Matrice aggiunta

In questa lezione ci occupiamo della matrice aggiunta altrimenti conosciuta come matrice trasposta coniugata; vedremo com'è definita e quali sono le proprietà di cui gode l'aggiunta di una matrice corredando il tutto con utili osservazioni e svariati esempi.

 

Definizione ed esempi sulla matrice aggiunta

 

Sia A una generica matrice ad elementi in campo complesso. La matrice aggiunta della matrice A, che indicheremo con A^*, è la trasposta della matrice complessa coniugata \overline{A}.

 

 

Ossia, la matrice aggiunta della matrice A si ottiene scrivendo la matrice trasposta A^T e sostituendo ogni elemento della trasposta con il suo complesso coniugato. Vediamo subito qualche esempio. Sia

 

A=\begin{pmatrix}i & 2 & 3-i \\ 4 & -5i & 0 \\ 3 & 2 & -2-i\end{pmatrix}

 

Per trovare la matrice aggiunta della matrice A scriviamo dapprima la trasposta

 

A^T=\begin{pmatrix}i & 4 & 3 \\ 2 & -5i & 2 \\ 3-i & 0 & -2-i \end{pmatrix}

 

e successivamente sostituiamo ogni elemento della trasposta con il suo complesso coniugato, ossia ricaviamo la complessa coniugata della matrice A^{T}:

 

\overline{A^T}=\begin{pmatrix}-i & 4 & 3 \\ 2 & 5i & 2 \\ 3+i & 0 & -2+i \end{pmatrix}

 

Quella appena ottenuta è propria la matrice aggiunta della matrice AWink

 

 

Ribadiamo per la terza volta che si può calcolare la matrice aggiunta di una qualsiasi matrice in campo complesso, sia essa una matrice quadrata, rettangolare, una matrice riga o una matrice colonna.

 

Ora che abbiamo capito come si ricava la matrice aggiunta esprimiamo la definizione in termini matematici. Sia

 

A \in \mathbb{C}^{m,n}, \ A=(a_{ij})_{\begin{matrix}1 \le i \le m \\ 1 \le j \le n \end{matrix}}

 

una generica matrice con m righe ed n colonne avente come coefficienti dei numeri complessi. Allora

 

A^* \in \mathbb{C}^{n,m}, \ A^*= (\overline{a_{ji}})_{\begin{matrix}1 \le i \le m \\ 1 \le j \le n \end{matrix}}

 

Da notare che nella formula precedente abbiamo già espresso il fatto che la matrice aggiunta è la trasposta della matrice coniugata.

 

 

Ovviamente, all'atto pratico, ossia quando procediamo al calcolo della matrice aggiunta, nulla ci vieta di invertire il procedimento seguito finora. Possiamo cioè, partendo dalla matrice A, prima calcolare la complessa coniugata \overline{A} e successivamente la trasposta di quest'ultima, ossia possiamo ricavare la matrice aggiunta sia come la coniugata complessa della trasposta:

 

A^*=\overline{A^T}

 

sia come la trasposta della coniugata

 

A^*=(\overline{A})^T

 

Proprietà della matrice aggiunta

 

1) Se una matrice è definita in campo reale, ossia se i suoi elementi sono tutti numeri reali allora la matrice aggiunta coincide con la matrice trasposta. Questa semplice proprietà deriva dal fatto che il complesso coniugato di un numero reale coincide con il numero stesso. ***

 

 

2) L'aggiunta della matrice aggiunta di una matrice coincide con la matrice stessa, ossia

 

(A^*)^*=A

 

 

3) Se A è una matrice quadrata, il determinante della matrice aggiunta di A è il complesso coniugato del determinante di A. In simboli

 

\mbox{det}(A^*) = \overline{\mbox{det}(A)}

 

 

4) La matrice aggiunta di una somma di matrici è uguale alla somma delle matrici aggiunte. In altri termini, se abbiamo due matrici dello stesso tipo (e quindi tali da poterne effettuare la somma) vale la seguente proprietà:

 

(A+B)^*=A^* + B^*

 

Per convincercene vediamo un esempio. Siano A \mbox{ e } B due matrici, 

 

