Equazioni cartesiane da un sistema di generatori

In questa lezione vogliamo spiegare il procedimento da seguire per determinare le equazioni cartesiane di un sottospazio vettoriale individuato da un sistema di generatori.

 

Come al solito, oltre alle nozioni teoriche, avremo un particolare occhio di riguardo nei confronti delle tipologie di esercizi che si possono incontrare in sede d'esame. La richiesta di cui ci occuperemo tra poco è tipica dei corsi di Algebra Lineare, sia come esercizio a sé stante sia come passaggio propedeutico per la risoluzione di richieste più ampie.

 

Come determinare le equazioni cartesiane da un sistema di generatori

 

Lavoriamo in spazi del tipo R^{n} e consideriamo un sottospazio vettoriale S\subseteq \mathbb{R}^n di cui conosciamo un sistema di generatori \{v_1,v_2,...,v_m\}, dove ciascuno di tali vettori è espresso in coordinate del tipo

 

v_i=(v_{i,1},v_{i,2},...,v_{i,n}) \mbox{ per } i=1...n

 

La consegna prevede di ricavare un sistema di equazioni cartesiane che individuano il sottospazio S, o meglio tutti e soli i vettori appartenenti ad S. Quella che cerchiamo è in parole povere una rappresentazione cartesiana del sottospazio.

 

Prima di procedere è importante notare che una tale richiesta è pressapoco l'opposto del caso in cui si chiede di determinare una base per un sottospazio espresso mediante equazioni cartesiane. "Pressapoco" perché una base è sempre un sistema di generatori, mentre non vale in generale il viceversa (per far sì che un sistema di generatori sia una base ci vuole l'indipendenza lineare).

 

Per ricavare le equazioni cartesiane del sottospazio S procediamo come segue. Disponiamo gli m vettori che generano il sottospazio per colonna in una matrice, e aggiungiamo un'ulteriore colonna costituita da un generico vettore di incognite \underline{x}=[x_1,x_2,...,x_n].

 

A|\underline{x}=\left[\begin{matrix}v_{11} & v_{21} & \dots & v_{m1} & x_1\\ v_{12} & v_{22} & \dots & v_{m2} & x_2\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ v_{1n} & v_{2n} & \dots & v_{mn} & x_n\end{matrix}\right]

 

Chiamiamo la precedente matrice "matrice completa" (nome che si usa anche nel contesto del teorema di Rouché-Capelli, anche se lì ci si riferisce ad una matrice differente), e chiamiamo "matrice incompleta" la matrice A ottenuta disponendo i vettori delle coordinate dei generatori per colonna

 

A=\left[\begin{matrix}v_{11} & v_{21} & \dots & v_{m1}\\ v_{12} & v_{22} & \dots & v_{m2}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ v_{1n} & v_{2n} & \dots & v_{mn} \end{matrix}\right]

 

Per individuare le equazioni cartesiane del sottospazio vettoriale S dobbiamo imporre che le due matrici A e A|\underline{x} abbiano lo stesso rango.

 

Tale imposizione si traduce in una condizione algebrica su alcune righe di A|\underline{x}, grazie alle quali saremo in grado di desumere la forma cartesiana cercata.

 

E nel concreto?

 

Il miglior modo di procedere consiste nell'applicare l'eliminazione gaussiana sulle due matrici: così facendo possiamo ridurre a scala le matrici A e A|\underline{x}, ottenendo due matrici a scalini che chiamiamo A' e (A|\underline{x})'.

 

Dopo aver effettuato l'eliminazione, si considera la matrice incompleta ridotta A': il numero dei pivot di A' individua il rango di A - dove con pivot si intende il primo elemento di una riga non nullo che si incontra leggendo la riga da sinistra a destra.

