Come estrarre una base da un sistema di generatori

Capita spesso nella risoluzione degli esercizi di Algebra Lineare di dover determinare una base di uno spazio vettoriale partendo da un sistema di generatori. Lo scopo di questa lezione consiste proprio nel proporre metodi equivalenti che permetteranno, dato un sistema di generatori v1,v2,...,vm di uno spazio V di dimensione n<m, di ricavarne una base.

 

Prima di cominciare faremo bene ad avere presente la definizione di base di uno spazio vettoriale: una base è un qualsiasi sistema di generatori linearmente indipendenti tra di loro. Da notare che ci sono due ingredienti:

 

- sistema di generatori...

 

- linearmente indipendenti.

 

Metodi per ricavare una base da un sistema di generatori

 

Supponiamo che \{v_1,v_2,...,v_m\} sia un sistema di generatori di V, che può eventualmente essere un sottospazio di un altro spazio vettoriale. Per quanto visto nella lezione sulle basi il discorso ha senso solamente se V ha dimensione n<m, infatti in caso contrario:

 

- se dim(V)=n>m, allora \{v_1,v_2,...,v_m\} non può essere un sistema di generatori;

 

- se dim(V)=n=m, allora \{v_1,v_2,...,v_m\} è già una base di V. Questo perché la dimensione di uno spazio vettoriale è per definizione il numero di elementi di una sua base qualsiasi. L'unica possibilità per un sistema di n generatori di uno spazio vettoriale V di dimensione n è che essi costituiscano una base di V.

 

Che vuol dire "estrarre una base"? Significa sostanzialmente individuare un sottoinsieme massimale di vettori linearmente indipendenti tra i generatori, cioè individuare un sottoinsieme di generatori che siano A) linearmente indipendenti e B) con il maggior numero possibile di vettori tra quelli dati (in questo senso massimale).

 

Ricavare una base per eliminazione gaussiana

 

Il primo dei due metodi che presentiamo si basa sulla procedura di eliminazione gaussiana. Scriviamo i vettori del sistema di generatori \{v_1,v_2,...,v_m\} rendendone esplicite le coordinate rispetto ad una qualsiasi base di V. Volendo fissare le idee, immaginiamo che sia V=\mathbb{R}^n e che le coordinate dei vettori siano riferite alla base canonica

 

v_1=[v_{1,1},v_{1,2},...,v_{1,n}]

v_2=[v_{2,1},v_{2,2},...,v_{2,n}]

\vdots

v_m=[v_{m,1},v_{m,2},...,v_{m,n}]

 

disponiamo i vettori per colonna in una matrice che chiamiamo M. Avremo così a che fare con una matrice n\times m (con n righe ed m colonne).

 

M=\left[\begin{matrix}v_{1,1} & v_{2,1} & \dots & v_{m,1}\\v_{1,2} & v_{2,2} & \dots & v_{m,2}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ v_{1,n} & v_{2,n} & \dots & v_{m,n}\end{matrix}\right]

 

Applichiamo il metodo di eliminazione gaussiana alla matrice M, e passiamo ad una matrice a scala che indichiamo con M'. In questa nuova matrice avremo una serie di pivot, dove con pivot si intende il primo elemento non nullo che si incontra leggendo la riga da sinistra verso destra. Una parte delle righe della matrice ridotta avrà il proprio pivot: consideriamoli tutti.

 

A titolo esemplificativo, potremmo trovarci di fronte ad una matrice ridotta a scala della forma

 

M'=\left[\begin{matrix}v_{1,1}' & v_{2,1}' & v_{3,1}' & \dots & v_{m,1}'\\0 & v_{2,2}' & v_{3,2} & \dots & v_{m,2}'\\ 0 & 0 & v_{3,3}' & \dots & v_{m,3}'\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 &\dots & \ddots \end{matrix}\right]

 

Benissimo! :) Abbiamo praticamente finito:

 

- il numero di pivot non nulli rappresenta il rango della matrice, cioè il massimo numero di vettori colonna linearmente indipendenti. In parole povere sarà la dimensione dello spazio generato dai vettori considerati inizialmente.

 

- I vettori colonna della matrice non ridotta (M) che corrispondono ai vettori colonna della matrice ridotta (M') che contengono i pivot costituiscono una base dello spazio generato dal sistema di generatori dato inizialmente. Essi formano infatti un sottoinsieme massimale di vettori colonna linearmente indipendenti.

