Matrice definita positiva, negativa, matrice semidefinita

In questa lezione concentreremo la nostra attenzione sulle matrici simmetriche definite in campo reale e, come avrete intuito, vedremo la nozione di matrice definita positiva, matrice definita negativa, matrice semidefinita (positiva o negativa) o indefinita.

 

Oltre a darne la definizione vedremo due criteri utili a studiare la definitezza di una matrice per poi enunciare le proprietà di cui godono le matrici definite positive. Abbiamo tanto di cui parlare quindi non perdiamo altro tempo...

 

Definizione di matrice definita positiva, negativa, semidefinita ed indefinita

 

Sia A una matrice simmetrica di ordine n a coefficienti reali. La matrice A si dice definita positiva se per ogni vettore \mathbf{x}=(x_1,\dots, x_n) \in \mathbb{R}^n il prodotto \mathbf{x}A\mathbf{x}^T è strettamente positivo, ossia

 

A \mbox{ definita positiva} \iff \forall \mathbf{x}\in\mathbb{R}^n: \ \mathbf{x}A\mathbf{x}^T > 0.

 

La notazione \mathbf{x}^T indica il trasposto del vettore di \mathbb{R}^n: \ \mathbf{x}=(x_1,\dots, x_n), ossia

 

\mathbf{x}^T=\begin{pmatrix}x_1 \\ \vdots \\ x_n\end{pmatrix}\in \mathbb{R}^{n,1}

 

 

Diremo invece che una matrice simmetrica A di ordine n è definita negativa se \forall \mathbf{x}\in\mathbb{R}^n: \ \mathbf{x}A\mathbf{x}^T < 0.

 

Se le uguaglianze non sono strette, ossia se

 

\forall \mathbf{x}\in\mathbb{R}^n: \ \mathbf{x}A\mathbf{x}^T \ge 0

 

la matrice A si definisce semidefinita positiva, mentre se

 

\forall \mathbf{x}\in\mathbb{R}^n: \ \mathbf{x}A\mathbf{x}^T \le 0

 

saremo di fronte ad una matrice semidefinita negativa.

 

 

Infine se esistono due vettori \mathbf{x}_1 \mbox{ e } \mathbf{x}_2 per cui

 

\mathbf{x}_1 A \mathbf{x}_1^T > 0 \mbox{ e } \mathbf{x}_2 A \mathbf{x}_2^T < 0

 

allora la matrice A si dice indefinita.

 

 

Badate bene che \mathbf{x}A\mathbf{x}^T indica il prodotto riga per colonna tra il vettore \mathbf{x} (che possiamo pensare come ad una matrice riga, formata cioè da 1 riga ed n colonne), la matrice quadrata A di ordine n e la matrice colonna \mathbf{x}^T (formata da n righe ed 1 colonna).

 

Date tali considerazioni, il prodotto \mathbf{x}A\mathbf{x}^T è consistente e restituisce uno scalare (in particolare un numero reale) ed ha senso chiedersi se è positivo o negativo.

 

Come stabilire se una matrice è definita positiva o negativa, semidefinita positiva o negativa, o indefinita

 

Scegliere di utilizzare le definizioni finora viste per studiare la definitezza di una matrice sarebbe impensabile (salvo casi molto particolari) e ciò è dovuto alla presenza del quantificatore universale per ogni. Attenendosi alla definizione, occorrerebbe stabilire il segno del prodotto \mathbf{x}A\mathbf{x}^T per ogni vettore \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n.

 

Ovviamente non possiamo di certo passare a rassegna gli infiniti vettori di \mathbb{R}^n, ma per fortuna ci possono essere d'aiuto i seguenti criteri.

 

Criterio di Sylvester (o dei minori principali)

 

Il criterio di Sylvester permette di studiare la definitezza di una matrice tramite il segno dei determinanti dei minori principali di una matrice. Pertanto, prima di vedere cosa dice e come si applica il criterio di Sylvester, è bene avere ben presente cosa si intende con minori principali di una matrice.

 

Sia A una matrice quadrata di ordine n. Per ogni i\in \{1,\dots,n\} diremo minori principali di A e li indicheremo con A_i le matrici ottenute da A eliminando le ultime n-i righe ed n-i colonne. Ad esempio, i minori principali della matrice

 

A=\begin{pmatrix}4 & 1 & 2 & 0 \\ 3 & -2 & 0 & -1 \\ -1 & 3 & 5 & 1 \\ 2 & 1 & 0 & -5 \end{pmatrix}

 

sono:

 

\bullet \ A_1=(4) ottenuto eliminando le ultime 4-1=3 righe e colonne della matrice A;

 

\bullet \ A_2=\begin{pmatrix}4 & 1 \\ 3 & -2\end{pmatrix} che si ottiene eliminando le ultime 4-2=2 righe e colonne;

 

\bullet \ A_3=\begin{pmatrix}4 & 1 & 2 \\ 3 & -2 & 0 \\ -1 & 3 & 5\end{pmatrix}

 

\bullet A_4=A=\begin{pmatrix}4 & 1 & 2 & 0 \\ 3 & -2 & 0 & -1 \\ -1 & 3 & 5 & 1 \\ 2 & 1 & 0 & -5 \end{pmatrix};

 

e non ve ne sono altri, ossia per una matrice di ordine n avremo esattamente n minori principali ciascuno di ordine i, \mbox{ con } i \in \{1,\dots,n\}.

