Vettori linearmente indipendenti e linearmente dipendenti

La nozione di dipendenza e indipendenza lineare tra vettori è un concetto essenziale nello studio degli spazi vettoriali, perché lega una definizione di tipo algebrico ad un significato geometrico ben preciso.

 

Di questo, però, ci occuperemo nel seguito: ora vogliamo vedere la definizione di sistema di vettori linearmente indipendenti e dipendenti.

 

 

Definizione di vettori linearmente indipendenti - linearmente dipendenti

 

Prendiamo, in uno spazio vettoriale V su un campo \mathbb{K}, n vettori

 

v_1,...,v_n.

 

Chiamiamo sistema degli n vettori v_1,...,v_n, molto semplicemente, l'insieme costituito dai suddetti vettori

 

S:=\{v_1,...,v_n\}.

 

Attenzione, concentrazione: diciamo che i vettori del sistema S sono linearmente indipendenti tra loro se, prendendo n scalari a_1,...,a_n\in\mathbb{K} e imponendo

 

a_1v_1+...+a_nv_n=\underline{0}

 

risulta che la precedente uguaglianza è soddisfatta se e solo se

 

a_1=...=a_n=0

 

cioè se e solo se l'unica n-upla (a_1,...,a_n) che annulla la combinazione lineare a_1v_1+...+a_nv_n è la n-upla di coefficienti nulli.

 

Diciamo invece che i vettori del sistema S sono linearmente dipendenti se esiste almeno una n-upla di scalari non tutti nulli che annulla la combinazione lineare, oltre alla n-upla di scalari tutti nulli.

 

Leggere bene la definizione di indipendenza lineare!

 

Non confonderti, e non scambiare fischi per fiaschiLaughing gli errori più comuni nell'interpretazione della nozione di indipendenza lineare nascono da un'errata interpretazione della definizione. Tieni conto del fatto che...

 

...Quando hai n vettori v_1,...,v_n e vuoi vedere se sono linearmente indipendenti o meno, se prendi a_1=a_2=...=a_n=0 (tutti nulli) è sempre vero che

 

a_1v_1+...+a_nv_n=\underline{0}

 

ciò che distingue l'indipendenza lineare dalla dipendenza lineare è che nel primo caso la n-upla di coefficienti nulli è l'unica n-upla che annulla la combinazione lineare dei vettori, mentre (per definizione) nel secondo deve esistere almeno un'altra n-upla di scalari non tutti nullo che annulla

 

a_1v_1+...+a_nv_n

 

That's the point - tutto qui! Tongue

 

 


 

 

In una lezione a parte abbiamo visto come fare per stabilire se un dato sistema di vettori è linearmente indipendente o dipendente. Ora però vediamo due importanti risultati, e ancora prima un po' di...

 

Esempi di vettori linearmente dipendenti e indipendenti

 

A) Dati i vettori [1,0],[0,1]\in\mathbb{R}^2, essi sono linearmente indipendenti.

 

Se infatti imponiamo, presi due generici a,b\in\mathbb{R}, che sia nulla la combinazione lineare

 

a[1,0]+b[0,1]=[0,0]

 

con semplici calcoli abbiamo che

 

[a,b]=[0,0] se e solo se a=0=b.

 

 

B) I vettori [1,1,0],[0,0,2],[0,0,-3] sono linearmente dipendenti.

 

Per vederlo basta prendere a,b,c\in\mathbb{R} e richiedere che

 

a[1,1,0]+b[0,0,2]+c[0,0,-3]=[0,0,0]

 

da cui ricaviamo

 

[a,a,2b-3c]=[0,0,0]

 

per cui possiamo prendere, oltre a a=b=c=0 anche a=0\mbox{, }2b=3c. L'uguaglianza è soddisfatta, ad esempio, per a=0\mbox{, }b=\frac{3}{2}\mbox{, }c=1.

 

 

C) Se vuoi vedere altri esempi, prova ad effettuare una ricerca qui su YM utilizzando l'apposita barra (oppure dai un'occhiata agli esercizi correlati - link a fine articolo - sono tutti svolti!)Wink

 

Teoremi sull'indipendenza lineare

 

Prima parlavamo di due importanti risultati: li vogliamo vedere? Il primo riguarda l'estrazione di un sistema di vettori linearmente indipendenti da un sistema di vettori linearmente dipendenti, il secondo del massimo numero di vettori linearmente indipendenti che si può prendere in uno spazio vettoriale. Per introdurre il primo risultato ci servirà la seguente

 

Definizione (sottoinsieme massimale di vettori linearmente indipendenti):

 

dato un sistema di vettori S=\{v_1,...,v_n\}, chiamiamo \tilde{S}\subseteq S sottoinsieme massimale di vettori linearmente indipendenti di S il più grande sottoinsieme di S che sia costituito da vettori linearmente indipendenti tra loro. Eventualmente avremo \tilde{S}=S se S è un sistema di vettori linearmente indipendenti.

 

 

Teorema 1

 

Dato un insieme di vettori S=\{v_1,...,v_n\}\subset V, con V spazio vettoriale su \mathbb{K}, è sempre possibile estrarre da S un sottoinsieme massimale di vettori linearmente indipendenti. Nota: in generale, non è necessariamente unico!

 

 

Teorema 2

 

Dato uno spazio vettoriale V di dimensione M su un campo \mathbb{K}, qualsiasi sistema di vettori linearmente indipendenti \{v_1,...,v_n\} non può contenere più di M vettori, ossia necessariamente n\leq M. Inoltre, se n>M, allora i vettori v_1,...v_n sono necessariamente linearmente dipendenti.

 

 


 

Fine! Continua a leggere le nostre lezioni, ti toglierai parecchi dubbi e soddisfazioni...Wink e ricorda che se dovessero esserci ulteriori dubbi, puoi cercare le risposte che ti servono con la barra di ricerca qui su YM: abbiamo risposto a tonnellate di domande, e quel che ti serve potrebbe essere a portata di click!

 

Sbohem, see you soon guys!

Agente Ω

 

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