Matrice di cambiamento di base

Lo scopo di questo articolo consiste nel fornire un metodo pratico che permetta di scrivere, date due basi B e B' di uno spazio vettoriale V, la matrice di cambiamento di base dalla base B alla base B', e viceversa.

 

Definizione di cambiamento di base

 

Immaginiamo di avere, in uno spazio vettoriale V di dimensione n, due basi arbitrarie

 

B=\{v_1,...v_n\}\ ,\ B'=\{v_1',...,v_n'\}

 

e di avere un vettore w\in V espresso in coordinate riferite alla base B, sia esso w=[w_1,...,w_n]. Vogliamo individuare le coordinate del vettore w rispetto alla base B'.

 

L'idea è quella di interpretare il cambiamento di base come una vera e propria applicazione lineare definita su V e a valori nello stesso spazio, dunque di interpretare \varphi_{B,B'}:V\to V come un endomorfismo. Il dominio si intende naturalmente munito della base B, il codominio della base B'.

 

L'endomorfismo del cambiamento di base \varphi_{B,B'} ci permettera di ricavare la rappresentazione di un qualsiasi vettore w\in V, inizialmente in coordinate riferite alla base B, esprimendone le coordinate rispetto a B'. Le "nuove" coordinate saranno definite dall'immagine di w mediante \varphi_{B,B'}, cioè da \varphi_{B,B'}(w).

 

La logica è abbastanza semplice, nonché elegante; ora si tratta di capire come comportarsi nella pratica. Sappiamo che ogni endomorfismo ammette una matrice rappresentativa, cioè una matrice A che permette di ottenere le immagini f(v) dell'endomorfimo f per semplice moltiplicazione matrice-vettore

 

f(v)\leftrightarrow Av

 

Ci serve quindi un metodo che ci permetta di scrivere la matrice associata all'endomorfimo \varphi_{B,B'}.

 

Come scrivere la matrice del cambiamento di base

 

Date le basi B=\{v_1,...,v_n\} e B'=\{v_1',...,v_n'\}, vogliamo determinare la matrice M_{B,B'} che esprime il passaggio dalla base B alla base B'.

 

Per farlo ci basta esprimere i vettori della base B come combinazioni lineari dei vettori di B'

 

v_1=a_{11}v_1'+a_{12}v_2'+...+a_{1n}v_n'

 

v_2=a_{21}v_1'+a_{22}v_2'+...+a_{2n}v_n'

 

\vdots

 

v_n=a_{n1}v_1'+a_{n2}v_2'+...+a_{nn}v_n'

 

La matrice di passaggio da B a B' si ricava disponendo i coefficienti delle combinazioni lineari per colonna in una matrice.

 

M_{B,B'}=\left[\begin{matrix}a_{11}& a_{21} & \dots & \ a_{n1}\\ a_{12}& a_{22} & \dots & \ a_{n2}\\ \vdots & \vdots& \ddots & \vdots\\ a_{1n}& a_{2n} & \dots & \ a_{nn}\end{matrix}\right]

 

Attenzione! Abbiamo preso i coefficienti delle righe e li abbiamo scritti per colonna, guardate bene gli indici nella matrice...Wink

 

Se ora volessimo scrivere la matrice del cambiamento di base che effettua il passaggio inverso, cioè da B' a B, non dovremmo fare altro che ragionare in modo analogo, ma opposto. Dovremo scrivere i vettori di B' come combinazioni lineari di quelli di B

 

v_1'=b_{11}v_1+b_{12}v_2+...+b_{1n}v_n

 

v_2'=b_{21}v_1+b_{22}v_2+...+b_{2n}v_n

 

\vdots

 

v_n'=b_{n1}v_1+b_{n2}v_2+...+b_{nn}v_n

 

e poi scrivere la matrice avente per colonne i coefficienti delle combinazioni lineari delle singole righe:

 