 

D'altra parte la matrice completa ridotta (A|\underline{x})' differisce da A' solamente per gli elementi della colonna delle incognite. Se in A' avremo eventualmente alcune tra le ultime righe identicamente nulle, ciò non capiterà in (A|\underline{x})', infatti le righe di (A|\underline{x})' corrispondenti alle righe nulle di A' avranno nell'ultima colonna delle combinazioni lineari di incognite.

 

Per far sì che le due matrici abbiano lo stesso rango dobbiamo annullare le combinazioni lineari di incognite della matrice completa ridotta che corrispondono alle righe nulle della matrice incompleta ridotta.

 

La condizione di annullamento di tali combinazioni lineari fornisce proprio il sistema di equazioni cartesiane che individuano il sottospazio vettoriale SLaughing

 

In questi termini il procedimento potrà apparire complicatissimo, ma non è così. Un semplice esempio renderà tutto più chiaro. Wink

 

Esempio sul metodo per ricavare le equazioni cartesiane da un sistema di generatori

 

Prendiamo il sottospazio vettoriale S\subset \mathbb{R}^3 generato dal sistema di vettori

 

v_1=[1,2,1],\ v_2=[3,2,2],\ v_3=[5,6,4]

 

vogliamo determinare un sistema di equazioni cartesiane che individui tutti e soli i vettori di S.

 

Svolgimento: scriviamo le matrici incompleta A e completa A|\underline{x}, dove \underline{x}=[x,y,z] è un vettore di incognite

 

A=\left[\begin{matrix}1 & 3 & 5\\ 2 & 2 & 6\\ 1 & 2 & 4\end{matrix}\right]\ \mbox{ ; }\ A|\underline{x}=\left[\begin{matrix}1 & 3 & 5 & x \\ 2 & 2 & 6 & y\\ 1 & 2 & 4 & z\end{matrix}\right]

 

Vogliamo che le due matrici abbiano lo stesso rango, dunque procediamo per eliminazione gaussiana. Cominciamo da A|\underline{x} e sostituiamo la seconda riga con la differenza tra la seconda meno due volte la prima, e sostituiamo la terza riga con la differenza tra la terza e la prima

 

A|\underline{x}=\left[\begin{matrix}1 & 3 & 5 & x\\ 2 & 2 & 6 & y\\ 1 & 2 & 4 & z\end{matrix}\right]\ \to\ \left[\begin{matrix}1 & 3 & 5 & x \\ 0 & -4 & -4 & y-2x\\ 0 & -1 & -1 & z-x\end{matrix}\right]

 

Successivamente sostituiamo la terza riga con la differenza tra quattro volte la terza meno la seconda

 

\to \left[\begin{matrix}1 & 3 & 5 & x \\ 0 & -4 & -4 & y-2x\\ 0 & 0 & 0 & 4(z-x)-(y-2x)\end{matrix}\right]\to \left[\begin{matrix}1 & 3 & 5 & x \\ 0 & -4 & -4 & y-2x\\ 0 & 0 & 0 & 4z-2x-y\end{matrix}\right]=(A|\underline{x})'

 

Non dobbiamo ripetere i conti per ridurre A mediante eliminazione gaussiana, perché ci basta prendere in considerazione la sola matrice incompleta nella precedente riduzione

 

A'=\left[\begin{matrix}1 & 3 & 5\\ 0 & -4 & -4\\ 0 & 0 & 0\end{matrix}\right]

 

Ci siamo: la matrice incompleta ha rango 2, perché ci sono due pivot (1 e -4), e vogliamo che tale sia anche il rango di (A|\underline{x}). Per ottenerlo imponiamo che l'ultima riga della matrice completa ridotta - cioè l'unica corrispondente all'unica riga nulla della matrice incompleta ridotta - sia nulla. Dunque

 

4z-2x-y=0

 

e abbiamo finito: S=<v_1,v_2,v_3>=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mbox{ t.c. }4z-2x-y=0\}.

 

 


 

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Vaarwel, see you soon guys!

Agente Ω

 

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