Sistema di generatori

Nel contesto degli spazi vettoriali un sistema di generatori di uno spazio vettoriale (o di un sottospazio) è un insieme di vettori che permette di ricostruire, mediante combinazioni lineari, tutti i vettori dello spazio.

 

Vediamo di essere più precisi, partendo dalla definizione e vedendo alcuni esempi.

 

 

Definizione di sistema di generatori di uno spazio vettoriale

 

Sia V uno spazio vettoriale su un campo K. Diciamo sistema di generatori di V un qualsiasi insieme di vettori {v1,v2,...,vn} di V tale che per ogni v appartenente a V esistono degli scalari a1,a2,...,an in K tali che

 

v=a_1v_1+a_2v_2+...+a_nv_n=\sum_{i=1}^{n}a_iv_i

 

Cos'è un sistema di generatori? Come abbiamo anticipato all'inizio della lezione un sistema di generatori dello spazio è semplicemente un insieme di vettori che permette di ricostruire tutti i vettori dello spazio mediante opportune combinazioni lineari.

 

Il senso della definizione è proprio questo: un insieme di vettori genera lo spazio e comunque si prende un vettore dello spazio esiste una combinazione lineare dei vettori del sistema che coincide col vettore dato.

 

Sembra ostrogoto? Non lo è Wink e un paio di esempi chiariranno subito ogni eventuale dubbio...

 

Esempi di sistemi di generatori

 

1) Prendiamo lo spazio vettoriale \mathbb{R}^2 dei vettori a due componenti reali, e consideriamo l'insieme di vettori

 

\{[0,2],[1,0],[1,1]\}

 

Esso costituisce un sistema di generatori di \mathbb{R}^2, infatti per ogni v\in\mathbb{R}^2, ossia per ogni [a,b]\in\mathbb{R}^2, possiamo trovare dei coefficienti x,y,z\in\mathbb{R} tali che

 

[a,b]=x[0,2]+y[1,0]+z[1,1]

 

prova ad esempio con [a,b]=[27,4]Wink

 

 

2) Dato lo spazio dei polinomi di grado al più due e a coefficienti reali

 

\mathbb{R}_2[x]:=\{p(x)=ax^2+bx+c\mbox{ tali che }a,b,c\in\mathbb{R}\}

 

possiamo prendere come sistema di generatori

 

\{1,x,x^2\}

 

infatti qualsiasi polinomio p(x) può essere espresso come combinazione lineare degli elementi del precedente sistema

 

p(x)=ax^2+bx+c

 

D'altra parte, anche

 

\{1,x,x^2,x+3x^2\}

 

è un sistema di generatori di \mathbb{R}_2[x]. Basta osservare che

 

p(x)=ax^2+bx+c+0(x+3x^2)

 

 

Osservazione (non unicità)

 

Dato uno spazio vettoriale qualsiasi non esiste uno ed un solo sistema di generatori. Per ogni spazio V≠{0} esistono infiniti sistemi di generatori.

 

 

Osservazione (relazione tra base e sistema di generatori)

 

Per chi ha già studiato la nozione di base (ne parliamo nella prossima lezione) è utile tenere presente che:

 

- una base di uno spazio vettoriale è sempre un sistema di generatori;

 

- un sistema di generatori non è necessariamente una base.

 

La spiegazione di questi semplici fatti la daremo, com'è normale che sia, nella lezione sulle basi. Wink

 

Come stabilire se un insieme di vettori è un sistema di generatori

 

Fermi tutti: per capire il metodo seguente è necessario sapere cos'è e come si calcola il rango di una matrice. Dunque...

 

- se sai cos'è il rango e come si calcola, procedi pure nella lettura;

 

- se non hai la più pallida idea di cosa sia il rango di una matrice, leggi la lezione del link e poi torna qui. 

 

Ok! Laughing Da un punto di vista teorico la nozione di sistema di generatori non dovrebbe creare problemi. Ciò che invece potrebbe confondere è il metodo per capire se un insieme di vettori è un sistema di generatori di un dato spazio o sottospazio vettoriale.

