Vettori

In questa lezione parliamo di vettori e introduciamo le principali nozioni correlate al concetto di vettore: si può considerare come lezione propedeutica sia per gli studenti del Liceo che per quelli universitari che studiano Fisica, Algebra Lineare e più in generale qualsiasi corso di Matematica degli ultimi due anni del liceo e del primo anno dell'Università.

 

Inizialmente partiremo dal caso dei vettori nel piano: vedremo cos'è un vettore, quando due o più vettori si dicono equipollenti, la differenza tra vettore libero e vettore applicato e cosa si intende per versore. Entreremo poi più nel dettaglio vedendo come si scompone e come si ricavano le componenti di un vettore del piano ed estenderemo le nozioni viste al caso dei vettori nello spazio.

 

Infine, per gli studenti universitari, introdurremo il concetto di vettore in \mathbb{R}^n.

 

Cos'è un vettore?

 

Come abbiamo già anticipato, partiamo dal caso bidimensionale. Intuitivamente si può pensare ad un vettore come ad un segmento orientato, al quale per essere individuato completamente occorre assegnare:

 

- modulo (o intensità)

- direzione

- verso

 

e si rappresenta in questo modo:

 

 

Vettore

 

 

Per indicare un vettore individuato dagli estremi A,B scriveremo \overrightarrow{AB} ed eventualmente , nel caso in cui non ci fossero ambiguità, potremo anche scrivere AB.

 

Vettori equipollenti

 

Siano AB e CD due segmenti orientati. Diremo che AB e CD sono vettori equipollenti se si verifica una delle seguenti condizioni:

 

(a) Se A coincide con C, risulta che B coincide con D.

 

(b) AB e CD appartengono alla stessa retta e hanno stesso modulo e stesso verso.

 

(c) AB e CD appartengono a due rette parallele ed hanno stesso modulo e stesso verso.

 

vettori-equipollenti

 

 

Diremo quindi che due vettori sono equipollenti se hanno modulo, direzione e verso uguali.

 

(Nota: le prossime dieci righe sono dedicate solamente agli studenti che affrontano lo studio dei vettori da un punto di vista algebrico)

 

Il concetto di equipollenza per com'è definito è una relazione di equivalenza, infatti l'equipollenza tra vettori è una relazione

 

- riflessiva: ogni vettore è equipollente a sé stesso;

 

- simmetrica: se AB è equipollente a CD allora CD è equipollente ad AB;

 

- transitiva: se AB è equipollente a CD e CD è equipollente ad EF allora AB è equipollente ad EF.

 

In particolare, l'equipollenza tra vettori è una relazione d'equivalenza che permette di suddividere l'insieme dei segmenti orientati in vari sottoinsiemi che diremo classi di equipollenza, dove ogni classe è costituita da tutti e soli i segmenti orientati che sono fra loro equipollenti (aventi cioè stesso modulo, direzione e verso). Si dirà vettore ogni classe di equipollenza di segmenti orientati.

 

(Fine della digressione algebrica)

 

Differenza tra vettore libero e vettore applicato

 

Il concetto di vettore applicato è molto intuitivo, infatti un vettore si dice applicato quando conosciamo la sua origine (o punto di applicazione). Ad esempio il segmento orientato AB della figura proposta inizialmente è un vettore applicato in quanto è nota la sua origine: il punto A.

 

Dato un vettore applicato AB possiamo considerare gli infiniti vettori ad esso equipollenti. Tale "famiglia" (che in termini algebrici è una classe di equivalenza) si indica col simbolo \vec{v} e si dice vettore libero.

 

A prima vista potrebbe sembrare che un vettore libero sia un insieme formato da più vettori. Attenzione! Non stiamo dicendo questo! Stiamo piuttosto affermando che tra gli infiniti vettori applicati, equipollenti tra loro, ne scegliamo uno a caso che fungerà da rappresentante della "famiglia", e lo diremo vettore libero.

 

Pensate ad un insieme molto numeroso di ragazzi. Dividiamoli per classi, ad esempio, in base all'età. Per ogni classe scegliamo un rappresentante che farà le veci di tutti gli altri.

 

Bene, è ciò che avviene con i vettori! Basta pensare ai singoli ragazzi come ai vettori applicati, ai ragazzi della stessa classe come ai vettori equipollenti, al rappresentante di ogni classe come al vettore libero. Si tratta di un esempio molto stupido, che però dovrebbe rendere meglio l'idea di vettore libero...