A=\begin{pmatrix}i & 2i \\ 3 & 1+i\end{pmatrix}, \ \ \ B=\begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 6i & 9 \end{pmatrix}

 

Allora la matrice somma è data da

 

A+B=\begin{pmatrix}i & -2+2i \\ 3+6i & 10+i \end{pmatrix}

 

Per calcolare la matrice aggiunta scriviamo dapprima la matrice coniugata

 

\overline{A+B}=\begin{pmatrix}-i & -2-2i \\ 3-6i & 10-i \end{pmatrix}

 

e successivamente la sua trasposta

 

(A+B)^*=\overline{(A+B)}^T=\begin{pmatrix}-i & 3-6i \\ -2-2i & 10-i \end{pmatrix}

 

Verifichiamo ora che si giunge allo stesso risultato sommando le matrici aggiunte della matrici A \mbox{ e } B

 

A^*=\begin{pmatrix}-i & 3 \\ -2i & 1-i\end{pmatrix}, \ \ \ B^*=\begin{pmatrix} 0 & -6i \\ -2 & 9 \end{pmatrix}

 

(A+B)^*=A^*+B^*=\begin{pmatrix}-i & 3-6i \\ -2-2i & 10-i \end{pmatrix}

 

Ovviamente tale proprietà si può estendere alla somma di tre o più matrici.

 

 

5) La matrice aggiunta del prodotto di una matrice per uno scalare è uguale al prodotto tra il complesso coniugato dello scalare e la matrice aggiunta; in formule

 

(\lambda A)^*=\overline{\lambda} A^*

 

Consideriamo, ad esempio, lo scalare \lambda=3i e la matrice colonna

 

A=\begin{pmatrix}1 \\ 2+i \\ 5i \\ 0 \end{pmatrix}

 

Allora, ricordando che i^2=-1 (vedi unità immaginaria)

 

\lambda A= 3i\begin{pmatrix}1 \\ 2+i \\ 5i \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3i \\ -3+6i \\ -15 \\ 0 \end{pmatrix}

 

la cui matrice aggiunta è data dalla matrice riga

 

(\lambda A)^*= \begin{pmatrix}-3i & -3-6i & -15 & 0 \end{pmatrix}

 

Viceversa, se calcoliamo dapprima l'aggiunta della matrice A

 

A^*=\begin{pmatrix}1 & 2-i & -5i & 0 \end{pmatrix}

 

e poi la moltiplichiamo per \overline{\lambda}=-3i

 

-3i (A^*)=-3i\begin{pmatrix}1 & 2-i & -5i & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3i & -3-6i & -15 & 0 \end{pmatrix}

 

otteniamo lo stesso risultato.

 

 

6) A patto che esista, indicando con AB il prodotto tra due matrici, vale la seguente proprietà:

 

(AB)^*=A^* B^*

 

Tale risultato, come nel caso della somma, si può estendere al prodotto di tre o più matrici.

 

 

7) La matrice aggiunta di una matrice invertibile è ancora una matrice invertibile e l'aggiunta della matrice inversa coincide con l'inversa dell'aggiunta, ossia

 

(A^{-1})^*=(A^*)^{-1}

 

 

8) Partendo dalla matrice aggiunta si possono definire le seguenti matrici:

 

matrice hermitiana o matrice autoaggiunta:  matrice a coefficienti complessi che ha la proprietà di coincidere con la matrice aggiunta.

 

matrice unitaria: matrice quadrata complessa tale che il prodotto con la sua matrice aggiunta ci dà la matrice identità.

 

matrice normale: è tale che il prodotto con la sua matrice aggiunta gode della proprietà commutativa.

 

 


 

*** Per completezza ci teniamo a dirvi che alcuni libri di testo definiscono la matrice aggiunta di una matrice a coefficienti reali come la matrice trasposta della matrice dei complementi algebrici (che abbiamo definito nella lezione sulla matrice inversa precedentemente linkata).

 


 

Questo conclude tutto quello che c'è da sapere sulle matrici aggiunte; in caso di dubbi, problemi o perplessità varie utilizzate la barra di ricerca (in alto a destra in ogni pagina). Wink

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino [Galois]

 

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