 

Ragioniamo nel caso di spazi vettoriali del tipo \mathbb{R}^n, e immaginiamo di avere un sistema di m vettori \{v_1,v_2,...,v_m\}, espressi in coordinate.

 

Per effettuare la verifica possiamo considerare un generico vettore w\in\mathbb{R}^n , e m coefficienti incogniti x_1,...,x_m.

 

Stando a quanto detto nella definizione, se esiste una m-upla di coefficienti x_1,...,x_m tali che

 

w=x_1v_1+x_2v_2+...+x_mv_m

 

allora \{v_1,...,v_m\} è un sistema di generatori di \mathbb{R}^n, in caso contrario no. E in termini pratici? Il trucco consiste nel leggere la precedente equazione come un sistema lineare, e studiare il rango della matrice associata.

 

- Se il rango della matrice è massimo, allora l'insieme dei vettori considerati è certamente un sistema di generatori.

 

- Se il rango non è massimo, allora l'insieme di vettori non è un sistema di generatori per lo spazio vettoriale.

 

Dove con "rango massimo" intendiamo il minimo tra il numero di colonne della matrice e il numero di righe.

 

La motivazione è semplice: il rango è per definizione la dimensione dello spazio vettoriale generato dalle righe della matrice, o equivalentemente dalle colonne. Nel nostro caso le colonne della matrice sono proprio i vettori del candidato sistema di generatori. Se tale dimensione coincide con la dimensione del nostro spazio, allora lo spazio generato dai vettori coinciderà con lo spazio dato.

 

Ergo: il sistema di vettori è un sistema di generatori per lo spazio.

 

Onde evitare di confondere il lettore con le notazioni proposte, vediamo un esempio che renderà subito chiaro il metodo di verifica.

 

 

Esempio

 

Vogliamo capire se il seguente insieme di vettori è un sistema di generatori di \mathbb{R}^3

 

\{[1,0,1],[0,0,3],[1,2,1],[1,-1,0]\}.

 

Procediamo come prima:

 

w=x_1[1,0,1]+x_2[0,0,3]+x_3[1,2,1]+x_4[1,-1,0]

 

scriviamo le coordinate del generico vettore w: w=[a,b,c]

 

[a,b,c]=x_1[1,0,1]+x_2[0,0,3]+x_3[1,2,1]+x_4[1,-1,0]

 

[a,b,c]=[x_1,0,x_1]+[0,0,3x_2]+[x_3,2x_3,x_3]+[x_4,-x_4,0]

 

[a,b,c]=[x_1+x_3+x_4,2x_3-x_4,x_1+3x_2+x_3]

 

Abbiamo così il sistema lineare

 

\begin{cases}x_1+x_3+x_4=a\\ 2x_3-x_4=b\\ x_1+3x_2+x_3=c\end{cases}

 

e ricordando che il vettore delle incognite è [x_1,x_2,x_3,x_4]^T possiamo scrivere il sistema in forma matriciale come

 

\left[\begin{matrix}1 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 2 & -1\\ 1 & 3 & 1 & 0\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}a\\ b\\ c\end{matrix}\right]

 

Calcoliamoci il rango della matrice A associata al sistema, e scopriamo che

 

rk(A)=3

 

e dato che il minimo tra il numero di righe e il numero di colonne è proprio 3, concludiamo che è massimo. Di conseguenza

 

\{[1,0,1],[0,0,3],[1,2,1],[1,-1,0]\}

 

è un sistema di generatori per \mathbb{R}^3.

 

 


 

Con questo abbiamo concluso! Wink Se dovessi avere dubbi o domande sappi che abbiamo risolto migliaia di problemi qui su YM, dunque la risposta che ti serve potrebbe essere a portata di click...usa la barra di ricerca di YM, o eventualmente apri una discussione nel Forum!

 

Arvedze, see you soon guys!

Agente Ω

 

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