 

L'insieme di tutti i vettori liberi si indica con \mathbb{V}.

 

Vettore nullo

 

Si dirà vettore nullo e si indica generalmente con \vec{0} quel vettore con intensità (modulo) nulla, privo di direzione e di verso.

 

Versori

 

Esistono vettori molto speciali, detti versori, che possono essere utilizzati per caratterizzare tutti gli altri vettori. Infatti un versore è un vettore di lunghezza unitaria (modulo uguale a uno) il cui scopo è quello di individuare una specifica direzione.

 

Dato un vettore v\in \mathbb{V} ad esso possiamo sempre pensare di associare un versore che si indica generalmente con vers(v) ed è definito:

 

vers(v):=\frac{v}{|v|}

 

dove |v| indica il modulo del vettore che, generalmente, si indica solo con v.

 

Un versore è dunque un vettore avente stessa direzione e stesso verso del vettore corrispondente, ma ha modulo pari a uno.

 

Scomposizione e componenti cartesiane di un vettore del piano

 

Prendiamo un sistema di assi cartesiani ortogonali Oxy (piano cartesiano) e in esso un vettore v\in \mathbb{V}. Come si trovano le componenti di un vettore?

 

Nella seguente figura:

 

scomposizione-di-un-vettore

 

 

v_x è la componente di v lungo l'asse delle ascisse (asse x);

 

v_y è la componente di v lungo l'asse delle ordinate (asse y).

 

Il procedimento da seguire per trovare le componenti è il seguente:

 

- si trovano le proiezioni del vettore sugli assi cartesiani (semplicemente tracciando le perpendicolari agli assi partendo dagli estremi del vettore);

 

- a ciascuna di esse si assegna un verso concorde a quello del vettore stesso.

 

Nel nostro caso ad esempio il vettore v "punta in alto a destra" quindi la componente lungo l'asse y punterà verso l'alto, quella lungo l'asse x punterà verso destra.

 

Se abbiamo un vettore "che punta in basso a sinistra" le sue componenti punteranno: quella lungo l'asse y in basso e quella lungo l'asse x a sinistra.

 

La direzione di ogni componente sarà quella degli assi coordinati.

 

Tale procedimento seguito per trovare le componenti di un vettore prende il nome di scomposizione di un vettore nel piano.

 

Come avrete notato tracciando le proiezioni del vettore sugli assi si viene a formare un triangolo rettangolo ABC

 

Grazie alle formule trigonometriche sul triangolo rettangolo noto il modulo v del vettore possiamo ricavare algebricamente le sue componenti:

 

\left\{\begin{matrix} v_x=v\cos(\theta) \\ v_y=v\sin(\theta)\end{matrix}

 

Una volta che il vettore \vec{v} è stato scomposto nelle sue componenti v_x e v_y esse stesse si possono utilizzare al posto del vettore che verrà scritto come:

 

v=(v_x, v_y) oppure v=v_x \hat{i} + v_y \hat{j}

 

dove \hat{i} e \hat{j} sono i versori (indicati anche in figura) che indicano le direzioni degli assi.

 

Ovviamente note le componenti v_x e v_y di un vettore, possiamo risalire al vettore \vec{v} grazie alle formule:

 

v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}

 

\tan(\theta)=\frac{v_y}{v_x}

 

Scomposizione e componenti di un vettore dello spazio

 

Tracciamo un sistema di assi cartesiani dello spazio e disegniamo un vettore \vec{v} tale da avere il punto di applicazione coincidente con l'origine degli assi cartesiani, come mostrato in figura:

 

Scomposizione e componenti di un vettore dello spazio

 

 

v_x è la componente del vettore lungo l'asse delle ascisse;

 

v_y è la componente del vettore lungo l'asse delle ordinate;

 

v_z è la componente del vettore lungo l'asse delle quote (o asse z).

 

Per trovare le componenti di un vettore dello spazio basta ragionare come segue. Indichiamo con θ l'angolo che il vettore forma con l'asse z e con Φ l'angolo che la sua proiezione sul piano Oxy forma con l'asse x.

 

Ricavando il vettore proiezione \vec{v}_{xy} (del vettore \vec{v} sul piano Oxy) si è venuto a formare un triangolo OAB. Non lasciamoci ingannare dal disegno. Essendo OB la proiezione ortogonale del segmento OA sul piano xy, l'angolo A\hat{B}O è un angolo retto e di conseguenza AOB è un triangolo rettangolo con ipotenusa OA=|v|=v.

