Normalizzare un vettore

La normalizzazione di un vettore è una procedura che permette di passare da un vettore v di uno spazio vettoriale V sul campo reale o complesso ad un vettore \tilde{v} che differisce da v a meno di un multiplo scalare, e tale da avere norma 1.

 

In pratica normalizzare un vettore vuol dire determinare un versore \tilde{v} che dipende linearmente da v e con norma 1.

 

 

Come normalizzare un vettore

 

Il metodo di normalizzazione di un vettore si basa su un procedimento molto semplice, che dipende dalla scelta di una norma ||\cdot|| sullo spazio vettoriale V, con ||\cdot||:V\times V\to [0,+\infty). Per fissare le idee possiamo immaginare di lavorare su uno spazio vettoriale \mathbb{R}^n dotato della norma euclidea ||\cdot||.

 

I passaggi da seguire sono i seguenti:

 

1) si calcola la norma del vettore v: ||v||. In questo contesto non possiamo essere più espliciti perché il calcolo della norma dipende dalla norma che si considera, nel seguito vedremo un esempio.

 

2) Si moltiplica il vettore v per il reciproco della sua norma, cioè per 1/||v||

 

\tilde{v}=v\cdot \frac{1}{||v||}

 

3) Abbiamo finito: \tilde{v} definito come in 2) è un versore che dipende linearmente da v. Esso infatti differisce da v a meno di un multiplo scalare, che è 1/||v||, ed è un versore, cioè un vettore di norma 1, cioè un vettore normalizzato.

 

Se infatti ne calcoliamo la norma

 

||\tilde{v}||=\left|\left|\frac{v}{||v||}\right|\right|=\mbox{ per omogeneita' della norma }=\frac{1}{||v||}\cdot ||v||=1.

 

Come normalizzare un vettore in R^n rispetto alla norma euclidea

 

In questo specifico caso possiamo scrivere nel dettaglio i passaggi che permettono di normalizzare un vettore v\in\mathbb{R}^n, con coordinate v=[v_1,...,v_n] rispetto ad una data base di \mathbb{R}^n (ad esempio la base canonica), rispetto alla norma euclidea.

 

Sappiamo che la norma euclidea di un vettore in \mathbb{R}^n è definita come

 

||v||=\sqrt{v_1^2+...+v_n^2}.

 

I passaggi non cambiano rispetto al procedimento generale descritto in precedenza: potremo normalizzare v semplicemente applicando la formula

 

\tilde{v}=\frac{1}{\sqrt{v_1^2+...+v_n^2}}\cdot v

 

 

 

Esempio

 

Supponiamo di voler normalizzare il vettore v=[1,2,3]\in\mathbb{R}^3 rispetto alla norma euclidea definita in \mathbb{R}^3. Ci basterà calcolarne la norma

 

||[1,2,3]||=\sqrt{1+4+9}=\sqrt{14}

 

e moltiplicare il vettore v per il reciproco di tale valore

 

\tilde{v}=\frac{1}{||v||}\cdot v=\frac{1}{\sqrt{14}}[1,2,3]=\left[\frac{1}{\sqrt{14}},\frac{2}{\sqrt{14}},\frac{3}{\sqrt{14}}\right].

 

Provate a calcolare ||\tilde{v}|| e vedrete che essa vale proprio 1, Wink dunque \tilde{v} non è altro che il vettore v normalizzato!

 

Se invece a titolo esemplificativo considerassimo un'altra norma su \mathbb{R}^3, ad esempio la norma uniforme, definita da

 

||v||_{\infty}=||[v_1,v_2,v_3]||_{\infty}:=\mbox{Max}\{|v_1|,|v_2|,|v_3|\}

 

per normalizzare il vettore rispetto a ||\cdot||_{\infty} l'unico passaggio diverso consisterebbe nel calcolo della norma

 

||[1,2,3]||_{\infty}=3

 

e quindi

 

\tilde{v}=\frac{1}{||v||_{\infty}}v=\left[\frac{1}{3},\frac{2}{3},1\right]

 

Quest'ultimo esempio ha il solo scopo di evidenziare che la nozione di vettore normalizzato dipende dalla specifica norma che si considera! :)

 

 


 

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Agente Ω

 

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