Complemento ortogonale di un sottospazio

Immaginiamo di avere uno spazio vettoriale V ed un sottospazio vettoriale S: il nostro proposito consiste nell'introdurre la nozione di complemento ortogonale di un sottospazio vettoriale, e di proporre un metodo per trovare il complemento ortogonale di un qualsiasi spazio vettoriale. Per noi, S. :)

 

Definizione di complemento ortogonale di un sottospazio vettoriale

 

Sia S\subseteq V un sottospazio di un dato spazio V: definiamo il complemento ortogonale di S in V, e lo indichiamo con S^{\perp}, come il sottoinsieme di V definito da

 

S^{\perp}:=\{v\in V\mbox{ t.c. }v\cdot s=0\mbox{ per ogni }s\in S\}

 

 

 

In parole povere il complemento ortogonale di un sottospazio è il sottoinsieme di tutti i vettori di V ortogonali a tutti i vettori di S. Nella precedente definizione \cdot indica un qualsiasi prodotto scalare definito su V (dunque non necessariamente il prodotto scalare euclideo): nel caso del prodotto scalare euclideo si parla solamente di complemento ortogonale, mentre nel caso di prodotti scalari arbitrari si suole aggiungere la specifica complemento ortogonale rispetto al prodotto scalare ... .

 

Osservazione (Il complemento ortogonale è un sottospazio!)

 

Il complemento ortogonale di un sottospazio vettoriale è a sua volta un sottospazio vettoriale, e non è solamente un sottoinsieme di V. La dimostrazione di questo fatto è estremamente semplice, si tratta solo di far vedere che esso soddisfa le proprietà di sottospazio vettoriale:

 

1) contiene il vettore nullo: \underline{0}\in S^{\perp}.

 

Infatti quale che sia il prodotto scalare definito su V risulta che \underline{0}\cdot s=0 per ogni s\in S.

 

2) È chiuso rispetto alla somma di vettori: dati v_1,v_2\in S^{\perp} risulta che v_1+v_2\in S^{\perp}.

 

Basta notare che per ogni s\in S si ha

 

(v_1+v_2)\cdot s=v_1\cdot s+v_2\cdot s=0+0=0.

 

3) È chiuso rispetto al prodotto per uno scalare.

 

Prendiamo v\in S^{\perp} e un qualsiasi scalare c\in\mathbb{K} del campo \mathbb{K} su cui è definito V. Allora per ogni s\in S, dato v\in S^{\perp}, risulta che

 

(cv)\cdot s=c(v\cdot s)=c0=0.

 

Osservazione (complemento ortogonale di uno spazio vettoriale)

 

Il complemento ortogonale di un intero spazio vettoriale V è il sottospazio banale, cioè il sottospazio formato dal solo vettore nullo: V^{\perp}=\{\underline{0}\}.

 

Per vederlo basta osservare che, data una qualsiasi base \{v_1,v_2,...,v_n\} di V, per definizione di complemento ortogonale il prodotto scalare di un qualsiasi elemento  v\in V^{\perp} per un qualsiasi elemento della base di V deve essere nullo

 

v\cdot v_i=0\mbox{ per ogni }i=1...n

 

D'altra parte v si può scrivere in coordinate rispetto ai vettori della base scelta

 

v=a_1v_1+a_2v_2+...+a_nv_n

 

Supponiamo senza ledere in generalità che \{v_1,v_2,...,v_n\} sia una base ortonormale per lo spazio vettoriale, e consideriamo le n equazioni

 

v\cdot v_i=0\mbox{ per ogni }i=1...n

 

da cui

 

(a_1v_1+a_2v_2+...+a_nv_n)\cdot v_i=0

 

Per l'ortonormalità della base rimane solamente

 

a_iv_i\cdot v_i=0

 

cioè a_i||v_i||^2=0, cioè a_i=0. Dato che il ragionamento vale per ogni i=1...n concludiamo che a_1=a_2=...=a_n=0 e dunque v=\underline{0} è necessariamente il vettore identicamente nullo.

