni autovalore \lambda_i calcoliamo il corrispondente autospazio, cioè lo spazio degli autovettori associati a \lambda_i. Per farlo ci basterà considerare il sistema lineare omogeneo

 

(A-\lambda_i Id) \underline{x}=\underline{0}

 

e risolverlo. Determinando una base dello spazio delle soluzioni di tale sistema avremo una base di autovettori per l'autospazio relativo a \lambda_i, cioè gli autovettori associati all'autovalore \lambda_i. Fine! :)

 

Esempio di calcolo degli autovalori e autovettori

 

Proviamo a calcolare gli autovalori e gli autovettori dell'applicazione lineare F:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3, definita da

 

F(x,y,z)=(2x+y,x+3y+z,y+2z)

 

Svolgimento: per prima cosa scriviamo la matrice associata ad F rispetto alla base canonica di \mathbb{R}^3

 

A=\left[\begin{matrix}2 & 1 & 0\\ 1 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 2\end{matrix}\right]

 

Poi prendiamo la matrice A-\lambda Id, dove \lambda è un'incognita e Id è la matrice identità

 

A-\lambda Id =\left[\begin{matrix}2-\lambda & 1 & 0\\ 1 & 3-\lambda & 1 \\ 0 & 1 & 2-\lambda\end{matrix}\right]

 

Calcoliamone il determinante, cioè il polinomio caratteristico di A, applicando la regola di Sarrus

 

det(A-\lambda Id)=-\lambda^3+7\lambda^2-14\lambda+8

 

Scomponiamo il polinomio caratteristico con la regola di Ruffini, in modo da trovare rapidamente le radici reali (che sono gli autovalori della matrice)

 

det(A-\lambda Id)=-(\lambda-4)(\lambda-2)(\lambda-1)

 

dunque gli autovalori di A sono dati da \lambda=1,\lamnda=2,\lambda=4 e sono tutti reali. Se ad esempio vogliamo determinare gli autovettori relativi a \lambda=1 ci basta considerare il sistema lineare omogeneo

 

(A-Id)\underline{x}=\underline{0}

 

ossia

 

\left[\begin{matrix}1 & 1 & 0\\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}x\\ y\\ z\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}0\\ 0\\ 0\end{matrix}\right]

 

dopodiché cerchiamo una base per lo spazio delle soluzioni

 

\begin{cases}x+y=0\\ x+2y+z=0\\ y+z=0\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}x=-y\\ -y+2y-y=0\\ z=-y\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=-y\\ 0=0\\ z=-y\end{cases}

 

Abbiamo un'equazione indeterminata. Attribuiamo alla variabile libera (y) il ruolo di parametro libero, ponendo y=a\in\mathbb{R}. Possiamo ora dedurre la generica soluzione del sistema lineare omogeneo

 

\underline{x}=[x,y,z]=[-a,a,-a]

 

che si scrive, in forma di combinazione lineare

 

[-a,a,-a]=a[-1,1,-1]

 

Conclusione: S_{1} è generato dal vettore [-1,1,-1], che ne costituisce una base (è evidente che sussiste l'indipendenza lineare, è un solo vettore!) e quindi genera tutti e soli gli autovettori relativi a \lambda=1.

 

 


 

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