Prodotto vettoriale

Introduciamo un'operazione tra vettori che riveste una fondamentale importanza in Algebra Lineare, e in particolare nel contesto dello spazio vettoriale \mathbb{R}^3: il prodotto vettoriale.

 

Oltre a definire il prodotto vettoriale come operazione \mathbb{R}^3\times \mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3, ne descriveremo le principali proprietà e forniremo il metodo per calcolare il prodotto vettoriale tra due vettori qualsiasi. Cominciamo?

 

 

Definizione di prodotto vettoriale

 

Diciamo prodotto vettoriale tra due vettori v,w\in\mathbb{R}^3, e lo indichiamo con v\times w, come il vettore definito da

 

v\times w:= |v| |w|\sin{(\theta)} \overrightarrow{n}

 

dove |v|,|w| indicano rispettivamente la norma di v e di w, mentre \theta indica l'angolo formato dai vettori v,w e \overrightarrow{n} è il versore (vettore di norma 1) perpendicolare sia a v che a w.

 

Non è che questa definizione sia molto utile dal punto di vista pratico, motivo per il quale a breve mostreremo un procedimento di calcolo molto semplice. Essa però è per l'appunto una definizione, e ci permette di dedurre sin da subito alcune importanti proprietà.

 

Proprietà del prodotto vettoriale

 

1) Il prodotto vettoriale tra due vettori è un vettore! Occhio a non fare confusione con il prodotto scalare, che è per l'appunto uno scalare in termini algebrici; il prodotto vettoriale è un'operazione che associa a una coppia di vettori di \mathbb{R}^3 un vettore di \mathbb{R}^3

 

\times :\mathbb{R}^3\times \mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3

 

\times : (v,w)\to v\times w

 

 

2) Il prodotto vettoriale tra due vettori è un vettore ortogonale ad entrambi i vettori.

 

 

3) Il prodotto vettoriale è un'operazione definita solamente con vettori di \mathbb{R}^3. Non è possibile cioè calcolarlo con vettori in \mathbb{R}^n con n\neq 3 né in qualsiasi altro spazio vettoriale.

 

 

4) Il modulo del prodotto vettoriale tra v,w è dato da

 

|v\times w|=|v|\ |w|\ \sin{(\theta)}

 

la direzione è perpendicolare al piano individuato da v,w.

 

 

5) Per individuare il verso del prodotto vettoriale si ricorre alla regola della mano destra: si dispone il pollice nella direzione e nel verso del primo vettore, e l'indice nella direzione e nel verso del secondo vettore. Distendendo il dito medio, si hanno la direzione e il verso cui punta il prodotto v\times w.

 

Come calcolare il prodotto vettoriale

 

Se fissiamo un riferimento ortonormale di assi cartesiani in \mathbb{R}^3, possiamo fornire una rappresentazione in coordinate di qualsiasi vettore v\in\mathbb{R}^3. In questo contesto è possibile fornire una formula per il prodotto vettoriale tra v=[v_1,v_2,v_3] e w=[w_1,w_2,w_3], in termini espliciti e in coordinate.

 

Chiamiamo (i,j,k) i tre versori degli assi coordinati. Vale allora la formula

 

v\times w= (v_2w_3-v_3w_2)i+(v_3w_1-v_1w_3)j+(v_1w_2-v_2w_1)k

 

Le formule a memoria però non ci piacciono neanche un pochetto, quindi vale la pena di imparare un metodo semplicissimo che ci permette di calcolare il prodotto vettoriale tra due vettori qualsiasi. Per poterlo utilizzare è sufficiente saper calcolare il determinante di una matrice 3x3, ad esempio con la regola di Sarrus.

 

Si tratta di disporre, in una matrice 3x3:

 

- nella prima riga le lettere che indicano i versori degli assi cartesiani (i,j,k);

 

- nella seconda riga le coordinate del vettore v=[v_1,v_2,v_3];

 

- nella terza quelle di w=[w_1,w_2,w_3].

 

Scriviamo la matrice, e calcoliamone il determinante con Sarrus

 

v\times w=det\left[\begin{matrix}i & j & k\\ v_1 & v_2 & v_3\\ w_1 & w_2 & w_3\end{matrix}\right]=

 

=v_2w_3i+v_3w_1j+v_1w_2k-w_1v_2k-v_1w_3j-v_3w_2i

 

riordiniamo il tutto e raccogliamo rispetto a i,j,k e ci siamo!

 

v\times w= (v_2w_3-v_3w_2)i+(v_3w_1-v_1w_3)j+(v_1w_2-v_2w_1)k

 

o, in forma vettoriale

 

v\times w=[(v_2w_3-v_3w_2),(v_3w_1-v_1w_3),(v_1w_2-v_2w_1)].

 

Proprietà algebriche del prodotto vettoriale

 

Prima di concludere vale la pena di elencare le proprietà algebriche del prodotto vettoriale, che tornano spesso e volentieri utili nella risoluzione degli esercizi. Dati v,w,u\in\mathbb{R}^3 e c\in\mathbb{R} valgono le seguenti proprietà:

 

A) distributività rispetto alla somma di vettori:

 

v\times (w+u)=v\times w+v\times u\ ;\ (v+w)\times u=v\times u+w\times u.

 

B) Bilinearità:

 

cv\times w= c (v\times w)=v\times cw.

 

C) Non è associativo.

 

D) Antisimmetria, vale a dire

 

v\times w=-w\times v.

 

E) Identità di Jacobi:

 

v\times (w\times u)+w\times (u\times v)+u\times (v\times w)=0.

 

F) Vale infine una proprietà molto carina che lega i versori i,j,k rispetto al prodotto vettoriale

 

i\times j=k\ ;\ j\times k=i\ ;\ k\times i=j

 

j\times i=-k\ ;\ k\times j=-i\ ;\ i\times k=-j

 

 


 

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Totsiens, see you soon guys!

Agente Ω

 

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