 

 

Ora che dovrebbe essere chiaro cos'è un minore principale vediamo l'enunciato del criterio di Sylvester.

 

Una matrice simmetrica è:

 

- definita positiva se e solo se i minori principali hanno determinante strettamente maggiore di zero;

 

- definita negativa se e solo se i determinanti dei minori principali di oridine dispari (A1, A3, ...) hanno determinante strettamente minore di zero ed i determinanti dei minori principali di ordine pari (A2, A4, ...) hanno determinante strettamente positivo;

 

- semidefinita positiva se e solo se i minori principali hanno determinante maggiore o uguale a zero;

 

- semidefinita negativa se e solo se i determinanti dei minori principali di oridine dispari (A1, A3, ...) hanno determinante minore o uguale di zero ed i determinanti dei minori principali di ordine pari (A2, A4, ...) hanno determinante maggiore o uguale a zero;

 

- indefinita se non si presenta nessuno dei quattro casi precedenti.

 

Risulta quindi evidente che per stabilire se una matrice è indefinita, definita o semidefinita (positiva o negativa) basta calcolare il determinante di tutti i minori principali della matrice data e trarre le dovute conclusioni solo guardandone il segno. Tra poco vedremo un esempio, ma prima...

 

Definitezza di una matrice tramite il segno degli autovalori con la regola di Cartesio

 

Un teorema che permette di stabilire se una matrice è definita/semidefinita positiva o negativa oppure è indefinita si rifà allo studio del segno degli autovalori della matrice.

 

Una matrice simmetrica A è:

 

- definita positiva se e solo se tutti i suoi autovalori sono strettamente positivi;

 

- definita negativa se e solo se tutti i suoi autovalori sono strettamente negativi;

 

- semidefnita positiva se e solo se i suoi autovalori sono maggiori o uguali a zero;

 

- semidefnita negativa se e solo se i suoi autovalori sono minori o uguali a zero;

 

- indefinita se e solo se esistono (almeno) due autovalori discordi.

 

Badate bene che siamo interessati solo al segno degli autovalori, ragion per cui non serve calcolarli esplicitamente! Cosa vuol dire questo?

 

Dovreste sapere che gli autovalori di una matrice (tutti reali dato che stiamo lavorando con matrici simmetriche) sono tutti i soli gli zeri del polinomio caratteristico associato alla matrice, il quale sarà un polinomio di grado n della forma

 

P(\lambda)=\lambda^n+a_{n-1}\lambda^{n-1}+\dots+a_1\lambda+a_0

 

Noi siamo interessati solo al segno degli autovalori, per cui è lavoro sprecato determinare gli zeri di tale polinomio (ossia il valore numerico degli autovalori della matrice). Per stabilirne i segni possiamo ricorrere molto più velocemente alla regola di Cartesio.

 

Nella pratica ordineremo il polinomio secondo le potenze decrescenti di \lambda ed controlleremo il segno dei coefficienti a_0, \ a_1, \ \dots, \ a_n, tenendo presente che ad ogni variazione di segno tra un coefficiente ed il successivo corrisponde una radice positiva, mentre ad ogni permanenza di segno corrisponde una radice negativa. Nel caso in cui uno o più coefficienti siano nulli metteremo al loro posto uno zero, che considereremo come segno positivo.

 

Il criterio di Cartesio afferma che, se

 

P(\lambda)=\lambda^n+a_{n-1}\lambda^{n-1}+\dots+a_1\lambda+a_0

 

è un polinomio a coefficienti reali avente tutte e solo le radici reali, allora:

 

- se tutti i coefficienti a_i sono dello stesso segno allora, essendo in presenza di sole permanenze, tutti gli autovalori saranno negativi, ossia la matrice sarà definita o semidefinta negativa. Inoltre se P(0)=0, ossia se \lambda=0 è una radice, possiamo concludere che la matrice è semidefinita negativa; in caso contrario, se P(0) \neq 0, la matrice è definita negativa.

 

- Se, una volta ordinato il polinomio secondo le potenze decrescenti di \lambda i coefficienti a_i sono di segno alterno, vale a dire ordinatamente uno positivo ed uno negativo o viceversa, allora gli autovalori saranno tutti positivi in quanto saremo in presenza di sole variazioni. La matrice sarà definita positiva se lo zero non è radice del polinomio caratteristico, semidefinita positiva se \lambda=0 è radice di P(\lambda).