M_{B',B}=\left[\begin{matrix}b_{11}& b_{21} & \dots & \ b_{n1}\\ b_{12}& b_{22} & \dots & \ b_{n2}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ b_{1n}& b_{2n} & \dots & \ b_{nn}\end{matrix}\right]

 

In alternativa, dato che \varphi_{B,B'} è rappresentata da M_{B,B'}, e dato che \varphi_{B',B}, è evidentemente l'endomorfismo inverso di \varphi_{B,B'}

 

\varphi_{B',B}=(\varphi_{B,B'})^{-1}

 

Ci basta notare che M_{B',B} deve essere necessariamente la matrice inversa di M_{B,B'}

 

M_{B',B}=(M_{B,B'})^{-1}

 

Esempio di matrice di passaggio tra due basi

 

Consideriamo le basi di \mathbb{R}^3 date da

 

B=\{[0,2,0],[1,1,0],[0,1,1]\}

 

B'=\{[1,0,2],[2,3,0],[0,4,4]\}

 

Vogliamo scrivere la matrice del cambiamento di base che esprime il passaggio da B' a B. Scriviamo quindi i vettori di B' come combinazioni lineari dei vettori di B:

 

[1,0,2]\ =\ ?\ [0,2,0]\ +\ ?\ [1,1,0]\ +\ ?\ [0,1,1]

\to\ [1,0,2]=-\frac{3}{2}[0,2,0]+1[1,1,0]+2[0,1,1]

 

[2,3,0]\ =\ ?\ [0,2,0]\ +\ ?\ [1,1,0]\ +\ ?\ [0,1,1]

\to\ [2,3,0]=\frac{1}{2}[0,2,0]+2[1,1,0]+0[0,1,1]

 

[0,4,4]\ =\ ?\ [0,2,0]\ +\ ?\ [1,1,0]\ +\ ?\ [0,1,1]

\to\ [0,4,4]=0[0,2,0]+0[1,1,0]+4[0,1,1]

 

(Problemi nel determinare i coefficienti della combinazione lineare? Questa discussione fa al caso tuo: trovare i coefficienti di una combinazione lineare). La matrice di passaggio da B' a B è quindi data da

 

M_{B',B}=\left[\begin{matrix}-\frac{3}{2}& \frac{1}{2}& 0\\ 1 & 2 & 0\\ 2 & 0 & 4\end{matrix}\right]

 

A questo punto, se dovessimo malauguratamente :) determinare M_{B,B'} e se il procedimento delle combinazioni lineari ci fosse venuto a noia, ci basterebbe calcolare l'inversa della matrice M_{B',B}

 

M_{B,B'}=(M_{B',B})^{-1}.

 

Caso particolare: matrice di cambiamento di base con base canonica

 

Se una tra le due basi B,B' coincide con la base canonica, il procedimento per la scrittura delle matrici di passaggio resta teoricamente lo stesso, ma si semplifica di molto all'atto pratico. A scanso di equivoci chiameremo le due basi coinvolte C,B, dove C indica la base canonica.

 

In questo contesto possiamo scrivere direttamente la matrice di cambiamento di base da B a C, vale a dire M_{B,C}, semplicemente disponendo le coordinate dei vettori della base B per colonna in una matrice.

 

M_{B,C}\ \to\ matrice avente per colonne le coordinate dei vettori di B

 

Attenzione! La matrice che abbiamo appena scritto effettua il passaggio dalla base arbitraria alla base canonica.

 

La matrice che effettua il cambiamento di base inverso, cioè M_{C,B}, si ricava calcolando l'inversa della precedente matrice

 

M_{C,B}=(M_{B,C})^{-1}

 

Perché possiamo scrivere M_{C,B} come indicato in precedenza? Semplicemente perché i vettori della base B si intendono espressi in coordinate riferite alla base canonica. Provate ad applicare alla lettera il procedimento generale descritto nella prima parte della lezione con una qualsiasi base B di \mathbb{R}^n, espressa in coordinate, e guardate un po' cosa succede...Wink

 

 


 

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Comiat, see you soon guys!

Agente Ω

 

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