 

Come trovare il complemento ortogonale di un sottospazio

 

Dato che il complemento ortogonale di un sottospazio è a sua volta un sottospazio, per individuarlo sarà sufficiente determinarne una base. Veniamo ora alla parte della lezione che ti aiuterà ad uscire dalle grane quando ti troverai di fronte agli esercizi, d'esame o di preparazione che siano...Wink

 

Vogliamo determinare una base per il complemento ortogonale S^{\perp} di un sottospazio  vettoriale S\subset V. Ragioneremo nel caso di spazi vettoriali del tipo \mathbb{R}^n considerando il prodotto scalare euclideo.

 

Il primo passo da compiere consiste nel determinare una base per S, che chiameremo s_1,s_2,...,s_m. Se lo spazio vettoriale V ha dimensione dim(V)=n>m, allora S avrà un complemento ortogonale non banale.

 

Supponiamo di avere una base di V come riferimento, in modo da poter scrivere i vettori della base di S in coordinate:

 

s_1=[s_{1,1},s_{1,2},...,s_{1,n}]

s_2=[s_{2,1},s_{2,2},...,s_{2,n}]

\vdots

s_m=[s_{m,1},s_{m,2},...,s_{m,n}]

 

Il metodo si basa su una semplicissima osservazione: nel prodotto di una matrice per un vettore effettuiamo dei prodotti riga per colonna tra ciascuna riga della matrice e il vettore inteso come colonna.

 

[x_1,...,x_k]\cdot \left[\begin{matrix}y_1\\ \vdots \\ y_k\end{matrix}\right]=x_1y_1+...+x_ky_k

 

D'altra parte, per definizione due vettori [x_1,...,x_k],[y_1,...,y_k] si dicono ortogonali se il loro prodotto scalare è nullo

 

[x_1,...,x_k]\cdot [y_1,...,y_k]=x_1y_1+...+x_ky_k=0

 

 

Prendiamo la matrice avente i vettori delle coordinate degli elementi della base di S per riga, e chiamiamola M. Se il prodotto riga per colonna di tale matrice per un vettore x=[x_1,...,x_n] è nullo significa che il vettore x è ortogonale a tutti i vettori riga della matrice.

 

Inoltre, se x è ortogonale a tutte le righe di M, cioè a tutti i vettori della base di S considerata, allora sarà necessariamente ortogonale a tutti i vettori del sottospazio SLaughing

 

Morale della favola: S^{\perp} è proprio lo spazio delle soluzioni del sistema lineare omogeneo

 

\left[\begin{matrix}s_{1,1}& s_{1,2} & \dots & s_{1,n}\\ s_{2,1} & s_{2,2} & \dots & s_{2,n}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ s_{m,1} & s_{m,2} & \dots & s_{m,n}\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}x_1\\ x_2 \\ \vdots \\ x_n\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}0\\ 0 \\ \vdots \\ 0\end{matrix}\right]

 

e una base dello spazio delle soluzioni di tale sistema lineare sarà una base del complemento ortogonale S^{\perp} di SWink

 

Esempio

 

Determinare il complemento ortogonale del sottospazio S\subseteq \mathbb{R}^3 avente come base il sistema di vettori \{[1,2,3],[2,2,2]\}.

 

Svolgimento: abbiamo speso tante parole per descrivere il metodo in linea teorica, ma nella pratica ne bastano molte meno. Prendiamo il sistema lineare avente come matrice incompleta la matrice che ha per righe i vettori delle coordinate degli elementi della base di S

 

\left[\begin{matrix}1 & 2 & 3\\ 2 & 2 & 2\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}x\\ y\\ z\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}0\\ 0 \\ 0\end{matrix}\right]

 

e ricaviamo una base per lo spazio delle soluzioni di tale sistema lineare omogeneo

 

\begin{cases}x+2y+3z=0\\ 2x+2y+2z=0\\ z=\alpha\in\mathbb{R}\end{cases}

 

procediamo per sostituzione

 

\begin{cases}x=-\alpha -y\\ y=-2\alpha \\ z=\alpha\in\mathbb{R}\end{cases}\ \Rightarrow\ \begin{cases}x=+\alpha\\ y=-2\alpha\\ z=\alpha \end{cases}

 

Scriviamo la generica soluzione come combinazione lineare con coefficiente il parametro libero \alpha

 

[x,y,z]=\alpha [1,-2,1]

 

e scopriamo che il complemento ortogonale di S è il sottospazio vettoriale che ha come base (ad esempio) \{[1,-2,1]\}.

 

 


 

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