 

- Se sono presenti sia permanenze che variazioni vorrà dire che vi saranno alcuni autovalori positivi ed altri negativi e quindi la matrice sarà indefinita.

 

 

Ribadiamo ancora una volta che il criterio di Cartesio appena enunciato è applicabile a patto che il polinomio sia a coefficienti reali ed abbia tutte radici reali. Nel caso in esame lo possiamo quindi utilizzare, perché abbiamo a che fare con matrici simmetriche a coefficienti reali e siamo sicuri che il polinomio caratteristico abbia tutte e sole radici reali.

 

Il seguente esempio chiarirà meglio le idee sull'utilizzo dei due metodi visti.

 

Esempio sullo studio della definitezza di una matrice

 

Supponiamo di voler stabilire, utilizzando i due metodi finora esposti, se la seguente matrice simmetrica di ordine 3 è definita positiva o negativa, semidefinita positiva o negativa, indefinita.

 

A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & -5 \\ 1 & 7 & 4 \\ -5 & 4 & 19 \end{pmatrix}

 

 

Svolgimento: procediamo dapprima con il criterio di Sylvester. Calcoliamo il determinante dei tre minori principali della matrice A.

 

\mbox{det}(A_1)=\mbox{det}\begin{pmatrix}2\end{pmatrix}=2 > 0

 

\mbox{det}(A_2)=\mbox{det}\begin{pmatrix}2 & 1 \\ 1 & 7\end{pmatrix}=14-1 = 13 > 0

 

Infine, procedendo con la regola di Sarrus, lasciamo a voi il compito di scoprire che

 

\mbox{det}(A_3)=\mbox{det}(A)=0

 

Dal momento che il determinante di due dei tre minori principali è strettamente positivo ed uno è nullo, possiamo concludere che la matrice A è semidefinita positiva.

 

 

Procediamo ora con lo studio del segno degli autovalori. Il polinomio caratteristico associato alla matrice A è dato da

 

P(\lambda)=\mbox{det}[A-I\lambda]=\mbox{det}\begin{pmatrix}2-\lambda & 1 & -5 \\ 1 & 7-\lambda & 4 \\ -5 & 4 & 19-\lambda \end{pmatrix}

 

Ossia

 

P(\lambda)=-\lambda^3+28\lambda^2-143\lambda+0

 

Come possiamo osservare i coefficienti sono di segno alterno, ossia siamo in presenza di tre variazioni; ciò ci permette di sapere sin da subito che la matrice è definita o semidefinita positiva. Inoltre poiché \lambda=0 è uno zero del polinomio caratteristico (P(0)=0) concludiamo ancora una volta che la matrice è semidefinita positiva.

 

Proprietà delle matrici definite positive

 

Prima di salutarvi vi proponiamo un elenco delle proprietà di cui godono le matrici definite positive, lasciando a voi il compito di dedurre, da quest'ultime, le proprietà di cui godono le matrici definite negative.

 

 

1) Ogni matrice definita positiva è invertibile (ossia ha determinante non nullo) e la sua matrice inversa è ancora una matrice definita positiva.

 

 

2) Il rango di una matrice definita positiva è massimo, ossia se A è una matrice definita positiva di ordine n, il suo rango sarà proprio n.

 

 

3) Siano A una matrice definita positiva e \mu un numero reale strettamente positivo; il prodotto matrice per scalare \mu A è una matrice definita positiva.

 

 

4) Se A \mbox{ e } B sono due matrici definite positive e dello stesso ordine, allora la matrice somma A+B è, a sua volta, definita positiva. Inoltre se il prodotto tra le due matrici è commutativo, ossia se AB=BA, anche la matrice prodotto AB è definita positiva.

 

Attenzione: quest'ultima proprietà non è così scontata, infatti il prodotto tra matrici in generale non gode della proprietà commutativa!

 

 

5) Per ogni matrice A definita positiva esiste una matrice B tale che moltiplicata per la sua matrice trasposta ci dà la matrice A, cioè A=B^TB.

 

 

6) Se A è una matrice simmetrica di ordine n definita positiva la sua segnatura sarà (n,0,0).

 

 


 

È tutto ragazzi! Non sottovalutate lo studio delle matrici definite e soprattutto dei criteri che abbiamo visto, in quanto li utilizzerete anche in Analisi. Un esempio? Nello studio dei massimi e minimi in due variabili dovrete studiare la definitezza della matrice Hessiana... Wink

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino [Galois]

 

Lezione precedente..........Lezione successiva


Tags: matrice definita positiva e definita negativa - matrici semidefinite positive e negative - matrici indefinite - criterio di Sylvester.