Segnatura di una matrice

Una delle tante caratteristiche delle matrici simmetriche a coefficienti reali è che, per tali matrici, è possibile introdurre il concetto di segnatura; in questa lezione vedremo proprio cos'è la segnatura di una matrice, per poi insegnarvi qualche trucchetto utile per risparmiare tempo e fatica quando dovrete calcolare la segnatura di una matrice simmetrica. Infine ne vedremo gli utilizzi corredando, come sempre, il tutto con esempi.

 

Prima di procedere con la lettura, per comprendere fino in fondo le nozioni che stiamo per introdurre, consigliamo di fare un ripasso sul calcolo degli autovalori di una matrice e su cosa si intende con molteplicità algebrica di un autovalore.

 

Definizione ed esempi di segnatura di una matrice

 

Sia A una matrice simmetrica di ordine n a coefficienti reali. Si definisce segnatura di A la terna

 

\left(n_{+},n_{-},n_{0}\right)

 

dove

 

\bullet \ n_{+} si dice indice di positività ed indica il numero degli autovalori strettamente positivi associati alla matrice A e contati con la loro molteplicità algebrica;

 

\bullet \ n_{-} è il numero degli autovalori strettamente negativi contati sempre con la loro molteplicità algebrica e viene detto indice di negatività;

 

\bullet \ n_{0}, denominato indice di nullità, indica il numero degli autovalori nulli, ossia se e quante volte la matrice A ammette come autovalore lo zero.

 

Esempio sulla segnatura di una matrice

 

Proponiamoci di trovare la segnatura della seguente matrice simmetrica di ordine 3.

 

A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & -4 \\ 0 & -4 & 2 \end{pmatrix}

 

 

Svolgimento: calcoliamo gli autovalori della matrice A, i quali saranno gli zeri del polinomio caratteristico

 

P(\lambda)=\mbox{det}(A-I\lambda)=\mbox{det}\begin{pmatrix}1-\lambda & 0 & 0 \\ 0 & 8-\lambda & -4 \\ 0 & -4 & 2-\lambda \end{pmatrix}

 

Per il calcolo del determinante procediamo con la regola di Laplace sviluppando i conti rispetto alla prima riga (o alla prima colonna) che presentano due zeri. Avremo

 

P(\lambda)=(1-\lambda)[(8-\lambda)(2-\lambda)-16]=\mbox{...conti...}=-\lambda^3+11\lambda^2-10\lambda

 

Raccogliendo a fattor comune -\lambda avremo

 

P(\lambda)=-\lambda(\lambda^2-11\lambda+10)

 

che ha tre radici reali e distinte \lambda_1=0, \ \lambda_2=1, \ \lambda_3=10 le quali saranno proprio gli autovalori associati alla matrice A e, ovviamente, hanno molteplicità algebrica uguale ad uno.

 

Dal momento che siamo in presenza di 2 autovalori strettamente positivi e di un solo autovalore nullo, la segnatura di A è (2,0,1).

 

 

Badate bene che il calcolo degli autovalori di una matrice non è sempre così immediato in quanto, soprattutto quando il grado del polinomio inizia a salire, non è sempre facile determinarne gli zeri. In questi casi per ricavare la segnatura della matrice potete procedere come spiegato nel paragrafo seguente.

 

Come trovare la segnatura di una matrice

 

Per trovare la segnatura di una matrice occorre conoscere il numero degli autovalori strettamente positivi, strettamente negativi e nulli, contati con la loro molteplicità algebrica, ossia non è necessario trovare il loro valore numerico.

 

Pertanto per stabilire il segno possiamo ricorrere, molto più velocemente, alla regola di Cartesio, risparmiando così il tempo e la fatica necessari al calcolo numerico degli autovalori.

 

Una volta trovato il polinomio caratteristico

 

P(\lambda)=\lambda^n+a_{n-1}\lambda^{n-1}+\dots+a_1\lambda+a_0

 

associato alla matrice reale simmetrica (che come tale sarà a coefficienti reali ed avrà tutte e sole radici reali), lo ordineremo secondo le potenze decrescenti di \lambda e controlleremo il segno dei coefficienti a_0, \ a_1, \ \dots, \ a_n. Nel caso in cui uno o più coefficienti siano nulli metteremo, al loro posto, uno zero (che considereremo un numero positivo).

 

Il criterio di Cartesio afferma che ad ogni variazione di segno tra un coefficiente ed il successivo corrisponde una soluzione positiva, ad ogni permanenza una soluzione negativa.

 

Attenzione che il criterio di Cartesio include nel conteggio delle radici anche le eventuali radici nulle che però, ai fini della segnatura, dobbiamo conteggiare a parte. Fortunatamente possiamo superare questo intoppo con un piccolo stratagemma.

 

Se il polinomio caratteristico non è omogeneo, ossia se è presente il termine noto (a_0 \neq 0) possiamo dormire sonni tranquilli. Lo zero non potrà essere radice del polinomio caratteristico e, di conseguenza, \lambda=0 non sarà autovalore della matrice.

