Combinazioni lineari

A volte le parole e i nomi che vengono utilizzati nelle definizioni ci tradiscono, perché lasciano presupporre nozioni complicate anche quando non c'è nulla di difficile...Wink Una combinazione lineare di vettori altro non è che un'espressione in cui compaiono somme di vettori e moltiplicazioni di vettori per scalari (in caso di dubbi, vedi operazioni tra vettori).

 

Una combinazione lineare di vettori, in soldoni, non è nient'altro che un vettore!

 

 

Definizione di combinazione lineare

 

Ragioniamo in uno spazio vettoriale V definito su un campo di scalari K, ad esempio immaginiamo di lavorare in R3, che è uno spazio vettoriale definito su R.

 

Prendiamo n vettori v1,v2,...,vn e definiamo combinazione lineare di tali n vettori una qualsiasi espressione della forma

 

a_1v_1+a_2v_2+...+a_nv_n

 

dove a1,a2,...,an sono n scalari qualsiasi del campo K. A volte, per comodità, indicheremo la precedente combinazione lineare nella notazione più compatta

 

\sum_{i=1}^{n}a_iv_i

 

Prima domanda: perché diamo una tale definizione? Non preoccupatevene troppo per il momento...un po' come quando, da piccini, ci hanno detto: "la somma di due numeri è definita così, ok?". Prima capisci cos'è, poi ti occupi di capire perché.

 

Osservazioni

 

1) Una combinazione lineare tra vettori prende tale nome perché è definita solamente mediante operazioni lineari: somma tra vettori, prodotto di un vettore per uno scalare.

 

 

2) Indipendentemente dal numero di vettori con cui si costruisce una combinazione lineare, ed indipendentemente dagli scalari che si considerano, una combinazione lineare di vettori è un vettore.

 

 

3) Dicevamo poco fa che, in questo momento, non è tanto importante capire a cosa serve la definizione appena data, quanto più bisogna capire cosa rappresenta. Un vettore costruito sommando dei vettori moltiplicati per certi scalari.

 

Perché lo ribadiamo? Perché ad esempio quando si guarda un film capita che alcuni personaggi compaiano più volte, tante volte. Magari certi altri personaggi compaiono una sola volta, quindi non è necessario dare loro un nome proprio, e quando ci si riferisce a loro si è soliti indicarli con descrizioni come "il tizio che compare nella scena in cui..."... Ma se il personaggio è il protagonista, o un co-protagonista, conviene dargli un nome perché è comodo farlo. Potremo così farvi riferimento tutte le volte che si presenterà o che sarà coinvolto in qualche scena.

 

Il film si chiama Algebra Lineare.

 

Le scene sono i teoremi, le proposizioni, le altre definizioni.

 

Uno dei protagonisti più ricorrenti è la nozione di combinazione lineare...Wink

 

Esempi di combinazioni lineari

 

A) Prendiamo i vettori v_1=[1,0] e v_2=[18,-5] in \mathbb{R}^2, e consideriamo gli scalari a_1=4,\ a_2=-7. Possiamo costruire la combinazione lineare

 

a_1v_1+a_2v_2=4 [1,0]+(-7)[18,-5]

 

 

B) Si considerino i vettori di \mathbb{R}^3 w_1=[0,0,1], w_2=[12,11,-1] e w_3=[0,0,0], e gli scalari c_1=2,\ c_2=2,\ c_3=3. Una combinazione lineare dei vettori w_1,w_2,w_3 è ad esempio

 

c_1w_1+c_2w_2+c_3w_3=2[0,0,1]+2[12,11,-1]+3[0,0,0]

 

 

C) Nulla ci vieta di costruire una combinazione lineare di polinomi di grado al più 2 a coefficienti reali, cioè vettori di \mathbb{R}_2[x], come ad esempio p_1(x)=3x^2+2, p_2(x)=-x-3. Possiamo prendere due scalari del campo, cioè due numeri reali come a_1=1 e a_2=-1, e prendere la combinazione lineare data da

 

a_1p_1(x)+a_2p_2(x)=1(3x^2+2)+(-1)(-x-3)

 

 


 

Ci siamo! Per quel che riguarda la definizione di combinazione lineare abbiamo finito. Facile, no? :) Nel seguito vedremo per quale motivo abbiamo voluto introdurre una tale definizione. Nel frattempo, se qualcosa dovesse essere poco chiaro, cercate le risposte ai vostri dubbi con la barra di ricerca di YM, ed eventualmente sappiate che potete aprire una discussione nel Forum.

 

до свидания, see you soon guys!

Agente Ω

 

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