 

Esempio

 

Consideriamo i vettori dati da [1,1,2],[3,2,1],[4,4,4],[3,6,1], e seguiamo il procedimento appena descritto. Disponiamo i vettori per colonna in una matrice

 

M=\left[\begin{matrix}1 & 3 & 4 & 3\\ 1 & 2 & 4 & 6\\ 2 & 1 & 4 & 1\end{matrix}\right]

 

e procediamo per eliminazione gaussiana, passando alla matrice ridotta a scala

 

M'=\left[\begin{matrix}1 & 3 & 4 & 3\\ 0 & -1 & 0 & 3\\ 0 & 0 & -4 & -20\end{matrix}\right]

 

Ci siamo: abbiamo scoperto che i quattro vettori generano un sottospazio vettoriale di dimensione 3 - generano cioè \mathbb{R}^3 - e che una base di tale spazio è data da [1,1,2],[3,2,1],[4,4,4].

 

Estrarre una base con il criterio dei minori

 

Il punto di partenza è naturalmente lo stesso rispetto al metodo appena visto: abbiamo un sistema di generatori \{v_1,v_2,...,v_m\} di V di cui conosciamo le coordinate rispetto ad una data base dello spazio. Anche in questo caso disponiamo i vettori delle coordinate dei singoli vettori per colonna, in una matrice

 

M=\left[\begin{matrix}v_{1,1} & v_{2,1} & \dots & v_{m,1}\\v_{1,2} & v_{2,2} & \dots & v_{m,2}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ v_{1,n} & v_{2,n} & \dots & v_{m,n}\end{matrix}\right]

 

Definiamo minore di ordine k della matrice M una qualsiasi sottomatrice quadrata di M di ordine k, costruita anche con colonne non consecutive o da righe non consecutive. Attenzione alla disgiunzione "o". Ad esempio

 

\left[\begin{matrix}v_{1,1} & v_{2,1}\\ v_{1,n} & v_{2,n}\end{matrix}\right]\ ; \ \left[\begin{matrix}v_{1,2} & v_{5,2}\\ v_{1,4} & v_{5,4}\end{matrix}\right]

 

sono minori di ordine 2 di M, mentre

 

\left[\begin{matrix}v_{1,1} & v_{2,2}\\ v_{1,n} & v_{5,3}\end{matrix}\right]

 

non è un minore di ordine 2. Per farla breve, con "minore di ordine k" intendiamo una qualsiasi matrice che si può costruire prendendo gli elementi nell'intersezione tra k righe e k colonne della matrice.

 

minore-di-una-matrice

 

Il metodo dei minori prevede di ragionare così:

 

1) Chiamo k=min(m,n)=n (nella nostra ipotesi m>n).

 

1.1) Considero tutti i possibili minori di ordine k della matrice M: se c'è anche solo un minore di ordine k con determinante diverso da zero, vado a 1.1.1), in caso contrario vado a 1.2).

 

1.1.1) Considero le k colonne di M che contengono gli elementi del minore di ordine k con determinante non nullo. Esse costituiscono una base dello spazio vettoriale del sistema di generatori dato all'inizio. STOP

 

1.2) Se invece tutti i minori di ordine k hanno determinante pari a zero, vado al punto 2).

 

2) Passo a considerare i minori di ordine (k-1).

 

2.1) Se c'è anche solo un minore di ordine (k-1) con determinante diverso da zero, vado al punto 2.1.1), in caso contrario vado a 2.2).

 

2.1.1) Considero le (k-1) colonne di M che costituiscono il minore invertibile appena individuato: esse costituiscono una base dello spazio. STOP.

 

2.2) Se invece tutti i minori di ordine (k-1) hanno determinante nullo, vado al punto 3).

 

3) Passo a considerare i minori di ordine (k-2).

 

...e reiteriamo il procedimento. Prima o poi arriveremo necessariamente ad uno STOP Wink nel senso che troveremo un minore di ordine \overline{k}, alla peggio \overline{k}=1 con determinante diverso da zero. Prenderemo quindi le colonne di M che contengono le colonne di tale minore e avremo estratto così una base dal sistema di generatori dato.

 

Esempio

 

Prendiamo i tre vettori [1,1,1],[2,2,2],[3,1,2]: vogliamo estrarre una base per lo spazio che essi generano. Disponiamoli per colonne in una matrice

 

M=\left[\begin{matrix}1 & 2 & 3\\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 2\end{matrix}\right]

 

Il più grande minore che possiamo prendere è la matrice stessa, che è un minore di ordine 3. Se ne calcoliamo il determinante (ad esempio con la regola di Sarrus) vediamo che det(M)=0, quindi dobbiamo passare ai minori di ordine 2

 

\left[\begin{matrix}1 & 2 \\ 1 & 2\end{matrix}\right]\ ,\ \left[\begin{matrix}1 & 3\\ 1 & 1\end{matrix}\right]\ ,\ \left[\begin{matrix}2 & 3\\ 2 & 1\end{matrix}\right]\ ,\ ...

 

Il primo tra quelli appena scritti ha determinante nullo, non il secondo. Prendiamo così le colonne di M che contengono le colonne di tale minore

 

[1,1,1],[3,1,2]

 

e abbiamo una base dello spazio generato dal sistema di generatori di partenza. È tutto!

 

 


 

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