 

Invece se il polinomio caratteristico è omogeneo, ossia se a_0=0, potremo raccogliere a fattor comune un certo \lambda^p \mbox{ con } 1\le p \le n. In altri termini il polinomio caratteristico sarà della forma

 

P(\lambda)=\lambda^p(\mbox{polinomio di grado n-p})

 

Possiamo così subito concludere che \lambda=0 è una radice con molteplicità p ossia che il coefficiente di nullità delle segnatura è pari a p e, per il conteggio delle radici strettamente positive e negative, applicheremo la regola di Cartesio al polinomio di grado n-p che risulta dopo il raccoglimento.

 

Forse, dopo una prima lettura, potrebbe apparire un ragionamento difficile e contorto ma vi assicuriamo che è più semplice di quanto sembra. Per non lasciare spazio a dubbi vediamo subito un esempio.

 

Esempio sul calcolo della segnatura con il metodo di Cartesio

 

Proponiamoci di trovare la segnatura della seguente matrice di ordine 4

 

A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 3 & -1 \\ 0 & 3 & 2 & 4 \\ 0 & -1 & 4 & -3\end{pmatrix}

 

utilizzando la regola di Cartesio.

 

 

Svolgimento: il polinomio caratteristico associato alla matrice A è dato da

 

P(\lambda)=\mbox{det}[A-I\lambda]=\mbox{det}\begin{pmatrix}1-\lambda & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1-\lambda & 3 & -1 \\ 0 & 3 & 2-\lambda & 4 \\ 0 & -1 & 4 & -3-\lambda \end{pmatrix}=

 

procedendo dapprima con la regola di Laplace rispetto alla prima riga

 

=(1-\lambda)\cdot \mbox{det}\begin{pmatrix}-1-\lambda & 3 & -1 \\3 & 2-\lambda & 4 \\ -1 & 4 & -3-\lambda \end{pmatrix}=

 

e sviluppando il determinante della matrice 3×3 con la regola di Sarrus, abbiamo

 

\mbox{...conti...}=\lambda^4+\lambda^3-33\lambda^2+8\lambda+23

 

Abbiamo così ottenuto il polinomio caratteristico

 

P(\lambda)=\lambda^4+\lambda^3-33\lambda^2+8\lambda+23

 

che è completo ed ordinato secondo le potenze decrescenti di \lambda. Poiché si tratta di un polinomio non omogeneo e siamo in presenza di 2 permanenze e di 2 variazioni, avremo:

 

n_+=2, \ n_-=2, \ n_0=0

 

ossia la segnatura della matrice A è data dalla terna (2,2,0).

 

 

Ribadiamo ancora una volta che il criterio di Cartesio prima enunciato è applicabile a patto che il polinomio sia a coefficienti reali ed abbia tutte radici reali; avendo a che fare con matrici simmetriche a coefficienti reali siamo sicuri che ciò accada.

 

Proprietà ed utilizzi della segnatura

 

Ora che abbiamo visto come si trova la segnatura di una matrice vediamo le proprietà di cui gode e per cosa viene utilizzata.

 

 

1) Per il teorema spettrale ogni matrice simmetrica A di ordine n è una matrice diagonalizzabile, ossia ammette esattamente n autovalori (contati con la loro molteplicità). Ne segue allora che la somma dei tre indici che definiscono la segnatura deve essere pari all'ordine della matrice, ossia

 

n_+ + n_- + n_0 = \mbox{ ordine della matrice }

 

 

2) L'indice di nullità n_0 è la dimensione del nucleo dell'applicazione lineare definita dalla matrice.

 

 

3) La segnatura di matrice diagonale è la terna formata dal numero di elementi strettamente positivi, strettamente negativi e nulli presenti sulla diagonale principale. In particolare la segnatura della matrice identica di ordine n è (n,0,0).

 

 

4) Sia A una matrice simmetrica di ordine n.

 

A è una matrice definita positiva se e solo se la sua segnatura è (n,0,0).

 

Allo stesso modo, condizione necessaria e sufficiente affinché la matrice A sia definita negativa è che la sua segnatura sia (0,n,0).

 

Mentre se la segnatura della matrice è della forma (a,0,b) \mbox{ con } a,b \neq 0, \ a+b=n, allora la matrice è semidefinita positiva. Se invece la segnatura è data dalla terna (0,a,b) la matrice è semidefinita negativa.

 

Infine, se gli indici di positività e di negatività sono entrambi non nulli allora la matrice sarà indefinita.

 

 

5) Dal momento che ogni matrice simmetrica definisce un prodotto scalare e/o una forma quadratica e, viceversa, ad ogni prodotto scalare o forma quadratica è associata una matrice simmetrica, si può parlare anche di segnatura di un prodotto scalare o segnatura di una forma quadratica.

 

 

6) La segnatura stabilisce una condizione necessaria e sufficiente affinché due o più matrici simmetriche siano congruenti, infatti due o più matrici congruenti hanno la stessa segnatura e, viceversa, se due o più matrici hanno la stessa segnatura allora sono conguenti.

 

 


 

Per il momento non abbiamo altro da dirvi; in caso di dubbi, problemi o perplessità varie utilizzate la barra di ricerca (in alto a destra in ogni pagina). Wink

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino [Galois]

 

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