 

Grazie ai teoremi trigonometrici sul triangolo rettangolo possiamo allora dire che:

 

OB=OA \cos(B\hat{O}A)

 

Ora, l'angolo B\hat{O}A misura B\hat{O}A=\frac{\pi}{2}-\theta e, poiché per le formule sugli angoli associati abbiamo

 

\cos\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\sin(\theta)

 

Possiamo riscrivere la relazione precedente come

 

\underbrace{OB}_{v_{xy}}=\underbrace{OA}_{v} \sin(\theta) \ \mbox{ovvero} \ v_{xy}=v \sin(\theta)

 

Essendo vx e vy le proiezioni ortogonali del vettore v_{xy} del piano Oxy sull'asse x ed y rispettivamente, proprio come nel caso piano, si ha che:

 

\begin{cases}v_x=v_{xy} \cos(\phi) \\ v_y=v_{xy} \sin(\phi) \end{cases}

 

da cui, utilizzando la relazione trovata in precedenza [vxy=v sin(θ)] si ha:

 

\begin{cases}v_x=v \sin(\theta) \cos(\phi) \\ v_y=v \sin(\theta) \sin(\phi) \end{cases}

 

Infine, vz è la proiezione del vettore v sull'asse z (ovvero l'angolo A\hat{D}O è un angolo retto) e di conseguenza, per i teoremi trigonometrici sul triangolo rettangolo, vale l'uguaglianza

 

v_z = v \cos(\theta)

 

Possiamo così concludere che le componenti (vx, vy, vz) del vettore \vec{v} dello spazio sono date da:

 

\begin{cases}v_x=v \sin(\theta) \cos(\phi) \\ v_y=v \sin(\theta) \sin(\phi) \\ v_z=v \cos(\theta)\end{cases}

 

 

Fin qui abbiamo visto come, partendo da un vettore dato per via geometrica, è possibile risalire alle sue componenti. Viceversa, se sono note le componenti di un vettore dello spazio, possiamo ricavare il suo modulo dalla radice quadrata della somma dei quadrati delle sue componenti:

 

v=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}

 

e gli angoli θ e Φ da:

 

\cos(\theta)=\frac{v_z}{v}

 

\tan(\phi)=\frac{v_y}{v_x}

 

Negli esercizi un vettore dello spazio viene dato fornendo le componenti, ovvero vi ritroverete spesso davanti a scritture del tipo

 

\vec{v}=(v_x, v_y, v_z) \ \mbox{oppure} \ \vec{v}=v_x \hat{i}+v_y \hat{j} + v_z \hat{k}

 

Vettori in R^n

 

Abbiamo fin qui trattato il caso di vettori nel piano (ovvero in \mathbb{R}^2) e nello spazio (\mathbb{R}^3). Vediamo ora cosa si intende per vettore in \mathbb{R}^n, \ \mbox{con} \ n \in \mathbb{N}, \ n \ge 4.

 

Una volta superate le tre dimensioni ogni concezione geometrica svanisce. In Rn un vettore viene assegnato come una n-upla ordinata di elementi in cui ciascun elemento della n-upla è un numero reale che individua una componente del vettore.

 

Ci capiterà spessissimo di trovarci di fronte a scritture del tipo:

 

\vec{v}=(v_1, v_2, v_3, v_4) \in \mathbb{R}^4

 

\vec{v}=(v_1, v_2, v_3, v_4, v_5, v_6) \in \mathbb{R}^6

 

o, in generale:

 

\vec{v}=(v_1, v_2, \cdots , v_n) \in \mathbb{R}^n

 

Per i vettori in Rn è possibile calcolare il modulo che è sempre dato dalla radice quadrata della somma dei quadrati delle sue componenti:

 

v:=|v|=\sqrt{v_1^2+v_2^2+ \cdots + v_n^2}

 

Nel caso di vettori in Rn con n≠3 i può inoltre trovare il prodotto scalare tra due vettori, ma non è possibile calcolarne il prodotto vettoriale né il prodotto misto (chi lo desiderà può approfondire tali concetti con un semplice click).

 

 


 

È tutto! Nelle prossime lezioni vedremo quante belle cose si possono fare con i vettori e quale e quanta teoria contribuiscono a costruire...nel frattempo, in caso di dubbi o domande, trova le risposte che ti servono con la barra di ricerca interna, hai a disposizione migliaia e migliaia di risposte già date dallo Staff! Wink

 

Galois

 

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