Operazioni tra vettori

In questa lezione parliamo delle principali operazioni tra vettori, e vedremo come si esegue la somma tra due vettori (sia geometricamente che analiticamente) e il prodotto di un vettore per uno scalare. A proposito: hai già letto la lezione sui vettori?

 

Principali operazioni tra vettori

 

Somma e differenza tra due vettori

 

Siano dato due vettori u,v \in \mathbb{V}. L'operazione somma tra due vettori è una legge che associa ai vettori u e v un nuovo vettore, detto vettore somma che indicheremo con u+v.

 

L'operazione differenza tra due vettori è una legge che associa ai vettori u e v un nuovo vettore, detto vettore differenza che indicheremo con u-v.

 

Per trovare tale vettore ci sono due metodi. Si può procedere infatti per via geometrica o per via analitica. Ovviamente dipende dalla particolare richiesta dell'esercizio e soprattutto da come ci vengono assegnati i vettori. Laughing

 

 

Metodo grafico per somma e differenza di vettori: regola del parallelogramma

 

Ora ci occupiamo di una comodissima regola che consente di determinare, con un semplice disegno, la somma e la differenza di due vettori. Essa viene detta regola del parallelogramma ed il motivo sarà chiaro tra un istante. ;)

 

Supponiamo che il vettore u sia rappresentato graficamente dal segmento orientato AB, e che il vettore v sia rappresentato graficamente dal segmento orientato CD.

 

Per trovare il vettore somma u+v e il vettore differenza u-v procederemo nel seguente modo:

 

- con una traslazione (che lascerà quindi invariata modulo, direzione e verso) "spostiamo" il segmento orientato CD in modo che la sua origine C coincida con l'origine A del segmento orientato AB;

 

- costruiamo il parallelogramma avente come lati i due segmenti orientati AB e CD;

 

- il vettore somma sarà dato dalla diagonale AE del parallelogramma (in rosso);

 

- il vettore differenza sarà dato dalla diagonale DB del parallelogramma (in blu).

 

regola-del-parallelogramma

 

 

Metodo analitico per somma e differenza di vettori

 

Supponiamo che dei due vettori u e v siano note le componenti, ovvero:

 

u=(u_1, u_2, u_3) e v=(v_1,v_2,v_3)

 

Allora:

 

- il vettore somma u+v si ottiene dalla somma delle componenti di u e di v, ovvero:

 

u+v=(u_1+v_1, \ u_2+v_2, \ u_3+v_3)

 

- il vettore differenza u-v si ottiene dalla differenza delle componenti di u e di v, ovvero:

 

u-v=(u_1-v_1, \ u_2-v_2, \ u_3-v_3)

 

Importante: molto spesso (per non dire sempre) si pensa alla differenza u-v tra due vettori u e v come alla somma tra u e l'opposto di v, ovvero u-v=u+(-v)così che la differenza tra due vettori altro non è se non una somma e, proprio per questo, non si parla di somma e diffenza tra vettori, ma semplicemente di somma algebrica tra vettori.

 

Con vettore opposto -v di un vettore v si intende:

 

- geometricamente: un vettore che ha stessa direzione e modulo di v ma verso opposto;

 

- analiticamente: un vettore le cui componenti sono gli opposti delle componenti di v (per intenderci, le componenti di v cambiate di segno).

 

Proprietà della somma (algebrica) tra vettori

 

(1) Commutativa: u+v=v+u, per ogni u e v vettori.

 

(2) Associativa: u+(v+w)=(u+v)+w per ogni u, v e w vettori.

 

(3) Elemento neutro: il vettore nullo 0 funge da elemento neutro della somma, ovvero: v+0=v=0+v per ogni vettore u.

 

(4) Per ogni vettore v\in \mathbb{V} esiste ed è unico un vettore, che si dice l'opposto di v e si indica con -v tale che: v+(-v)=0.

 

Tali proprietà ci permettono di affermare che (\mathbb{V},+) è un gruppo commutativo (abeliano)

 

Prodotto di uno scalare per un vettore

 

Siano a\in \mathbb{R} un numero reale e v\in \mathbb{V} un vettore. Il prodotto di uno scalare (numero reale) per un vettore è una legge che associa alla coppia (a,v) un nuovo vettore che si indica con a v e si dice prodotto di a per v.

 

Anche in questo caso per trovare tale vettore si può procedere per via geometrica o per via analitica.

 

Metodo geometrico per il prodotto di un vettore per uno scalare

 

Supponiamo ci venga assegnato geometricamente (ovvero come segmento orientato) il vettore v\in \mathbb{V} e sia dato uno scalare a\in \mathbb{R}:

 

- se a=0 o v=0 ovvero v è il vettore nullo allora a v è il vettore nullo;

 

- se a\neq 0 e v\neq 0 allora a v è un vettore avente:

 

-- direzione: uguale a quella del vettore v;

 

-- verso: uguale a quello di v se a\textgreater 0, opposto a quello di v se a\textless 0;

 

-- modulo: dato dal prodotto del valore assoluto di a per il modulo di v, ovvero: |a v|=|a| |v|.

 

Metodo analitico per il prodotto di un vettore per uno scalare

 

Supponiamo che del vettore v \in \mathbb{V} siano note le componenti, ovvero v=(v_1, v_2, v_3) e sia a\in \mathbb{R}. Allora:

 

a v = (a v_1, a v_2, a v_3)

 

ovvero si moltiplica ogni componente del vettore per lo scalare a.

 

Proprietà del prodotto di un vettore per uno scalare

 

(1) Distributività del prodotto rispetto alla somma tra vettori: a (u+v)=a u+a v per ogni u e v vettori e per ogni scalare a.

 

(2) Distributività del prodotto rispetto alla somma tra scalari: (a+b) v = a v+b v per ogni vettore v e per ogni a e b scalari.

 

(3) Associativa: a (b v) = (a b) v per ogni vettore v e per ogni a e b scalari.

 

(4) Esistenza dell'elemento neutro: 1 v=v per ogni vettore v.

 

 


 

Dopo aver definito la somma algebrica tra vettori che abbiamo indicato con + e il prodotto di un vettore per uno scalare che indichiamo momentaneamente con *, e dopo aver visto le varie proprietà di cui esse godono, possiamo affermare che (\mathbb{V},+,*) è uno spazio vettoriale che si indica brevemente con \mathbb{V}.

 

In una lezione a parte avremo modo di occuparci del prodotto scalare tra vettori e del prodotto vettoriale, operazione che è definita solamente per vettori in \mathbb{R}^3. Nel frattempo se dovessi avere dubbi o domande non esitare e cerca le risposste che ti servono con la nostra barra di ricerca...abbiamo risposto a migliaia e migliaia di domande! Wink Eventualmente sappi che puoi sempre aprire una discussione nel Forum!

 

Galois

 

Lezione precedente..........Lezione successiva


Tags: operazioni tra vettori - regola del parallelogramma - somma di vettori - prodotto di un vettore per uno scalare.